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1、◆+◆◆二〇一九高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料◆+◆◆
學(xué)案28 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和
導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.4.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題．
自主梳理
1．等差數(shù)列的有關(guān)定義
(1)一般地，如果一個數(shù)列從第____項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的____等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列．符號表示為____________ (n∈N*，d為常數(shù))．
(2)數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是____________，其中A叫做a，b的_____
2、_______．
2．等差數(shù)列的有關(guān)公式
(1)通項(xiàng)公式：an＝____________，an＝am＋__________ (m，n∈N*)．
(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝______________＝________________.
3．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系
Sn＝n2＋n.
數(shù)列{an}是等差數(shù)列的充要條件是其前n項(xiàng)和公式Sn＝____________.
4．等差數(shù)列的性質(zhì)
(1)若m＋n＝p＋q (m，n，p，q∈N*)，則有________________，特別地，當(dāng)m＋n＝2p時，________________.
(2)等差數(shù)列中，Sm，S2m－Sm
3、，S3m－S2m成等差數(shù)列．
(3)等差數(shù)列的單調(diào)性：若公差d>0，則數(shù)列為________；若d<0，則數(shù)列為__________；若d＝0，則數(shù)列為____________．
自我檢測
1．(2010·北京海淀模擬)已知等差數(shù)列{an}中，a5＋a9－a7＝10，記Sn＝a1＋a2＋…＋an，則S13的值為________．
2．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S3＝6，a3＝4，則公差d＝________.
3．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S9＝72，則a2＋a4＋a9＝________.
4．(2010·湖南師大附中)若等差數(shù)列{an}的前5項(xiàng)之和S5＝25，
4、且a2＝3，則a7＝________.
5．(2010·泰安一模)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若＝，則＝________.
探究點(diǎn)一 等差數(shù)列的基本量運(yùn)算
例1 等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn.已知a10＝30，a20＝50，
(1)求通項(xiàng)an；
(2)若Sn＝242，求n.
變式遷移1 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d (d≠0)，它的前10項(xiàng)和S10＝110，且a1，a2，a4成等比數(shù)列，求公差d和通項(xiàng)公式an.
探究點(diǎn)二 等差數(shù)列的判定
例2 已知數(shù)列{an}中，a1＝，an＝2－ (n≥2，n∈N*)，數(shù)列{bn}滿足bn
5、＝ (n∈N*)．
(1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}中的最大值和最小值，并說明理由．
變式遷移2 已知數(shù)列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1(n≥2且n∈N*)．
(1)求a2，a3的值．
(2)是否存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{}為等差數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．
探究點(diǎn)三 等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用
例3 若一個等差數(shù)列的前5項(xiàng)之和為34，最后5項(xiàng)之和為146，且所有項(xiàng)的和為360，求這個數(shù)列的項(xiàng)數(shù)．
變式遷移3 已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列．
(1)前四項(xiàng)和為21，末四項(xiàng)和為67，且
6、前n項(xiàng)和為286，求n；
(2)若Sn＝20，S2n＝38，求S3n；
(3)若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)和為44，偶數(shù)項(xiàng)和為33，求數(shù)列的中間項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)．
探究點(diǎn)四 等差數(shù)列的綜合應(yīng)用
例4 已知數(shù)列{an}滿足2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)，它的前n項(xiàng)和為Sn，且a3＝10，S6＝72.若bn＝an－30，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和的最小值．
變式遷移4 在等差數(shù)列{an}中，a16＋a17＋a18＝a9＝－36，其前n項(xiàng)和為Sn.
(1)求Sn的最小值，并求出Sn取最小值時n的值．
(2)求Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|.
7、
1．等差數(shù)列的判斷方法有：
(1)定義法：an＋1－an＝d (d是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列．
(2)中項(xiàng)公式：2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)?{an}是等差數(shù)列．
(3)通項(xiàng)公式：an＝pn＋q (p，q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列．
(4)前n項(xiàng)和公式：Sn＝An2＋Bn(A、B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列．
2．對于等差數(shù)列有關(guān)計算問題主要圍繞著通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，在兩個公式中共五個量a1、d、n、an、Sn，已知其中三個量可求出剩余的量，而a與d是最基本的，它可以確定等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式．
3．要注意等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的靈
8、活應(yīng)用，如an＝am＋(n－m)d，S2n－1＝(2n－1)an等．
4．在遇到三個數(shù)成等差數(shù)列問題時，可設(shè)三個數(shù)為①a，a＋d，a＋2d；②a－d，a，a＋d；③a－d，a＋d，a＋3d等可視具體情況而定．
(滿分：90分)
一、填空題(每小題6分，共48分)
1．已知{an}為等差數(shù)列，a3＋a8＝22，a6＝7，則a5＝______.
