大學數學極限

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1、會計學1大學數學極限大學數學極限 極限概念是微積分的基本概極限概念是微積分的基本概念。也是微積分學研究的基本念。也是微積分學研究的基本工具工具. .后面將要介紹的函數的后面將要介紹的函數的連續(xù)性、導數、積分等重要概連續(xù)性、導數、積分等重要概念，都是以極限為基礎的。念，都是以極限為基礎的。極限是研究函數的一種重要的方法。極限是研究函數的一種重要的方法。第1頁/共63頁極限是描述變量在某個變化過程中的變化趨勢變化趨勢。簡單說：第2頁/共63頁第3頁/共63頁第4頁/共63頁圓內接正六邊形圓內接正六邊形圓內接正十二邊形圓內接正十二邊形圓內接下圓內接下24邊邊形形邊長越多，正多邊形的周長越接近圓的周長

2、邊長越多，正多邊形的周長越接近圓的周長【古代極限應用】第5頁/共63頁數列的極限數列的極限(limit of sequence)數列的定義數列的定義： 數列按照一定規(guī)律有次序排列的一串數列按照一定規(guī)律有次序排列的一串數數簡記簡記 （數列也可看作是定義在正整數集合上的函數（數列也可看作是定義在正整數集合上的函數 =f(n)n=1,2, =f(n)n=1,2, ） 稱為稱為數列數列的通項或一般項。的通項或一般項。.nx,4321nxxxxxnxnx第6頁/共63頁,1,41,31,21, 1n,) 1( , 1 , 1, 11n例如：例如：n1記作：記作：1) 1(n,21,21,21,21,21

3、432n記作：n21第7頁/共63頁 數列的極限數列的極限考察當考察當n時，通項時，通項xn的的變化趨勢變化趨勢。數列極限的實質：數列極限的實質：隨著項數n的變化,通項xn的變化趨勢變化趨勢也就是第8頁/共63頁,1,41,31,21, 1n0,) 1(,43,34,21,21nnn)(n,2,8,4,2n,) 1( ,1,1,11n趨勢不定趨勢不定)(n1)(n)(n第9頁/共63頁Axnnlim數列數列nx的極限定義的極限定義：則稱常數則稱常數A為該數列的極限。為該數列的極限。記記作作或或)(nAxn（lim來自于英文單詞“l(fā)imit”極限） 給定一個數列給定一個數列 如果當項數如果當項數

4、n無限增大無限增大時，時，xn無限趨近于無限趨近于 某個固定的常數某個固定的常數Anx第10頁/共63頁,21,21,21,21,21432n常數常數 0 稱為此數列的極限稱為此數列的極限)(n021limnn記作：記作：n21例：例：0第11頁/共63頁nnx2)(nnn2lim,2,8,4,2n極限不存在例：例：第12頁/共63頁,1,41,31,21n,) 1(,43,34,21,21nnn收收 斂斂01limnn1) 1(lim1nnnn第13頁/共63頁,2,8,4,2n,) 1( ,1,1,11n發(fā)發(fā) 散散nn2lim不存在1) 1(limnn第14頁/共63頁 如果一個數列的極限

5、存在如果一個數列的極限存在, ,則稱該則稱該數列是數列是收斂收斂(converge)(converge)； 如果一個數列的極限不存在如果一個數列的極限不存在, ,則稱該則稱該數列是數列是發(fā)散發(fā)散(diverge)(diverge)。第15頁/共63頁1limnnn1課堂練習：判別下列數列是否收斂54,43,32,21)(n1nn通項1數列收斂第16頁/共63頁函數函數 值值 隨著自變量隨著自變量x的變化而變化的變化而變化)(xf函數的極限函數的極限(limit of function) 研究函數的極限研究函數的極限,就是研究當自變量就是研究當自變量按照某種方式變化時所對應的函數值按照某種方式變

6、化時所對應的函數值的的變化趨勢。變化趨勢。第17頁/共63頁二、自變量趨于有限值時函數的極二、自變量趨于有限值時函數的極限限, )(xfy 函數對一、自變量趨于無窮大時函數的極限一、自變量趨于無窮大時函數的極限x0 xx )(xf變化趨勢變化趨勢?)(xf變化趨勢變化趨勢?第18頁/共63頁自變量趨于無窮大時函數的極限自變量趨于無窮大時函數的極限時時,函數函數f(x)的極限的極限（變化趨勢）（變化趨勢）x1、時時,函數函數f(x)的極限的極限（變化趨勢）（變化趨勢）x2、時時,函數函數f(x)的極限的極限（變化趨勢）（變化趨勢）x3、第19頁/共63頁xy1, 5, 4, 3, 2x,51,4

7、1,31,21y時時,函數函數f(x)的極限的極限x例：oxyy=f(x) 0 xx0第20頁/共63頁xy1, 5, 4, 3, 2x,51,41,31,21y時時,函數函數f(x)的極限的極限xox-yxy1(X0)y=f(x) 0 x0第21頁/共63頁xy1yox+-xy=f(x) 0 xy1時時,函數函數f(x)的極限的極限第22頁/共63頁定義定義2.2：設函數設函數 ，如果當，如果當X無無限增大時，函數無限趨近于某個固限增大時，函數無限趨近于某個固定的常數定的常數 A,則稱當則稱當X趨于正無窮時趨于正無窮時， f(x) 以以A為極限，為極限，)()()(limxAxfAxfx或x

