【名校資料】高考數(shù)學理一輪資源庫第十章 第2講雙曲線

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1、◆+◆◆二〇一九高考數(shù)學學習資料◆+◆◆ 第2講 雙曲線 一、填空題 1.若雙曲線-=1(a>0)的離心率為2,則a=________. 解析 ∵b=,∴c=,∴==2,∴a=1. 答案 1 2.若雙曲線-=1(a>0,b>0)的焦點到其漸近線的距離等于實軸長,則該雙曲線的離心率為________. 解析 焦點(c,0)到漸近線y=x的距離為=b,則由題意知b=2a,又a2+b2=c2,∴5a2=c2,∴離心率e==. 答案  3.已知雙曲線-=1的右焦點為(3,0),則該雙曲線的離心率等于________. 解析 ∵右焦點為(3,0),∴c=3,又∵c2=a2+b2

2、=a2+5=9,∴a2=4,a=2,∴e==. 答案 4.已知雙曲線x2-y2=1,點F1,F(xiàn)2為其兩個焦點,點P為雙曲線上一點,若PF1⊥PF2,則|PF1|+|PF2|的值為________. 解析 設|PF1|=m,|PF2|=n, 則 解得mn=2, ∴(m+n)2=m2+n2+2mn=8+4=12, ∴m+n=2,即|PF1|+|PF2|=2. 答案 2 5.設P為直線y=x與雙曲線-=1(a>0,b>0)左支的交點,F(xiàn)1是左焦點,PF1垂直于x軸,則雙曲線的離心率e=________. 解析 ∵PF1⊥x軸,∴xP=-c,代入-=1, 得yp=±,[

3、來源:] ∵P在y=x上,∴yp=-, ∴3b=c, ∴9b2=c2, ∴9(c2-a2)=c2, ∴=, ∴=,∴e=. 答案 6. 已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程是y=x, 它的一個焦點與拋物線y2=16x的焦點相同,則雙曲線的方程為________. 解析 由已知得解之得∴雙曲線方程為-=1. 答案 -=1 7. 過雙曲線-=1(a>0,b>0)的一個焦點F作一條漸近線的垂線,若垂 足恰在線段OF(O為原點)的垂直平分線上,則雙曲線的離心率為________. 解析 如圖所示,不妨設F為右焦點,過F作FP垂直 于一條漸近線,垂足

4、為P,過P作PM⊥OF于M.由已 知得M為OF的中點,由射影定理知|PF|2=|FM||FO|, 又F(c,0),漸近線方程為bx-ay=0, ∴|PF|==b, ∴b2=·c,即2b2=c2=a2+b2, ∴a2=b2,∴e===. 答案 8.設F1,F(xiàn)2是雙曲線x2-=1的兩個焦點,P是雙曲線上的一點,且3PF1=4PF2,則△PF1F2的面積是________. 解析 由可解得 又由F1F2=10可得△PF1F2是直角三角形, 則S△PF1F2=PF1×PF2=24. 答案 24 9. 如圖,已知雙曲線以長方形ABCD的頂點A、B為左、右焦點,且雙曲線過C、

5、D兩頂點.若AB=4,BC=3,則此雙曲線的標準方程為________. 解析 設雙曲線的標準方程為-=1(a>0,b>0).由題意得B(2,0),C(2,3), ∴解得 ∴雙曲線的標準方程為x2-=1. 答案 x2-=1 10.過雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的一個焦點作圓x2+y2=a2的兩條切線,切點分別為A、B.若∠AOB=120°(O是坐標原點),則雙曲線C的離心率為________. 解析  如圖,由題知OA⊥AF, OB⊥BF且∠AOB=120°, ∴∠AOF=60°, 又OA=a,OF=c, ∴==cos 60°=,∴=2. 答案 2 二、解答題