2．(2010·全國Ⅱ改編)如果等差數(shù)列中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝________.
3．(2010·濰坊五校聯(lián)合高三期中)已知{an}是等差數(shù)列，a1＝－9，S3＝S7，那么使其前n項(xiàng)和Sn最小的n是_______
9、_．
4．在等差數(shù)列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，則a9－a11的值為________．
5．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和滿足S20＝S40，下列結(jié)論中正確的序號是________．
①S30是Sn中的最大值；
②S30是Sn中的最小值；
③S30＝0；
④S60＝0.
6．(2010·遼寧)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S3＝3，S6＝24，則a9＝________.
7．(2009·海南、寧夏)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，則m＝________.
8．在數(shù)列{an}中，若點(diǎn)(n，an)
10、在經(jīng)過點(diǎn)(5,3)的定直線l上，則數(shù)列{an}的前9項(xiàng)和S9＝________.
二、解答題(共42分)
9．(12分)設(shè){an}是一個公差為d (d≠0)的等差數(shù)列，它的前10項(xiàng)和S10＝110，且a＝a1a4.
(1)證明：a1＝d；
(2)求公差d的值和數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
10．(14分)(2010·山東)已知等差數(shù)列{an}滿足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n項(xiàng)和為Sn.
(1)求an及Sn；
(2)令bn＝ (n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
11．(16分)(2010·廣東湛師附中第六次月考)在數(shù)列{an}
11、中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)．
(1)證明數(shù)列{}是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)；
(3)若λan＋≥λ對任意n≥2的整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
答案 自主梳理
1．(1)二 差 an＋1－an＝d (2)A＝ 等差中項(xiàng)
2．(1)a1＋(n－1)d (n－m)d (2)na1＋d 3.An2＋Bn 4.(1)am＋an＝ap＋aq am＋an＝2ap (3)遞增數(shù)列 遞減數(shù)列 常數(shù)列
自我檢測
1．130
2．2
解析 ∵S3＝＝6，a3＝4，
∴a1＝0，a3－a1＝2d.∴d＝2.
3．24
解析
12、 ∵S9＝72＝，
∴a1＋a9＝16.∵a1＋a9＝2a5，∴a5＝8.
∴a2＋a4＋a9＝a1＋a5＋a9＝3a5＝24.
4．13
解析 由S5＝?25＝?a4＝7，所以7＝3＋2d?d＝2，所以a7＝a4＋3d＝7＋3×2＝13.
5．1
解析?。剑健ぃ健ぃ?.
課堂活動區(qū)
例1 解題導(dǎo)引 (1)等差數(shù)列{an}中，a1和d是兩個基本量，用它們可以表示數(shù)列中的任何一項(xiàng)，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，列方程組解a1和d，是解決等差數(shù)列問題的常用方法；(2)由a1，d，n，an，Sn這五個量中的三個量可求出其余兩個量，需選用恰當(dāng)?shù)墓剑梅匠探M觀點(diǎn)求解．
解
13、(1)由an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50，
得方程組 解得
所以an＝2n＋10.
(2)由Sn＝na1＋d，Sn＝242.
得12n＋×2＝242.解得n＝11或n＝－22(舍去)．
變式遷移1 解 由題意，知
即
∵d≠0，∴a1＝d.解得a1＝d＝2，∴an＝2n.
例2 解題導(dǎo)引 1.等差數(shù)列的判定通常有兩種方法：
第一種是利用定義，即an－an－1＝d(常數(shù))(n≥2)，第二種是利用等差中項(xiàng)，即2an＝an＋1＋an－1 (n≥2)．
2．解選擇、填空題時，亦可用通項(xiàng)或前n項(xiàng)和直接判斷．
(1)通項(xiàng)法：若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)
14、，即an＝An＋B，則{an}是等差數(shù)列．
(2)前n項(xiàng)和法：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn是Sn＝An2＋Bn的形式(A，B是常數(shù))，則{an}為等差數(shù)列．
3．若判斷一個數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需說明任意連續(xù)三項(xiàng)不是等差數(shù)列即可．
解 (1)∵an＝2－ (n≥2，n∈N*)，bn＝，∴當(dāng)n≥2時，bn－bn－1＝－＝－＝－＝1.又b1＝＝－.
