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第5講 兩角和與差的正弦、余弦和正切
一、填空題
1．已知tan＝，則tan α＝________.
解析 tan α＝tan＝＝＝－.
答案 －
2．已知cos α＝－，且α∈，則tan＝________.
解析 由條件得sin α＝，所以tan α＝－，tan＝＝.
答案
3．已知α，β∈，且tan α＝4，cos(α＋β)＝－，則角β度數(shù)為________．
解析 由α，β∈，tan α＝4，cos(α＋β)＝－，
得sin α＝，cos α＝，sin(α＋β)＝ ＝，
所以cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝c
2、os(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－×＋×＝.
所以β＝.
答案
4．若sin α＝，α∈，則cos＝________.
解析 因為α∈，sin α＝，所以cos α＝，
所以cos＝－(cos α－sin α)＝－.
答案?。?
5．已知向量a＝，b＝(4,4cos α－)，若a⊥b，則sin＝________.
解析 a·b＝4sin＋4cos α－
＝2sin α＋6cos α－＝4sin－＝0，所以sin＝.所以sin＝－sin＝－.
答案 －
6．函數(shù)f(x)＝sin 2xsin －cos 2xcos在上的單調(diào)遞增區(qū)間為________
3、．
解析 f(x)＝cos，當x∈時，2x－∈，于是由2x－∈[－π，0]，
得f(x)在上的單調(diào)增區(qū)間為.
答案
7．已知tan α＝，tan β＝，且α，β∈(0，π)，則α＋2β＝________.
解析 tan 2β＝＝＝，所以tan(α＋2β)＝＝＝1.∵tan α＝＜1，α∈(0，π)，∴α∈，同理β∈，∴α＋2β∈，所以α＋2β＝.
答案
8．若sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，則cos(α－β)的值為________．
解析 由sin α－sin β＝1－得：
sin2α－2sin αsin β＋sin2β＝1－＋＝－.①
由cos
4、 α－cos β＝得：cos2 α－2cos αcos β＋cos2β＝.②
①＋②得1＋1－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝2－，
即2cos(α－β)＝，所以cos(α－β)＝.
答案
9．在△ABC中，若sin A＝，cos B＝－，則sin C＝________.
解析 在△ABC中，由cos B＝－<0，知角B為鈍角，角A為銳角，
所以cos A＝，sin B＝.[來源:]
所以sin C＝sin[π－(A＋B)]
＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B
＝×＋×＝.
答案
10．已知銳角α滿足cos 2α＝co
5、s，則sin 2α等于________．
解析 由cos 2α＝cos得
(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝(cos α＋sin α)[來
由α為銳角知cos α＋sin α≠0.[來源:]
∴cos α－sin α＝，平方得1－sin 2α＝.
∴sin 2α＝.
答案 [來源:數(shù)理化網(wǎng)]
二、解答題
11．函數(shù)f(x)＝cos＋sin，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(α)＝，α∈，求tan的值．
解 (1)f(x)＝cos＋sin
＝sin＋cos
＝sin
∴f(x)的最小正周期T＝＝4π.
(2)由f(α)＝
6、，
得sin＋cos＝，
∴1＋sin α＝.∴sin α＝.
又α∈.
∴cos α＝＝ ＝.[來源:]
∴tan α＝＝.
∴tan＝
＝＝7.
12．已知向量a＝(m，sin 2x)，b＝(cos 2x，n)，x∈R，f(x)＝a·b，若函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(0,1)和.
(1)求m，n的值；
(2)求f(x)的最小正周期，并求f(x)在x∈上的最小值；
(3)若f＝，α∈時，求tan的值．
解 (1)f(x)＝mcos 2x＋nsin 2x，因為f(0)＝1，所以m＝1.又f＝1，所以n＝1.故m＝1，n＝1.
(2)f(x)＝cos 2x＋sin 2x＝
7、sin，
所以f(x)的最小正周期為π.
因為x∈，
所以2x＋∈，所以當x＝0或x＝時，f(x)取最小值1.
(3)因為f＝，所以cos α＋sin α＝，
即sin＝，又α∈，
故α＋∈，所以cos＝，
所以tan＝＝.
13．(1)已知0<β<<α<π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值；
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，求2α－β的值．
解 (1)∵0<β<<α<π，
∴－<－β<，<α－<π，
∴cos＝＝，
sin＝＝，
∴cos ＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝，
∴cos(α＋β
8、)＝2cos2－1＝2×－1＝－.
(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝
＝＝>0，∴0<α<，
又∵tan 2α＝＝＝>0，∴0<2α<，
∴tan(2α－β)＝＝＝1.
∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，
∴2α－β＝－.
14．在△ABC中，A、B、C為三個內(nèi)角，f(B)＝4cos B·sin2＋cos 2B－2cos B.
(1)若f(B)＝2，求角B；
(2)若f(B)－m＞2恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
解 (1)f(B)＝4cos B×＋cos 2B－2cos B
＝2cos B(1＋sin B)＋cos 2B－2cos B
＝2cos Bsin B＋cos 2B
＝sin 2B＋cos 2B＝2sin.
∵f(B)＝2，∴2sin＝2，
∵0＜B＜π，∴2B＋＝.∴B＝.
(2)f(B)－m＞2恒成立，即2sin＞2＋m恒成立．
∴2sin∈[－2,2]，∴2＋m＜－2.∴m＜－4.
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