6、11.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為2x+y=0,且頂點到漸近線的距離為. (1)求此雙曲線的方程; (2)設P為雙曲線上一點,A,B兩點在雙曲線的漸近線上,且分別位于第一、第二象限,若=,求△AOB的面積. 解 (1)依題意得 解得 故雙曲線的方程為-x2=1. (2)由(1)知雙曲線的漸近線方程為y=±2x, 設A(m,2m),B(-n,2n),其中m>0,n>0,由=得點P的坐標為, 將點P的坐標代入-x2=1,整理得mn=1, 設∠AOB=2θ,則tan θ=,從而sin 2θ=, 又|OA|=m,|OB|=n, ∴S△AOB=|OA||O

7、B|sin 2θ=2mn=2. 12.設中心在原點,焦點在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點F1,F(xiàn)2,且F1F2=2,橢圓的長半軸與雙曲線實半軸之差為4,離心率之比為3∶7. (1)求這兩曲線方程; (2)若P為這兩曲線的一個交點,求cos∠F1PF2的值. 解 (1)由已知,得c=,設橢圓長、短半軸長分別為a,b,雙曲線實半軸、虛半軸長分別為m、n, 則解得a=7,m=3.所以b=6,n=2. 故橢圓方程為+=1,雙曲線方程為-=1. (2)不妨設F1、F2分別為左、右焦點,P是第一象限的一個交點,則PF1+PF2=14,PF1-PF2=6, 所以PF1=10,PF2=4

8、.又F1F2=2, 故cos∠F1PF2= ==. 13.已知雙曲線的中心在原點,焦點F1,F(xiàn)2在坐標軸上,離心率為,且過點(4,-). (1)求雙曲線方程; (2)若點M(3,m)在雙曲線上,求證:·=0; (3)求△F1MF2的面積. (1)解 ∵e=,∴設雙曲線方程為x2-y2=λ. 又∵雙曲線過(4,-)點,∴λ=16-10=6, ∴雙曲線方程為x2-y2=6. (2)證明 法一 由(1)知a=b=,c=2, ∴F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0), ∴kMF1=,kMF2=, ∴kMF1·kMF2==,又點(3,m)在雙曲線上,∴m2=3, ∴kMF1·kMF

9、2=-1,MF1⊥MF2,·=0. 法二 ∵=(-3-2,-m),=(2-3,-m) ∴·=(3+2)(3-2)+m2=-3+m2. ∵M在雙曲線上,∴9-m2=6,∴m2=3,∴·=0. (3)解 ∵在△F1MF2中,F(xiàn)1F2=4,且|m|=, ∴S△F1MF2=·F1F2·|m|=×4×=6. 14.已知斜率為1的直線l與雙曲線C:-=1(a>0,b>0)相交于B、D兩點,且BD的中點為M(1,3). (1)求C的離心率; (2)設C的右頂點為A,右焦點為F,|DF|·|BF|=17,證明:過A、B、D三點的圓與x軸相切. (1)解 由題意知,l的方程為y=x+2, 代

10、入C的方程并化簡,得 (b2-a2)x2-4a2x-4a2-a2b2=0. 設B(x1,y1),D(x2,y2), 則x1+x2=,x1x2=. 由M(1,3)為BD的中點,知=1, 故×=1,即b2=3a2, ① ∴c==2a,∴C的離心率e==2. (2)證明 由①知,C的方程為3x2-y2=3a2. A(a,0),F(xiàn)(2a,0),x1+x2=2,x1·x2=-<0. 故不妨設x1≤-a,x2≥a, ∴|BF|== =a-2x1, ∴|FD|== =2x2-a, |BF|·|FD|=(a-2x1)(2x2-a) =-4x1x2+2a(x1+x2)-a2=5a2+4a+8. 又|BF|·|FD|=17,故5a2+4a+8=17, 解得a=1或a=-(舍去). 故|BD|=|x1-x2|= =6. 連接MA,則由A(1,0),M(1,3)知|MA|=3, 從而MA=MB=MD,∴∠DAB=90°, 因此以M為圓心,MA為半徑的圓過A、B、D三點,且在A處與x軸相切.∴過A、B、D三點的圓與x軸相切. 高考數(shù)學復習精品 高考數(shù)學復習精品

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