∴數(shù)列{bn}是以－為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列．
(2)由(1)知，bn＝n－，則an＝1＋
＝1＋，設(shè)函數(shù)f(x)＝1＋，
易知f(x)在區(qū)間和內(nèi)為減函數(shù)．
∴當(dāng)n＝3時，an取得最小值－1；
當(dāng)n＝4時，an取得最大值3.
變
15、式遷移2 解 (1)∵a1＝5，∴a2＝2a1＋22－1＝13，
a3＝2a2＋23－1＝33.
(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{}為等差數(shù)列．
設(shè)bn＝，由{bn}為等差數(shù)列，則有2b2＝b1＋b3.
∴2×＝＋.∴＝＋，
解得λ＝－1.此時，b1＝2.
事實(shí)上，bn＋1－bn＝－
＝[(an＋1－2an)＋1]＝[(2n＋1－1)＋1]＝1.
綜上可知，存在實(shí)數(shù)λ＝－1，使得數(shù)列{}為首項(xiàng)為2、公差為1的等差數(shù)列．
例3 解題導(dǎo)引 本題可運(yùn)用倒序求和的方法和等差數(shù)列的性質(zhì)：若m＋n＝p＋q (m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq，從中我們可以體會運(yùn)用性質(zhì)解決問
16、題的方便與簡捷，應(yīng)注意運(yùn)用；也可用整體思想(把a(bǔ)1＋d看作整體)．
解 方法一 設(shè)此等差數(shù)列為{an}共n項(xiàng)，
依題意有a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝34，①
an＋an－1＋an－2＋an－3＋an－4＝146.②
根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，得
a5＋an－4＝a4＋an－3＝a3＋an－2＝a2＋an－1＝a1＋an.
將①②兩式相加，得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＋(a4＋an－3)＋(a5＋an－4)＝5(a1＋an)＝180，
∴a1＋an＝36.
由Sn＝＝＝360，得n＝20.
所以該等差數(shù)列有20項(xiàng)．
方法二 設(shè)此等差數(shù)列共有n項(xiàng)，首項(xiàng)為a
17、1，公差為d，
則S5＝5a1＋d＝34，①
Sn－Sn－5＝[＋na1]－[(n－5)a1＋d]＝5a1＋(5n－15)d＝146.②
①②兩式相加可得10a1＋5(n－1)d＝180，
∴a1＋d＝18，
代入Sn＝na1＋d＝n＝360，
得18n＝360，∴n＝20.所以該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為20項(xiàng)．
變式遷移3 解 (1)依題意，知a1＋a2＋a3＋a4＝21，
an－3＋an－2＋an－1＋an＝67，
∴a1＋a2＋a3＋a4＋an－3＋an－2＋an－1＋an＝88.
∴a1＋an＝＝22.∵Sn＝＝286，∴n＝26.
(2)∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n
18、成等差數(shù)列，
∴S3n＝3(S2n－Sn)＝54.
(3)設(shè)項(xiàng)數(shù)為2n－1 (n∈N*)，則奇數(shù)項(xiàng)有n項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)有n－1項(xiàng)，中間項(xiàng)為an，則S奇＝＝n·an＝44，
S偶＝＝(n－1)·an＝33，∴＝.
∴n＝4，an＝11.
∴數(shù)列的中間項(xiàng)為11，項(xiàng)數(shù)為7.
例4 解題導(dǎo)引 若{an}是等差數(shù)列，求前n項(xiàng)和的最值時，
(1)若a1>0，d<0，且滿足，前n項(xiàng)和Sn最大；
(2)若a1<0，d>0，且滿足，前n項(xiàng)和Sn最小；
(3)除上面方法外，還可將{an}的前n項(xiàng)和的最值問題看作Sn關(guān)于n的二次函數(shù)最值問題，利用二次函數(shù)的圖象或配方法求解，注意n∈N*.
解 方法一
19、∵2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}是等差數(shù)列．
設(shè){an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，由a3＝10，S6＝72，
得，∴.
∴an＝4n－2.則bn＝an－30＝2n－31.
解得≤n≤.
∵n∈N*，∴n＝15.∴{bn}前15項(xiàng)為負(fù)值. ∴S15最小．
可知b1＝－29，d＝2，
∴S15＝＝－225.
方法二 同方法一求出bn＝2n－31.
∵Sn＝＝n2－30n＝(n－15)2－225，
∴當(dāng)n＝15時，Sn有最小值，且最小值為－225.