8、時時,函數函數f(x)的極限的極限.,時的極限類似可定義xx記為記為f f( (x x) )y y 第23頁/共63頁定義定義2.2：設函數設函數 ，如果當，如果當X0,而而|X|X|無限增大時，函數無限趨近無限增大時，函數無限趨近于某個固定的常數于某個固定的常數 A,則稱當則稱當X趨于趨于負無窮時，負無窮時， f(x) 以以A為極限，為極限，)()()(limxAxfAxfx或x時時,函數函數f(x)的極限的極限記為記為f f( (x x) )y y 第24頁/共63頁定義定義2.2:設函數設函數 ，如果自變量，如果自變量X可取正值也可取負值，可取正值也可取負值，X的絕對值的絕對值無限增大時

9、，函數無限趨近于某個無限增大時，函數無限趨近于某個固定的常數固定的常數 A,則稱當則稱當X趨于無窮時趨于無窮時， f(x) 以以A為極限，為極限，)()()(limxAxfAxfx或x時時,函數函數f(x)的極限的極限記為記為f f( (x x) )y y 第25頁/共63頁01limxx01limxx01limxx第26頁/共63頁xxfy2)(xx2limxx2limxx2lim不存在-+xy20第27頁/共63頁正弦函數正弦函數xysin xysin xxsinlim不存在第28頁/共63頁0 xx 2)(xxfy例7 討論當 時，函數二、自變量趨于有限值時函數的極二、自變量趨于有限值時

10、函數的極限限2x的的變化趨勢變化趨勢f(x) 變化趨勢變化趨勢?0 x為有限值第29頁/共63頁2)(xxfyx 1.9999991.99999999922.0000000012.0000.1y 3.9999960000013.9999999960000000014.0000000040000000014.00004000011x2 , f(x) 4（22）2xy x第30頁/共63頁11)(2xxxfyx0.90.990.9990.999911.00011.0011.011.1y1.91.991.9991.9999不存在2.00012.0012.012.1例8x1 , f(x) 2討論函數x

11、1函數值的變化趨勢2xoy1第31頁/共63頁定義定義2.3：設函數設函數y=f(x)在點在點x0的的鄰域內鄰域內(點點x0 可可以除外以除外)有定義有定義，如果當自變量，如果當自變量x無限趨近于無限趨近于x0(但但xx0)時，函數時，函數f(x)無限趨近于某個固定無限趨近于某個固定常數常數A,則稱當則稱當x趨于趨于x0時，函數以時，函數以A為極限，為極限，)()()(lim00 xxAxfAxfxx或記記作作函數極限定義：第32頁/共63頁4lim22xx211lim21xxx上例可記作第33頁/共63頁函數極限定義的注意點1、鄰域內有定義（、鄰域內有定義（xx0）xx0lim:0 xx 不

12、存在2、 x無限趨近于無限趨近于x00 xx 0 xx 0 xx 0 xx 211lim21xxx第34頁/共63頁x1yo1xx0lim 1, 1)(xxxf例：0第35頁/共63頁xy1yox圖象xx1lim0例（課后思考：函數極限存在的充分必要條件）不存在X從右測接近于0，y+X從左測接近于0，y-第36頁/共63頁xxxcoslim0 xxxsinlim0 xxx0lim 根據定義可以證明：以下的極限均成立可以證明：以下的極限均成立Cxx0limC0 x0cosx0sin x第37頁/共63頁-、數列、數列 的極限：的極限：給定一個數列給定一個數列 如果當項數如果當項數n無限增大時，無

13、限增大時，xn無限趨近于無限趨近于 某個固定的常數某個固定的常數A則稱常數則稱常數A為該數列的極限。為該數列的極限。Axnnlim)(nAxn-、數列、數列 的極限：的極限：nx記作記作或或給定一個數列給定一個數列 如果當項數如果當項數n無限增大時，無限增大時，xn無限趨近于無限趨近于 某個固定的常數某個固定的常數A則稱常數則稱常數A為該數列的極限。為該數列的極限。nx 設函數設函數y=f(x)在點在點x0的鄰域內的鄰域內(點點x0 可以除外可以除外)有定義有定義，如果，如果當自變量當自變量x無限趨近于無限趨近于x0(但但xx0)時時，函數，函數f(x)無限趨近于某個固定常數無限趨近于某個固定

14、常數A,則稱當則稱當x趨于趨于x0時，函數以時，函數以A為極限。為極限。二、函數二、函數 y=f(x)的極限：的極限：)()()(lim00 xxAxfAxfxx或記作記作小結第38頁/共63頁思考練習題)0(1)0)(xxxxfxxarctanlimxxarctanlim2、已知函數討論)(lim0 xfx是否存在？1、求下列極限的值第39頁/共63頁第40頁/共63頁左極限左極限 : )0(0 xfAxfxx)(lim0 x如果當如果當 從從0 x的的左側無限趨近左側無限趨近0 x時時,記著記著,0 xx函數函數f(x)無限趨近于一個確定的常無限趨近于一個確定的常數數A, 則稱則稱A為函數