變式遷移4 解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，
∵a16＋a17＋a18＝3a17＝－36，
∴a17
20、＝－12，∴d＝＝3，
∴an＝a9＋(n－9)·d＝3n－63，an＋1＝3n－60，
令，得20≤n≤21，
∴S20＝S21＝－630，∴n＝20或21時，Sn最小且最小值為－630.
(2)由(1)知前20項(xiàng)小于零，第21項(xiàng)等于0，以后各項(xiàng)均為正數(shù)．當(dāng)n≤21時，Tn＝－Sn＝－n2＋n.
當(dāng)n>21時，Tn＝Sn－2S21＝n2－n＋1 260.
綜上，Tn＝.
課后練習(xí)區(qū)
1．15
解析 在等差數(shù)列{an}中，a5＋a6＝a3＋a8＝22，∴a5＝15.
2．28
解析 ∵a3＋a4＋a5＝12，∴3a4＝12，a4＝4.∴a1＋a2＋…＋a7＝(a1＋a7)
21、＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋a4＝7a4＝28.
3．5
解析 由S3＝S7得a4＋a5＋a6＋a7＝0，
即a5＋a6＝0，∴9d＝－2a1＝18，d＝2.
∴Sn＝－9n＋n(n－1)×2＝n2－10n.
∴當(dāng)n＝－＝5時，Sn最?。?
4．16
解析 a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120.∴5a8＝120.∴a8＝24.
∴a9－a11＝a1＋8d－(a1＋10d)
＝(a1＋7d)＝a8＝16.
5．④
解析 方法一 由S20＝S40，得a1＝－d，
∴S60＝60a1＋d＝60×＋d＝0.
方法二 由S20＝S40，得a21＋a22＋…＋a40＝0，
22、
∴a30＋a31＝0.∴S60＝＝30(a30＋a31)＝0.
6．15
解析 設(shè)等差數(shù)列公差為d，則S3＝3a1＋d＝3a1＋3d＝3，即a1＋d＝1，①
S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝24，
即2a1＋5d＝8.②
聯(lián)立①②兩式得a1＝－1，d＝2，
故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.
7．10
解析 由等差數(shù)列的性質(zhì)可知am－1＋am＋1＝2am，
∴2am－a＝0，
∴am＝0或am＝2.又S2m－1＝(2m－1)am≠0，
∴am＝2，由2(2m－1)＝38，得m＝10.
8．27
解析 ∵點(diǎn)(n，an)在定直線l上，
∴數(shù)列{an}為等差數(shù)
23、列．∴an＝a1＋(n－1)·d.
將(5,3)代入，得3＝a1＋4d＝a5.
∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝3×9＝27.
9．(1)證明 ∵{an}是等差數(shù)列，∴a2＝a1＋d，a4＝a1＋3d，又a＝a1a4，于是(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，即a＋2a1d＋d2＝a＋3a1d (d≠0)．化簡得a1＝d.…………………………(6分)
(2)解 由條件S10＝110和S10＝10a1＋d，得到10a1＋45d＝110.由(1)知，a1＝d，代入上式得55d＝110，
故d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n.
因此，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n，n∈N*.………
24、…………………………………(12分)
10．解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，由于a3＝7，a5＋a7＝26，
所以a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，
解得a1＝3，d＝2.…………………………………………………………………………(4分)
由于an＝a1＋(n－1)d，Sn＝，
所以an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．…………………………………………………………(7分)
(2)因?yàn)閍n＝2n＋1，所以a－1＝4n(n＋1)，
因此bn＝＝.………………………………………………………(9分)
故Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝＝.
所以數(shù)列{bn}的
25、前n項(xiàng)和Tn＝.…………………………………………………(14分)
11．(1)證明 將3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)整理得－＝3(n≥2)．
所以數(shù)列{}為以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列．…………………………………(4分)
(2)解 由(1)可得＝1＋3(n－1)＝3n－2，
所以an＝.……………………………………………………………………………(8分)
(3)解 若λan＋≥λ對n≥2的整數(shù)恒成立，
即＋3n＋1≥λ對n≥2的整數(shù)恒成立．
整理得λ≤………………………………………………………………(10分)
令cn＝
cn＋1－cn＝－
＝.………………………………………………………………………(14分)
因?yàn)閚≥2，所以cn＋1－cn>0，
即數(shù)列{cn}為單調(diào)遞增數(shù)列，所以c2最小，c2＝.
所以λ的取值范圍為(－∞，]．………………………………………………………(16分)
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