15、為函數f(x)當當0 xx 時的左極限。記作時的左極限。記作第41頁/共63頁類似可定義類似可定義右極限右極限 : )0(0 xfAxfxx)(lim0函數的左極限和右極限函數的左極限和右極限統(tǒng)稱為單側極限。統(tǒng)稱為單側極限。第42頁/共63頁x1yo1,010,)(xxxxf)(lim)00(0 xffx0lim0 xx第43頁/共63頁對數函對數函數數)1, 0(log aaxyaxyln xyalog xyalog )1( a)0 , 1( )10( a第44頁/共63頁xxlnlim0第45頁/共63頁例如：例如：xxxxxxxfy2, 1220,sin01,)(2),(lim0 xfx

16、求0lim)(lim200 xxfxx0sinlim)(lim00 xxfxx)(lim0 xfx第46頁/共63頁定理定理1.11.1：Axfxx)(lim0當當 時時, ,函數函數 極限存在的極限存在的充要條件是左、右極限存在且相等，充要條件是左、右極限存在且相等，即即)(xf0 xx Axfxfxxxx)(lim)(lim00第47頁/共63頁0,10,00, 1)(xxxxxxf討論討論 0 x時時)(xf的極限是否存在的極限是否存在 . 解解: 利用定理利用定理 因為因為)(lim)00(0 xffx) 1(lim0 xx1第48頁/共63頁)(lim)00(0 xffx) 1(li

17、m0 xx1顯然顯然, )00()00(ff所以所以)(lim0 xfx不存在不存在 .第49頁/共63頁xyo11 xy11 xy0,10,00, 1)(xxxxxxf第50頁/共63頁例例7 7 問問a a為何值時為何值時, ,所給函數所給函數x x=2=2處極處極限存在。限存在。)2(2)2(2)2(10)(2xaxxaxxxf解解：左極限左極限2010lim)(lim)02(22xxffxx右極限右極限aaxxffxx24)2lim)(lim)02(222（第51頁/共63頁欲函數在欲函數在x x=2=2處極限存在，必須左極處極限存在，必須左極限限等于右極限，等于右極限，即即a=a=8

18、 8第52頁/共63頁思考：思考：1)1)研究函數極限時研究函數極限時, ,是否要考慮是否要考慮f f( (x x) )在在x x= =x x0 0時的性態(tài)？為什么？時的性態(tài)？為什么？2)2)若若f f ( (x x0 0+0)+0)和和f f ( (x x0 0-0)-0)都存在都存在, ,當當x x趨趨于于x x0 0時時, ,f f( (x x) )的極限存在嗎？的極限存在嗎？3)3)如何利用如何利用f f ( (x x0 0+0)+0)和和f f ( (x x0 0-0)-0)來判斷來判斷當當x x趨于趨于x x0 0 時時, ,f f( (x x) )的極限不存在？的極限不存在？第5

19、3頁/共63頁4)4)若極限若極限)(lim0 xfxx是否一定有是否一定有)()(lim00 xfxfxx？第54頁/共63頁1coslim0 xx0coslim2xx2arctanlimxx2arctanlimxx1sinlim2xx0sinlim0 xx0limxxe01limxx常用的極限結果：常用的極限結果：)(lim0為常數CCCxx第55頁/共63頁xxelim2lim xxxxlnlimxxlnlim0 xx1lim0 xxcoslimxxsinlim極限不存在的有：極限不存在的有：第56頁/共63頁練習：練習：設設)1(12)11(1)1()(2xxxxxxxf求：求：)(l

20、im1xfx)(lim1xfx)(lim1xfx)(lim1xfx第57頁/共63頁0) 1(lim)(lim11xxfxx不存在)(lim1xfx1) 12(lim)(lim11xxfxx1) 1(lim)(lim2211xxfxx第58頁/共63頁作業(yè)作業(yè)NO.13:(3) 分析分析 22)3(2xxy的復合結構的復合結構.解解:由由2232xxvvuyu復合而成的復合而成的.第59頁/共63頁作業(yè)作業(yè)NO.13:(4) 分析分析 3)5cos3tan(1 3xy的復合結構的復合結構.解解:由由xttvvuuy5cos3tan1323復合而成的復合而成的.xhttvvuuy5cosh3tan133第60頁/共63頁NO14. 不存在xxxfxx00lim)(lim解：解：左極限左極限11limlim)(lim000 xxxxxxf右極限右極限11limlim)(lim000 xxxxxxf)(lim)(lim00 xfxfxx不存在xxx0lim第61頁/共63頁0lim)(lim)00(00 xxffxx22lim)(lim)01 (11xxxff21,210,0,1)(xxxxxxf解解: xxffxx1lim)(lim)00(001lim)(lim)01 (11xxffxx第62頁/共63頁