2017年高考數(shù)學(xué)（理）試題分項版解析：專題04 數(shù)列與不等式

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1、來自QQ群高中數(shù)學(xué)解題研究會339444963群文件 1.【2017課標(biāo)1，理4】記為等差數(shù)列的前項和．若，，則的公差為 A．1 B．2 C．4 D．8Z 【答案】C 【解析】 試題分析設(shè)公差為，，，聯(lián)立解得，故選C. 秒殺解析因為，即，則，即，解得，故選C. 【考點】等差數(shù)列的基本量求解 【名師點睛】求解等差數(shù)列基本量問題時，要多多使用等差數(shù)列的性質(zhì)，如為等差數(shù)列，若，則. 2.【2017課標(biāo)II，理3】我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是一座7層塔共掛了381盞燈，且相

2、鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（ ） A．1盞 B．3盞 C．5盞 D．9盞 【答案】B 【解析】 【考點】 等比數(shù)列的應(yīng)用；等比數(shù)列的求和公式 【名師點睛】用數(shù)列知識解相關(guān)的實際問題，關(guān)鍵是列出相關(guān)信息，合理建立數(shù)學(xué)模型——數(shù)列模型，判斷是等差數(shù)列還是等比數(shù)列模型；求解時，要明確目標(biāo)，即搞清是求和、求通項、還是解遞推關(guān)系問題，所求結(jié)論對應(yīng)的是解方程問題、解不等式問題、還是最值問題，然后經(jīng)過數(shù)學(xué)推理與計算得出的結(jié)果，放回到實際問題中進行檢驗，最終得出結(jié)論?！? 3.【20

3、17課標(biāo)1，理12】幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興 趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案已知數(shù)列1， 1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來 的三項是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)NN>100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪.那么 該款軟件的激活碼是 A．440 B．330 C．220 D．110 【答案】A

4、 【考點】等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和. 【名師點睛】本題非常巧妙的將實際問題和數(shù)列融合在一起，首先需要讀懂題目所表達的具體含義，以及觀察所給定數(shù)列的特征，進而判斷出該數(shù)列的通項和求和.另外，本題的難點在于數(shù)列里面套數(shù)列，第一個數(shù)列的和又作為下一個數(shù)列的通項，而且最后幾項并不能放在一個數(shù)列中，需要進行判斷. 4.【2017浙江，6】已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，則“d>0”是“S4 + S6>2S5”的 A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】C 【解析】 試題分析由，可知當(dāng)，則，即，反之，，所以為充要條件，

5、選C． 【考點】 等差數(shù)列、充分必要性 【名師點睛】本題考查等差數(shù)列的前項和公式，通過公式的套入與簡單運算，可知， 結(jié)合充分必要性的判斷，若，則是的充分條件，若，則是的必要條件，該題“”“”，故為充要條件． 5.【2017課標(biāo)II，理5】設(shè)，滿足約束條件，則的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【考點】 應(yīng)用線性規(guī)劃求最值 【名師點睛】求線性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當(dāng)b＞0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最大，在y軸截距

6、最小時，z值最小；當(dāng)b＜0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大。 6.【2017天津，理2】設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為 （A） （B）1（C） （D）3 【答案】 【考點】線性規(guī)劃 【名師點睛】線性規(guī)劃問題有三類（1）簡單線性規(guī)劃，包括畫出可行域和考查截距型目標(biāo)函數(shù)的最值，有時考查斜率型或距離型目標(biāo)函數(shù)；（2）線性規(guī)劃逆向思維問題，給出最值或最優(yōu)解個數(shù)求參數(shù)取值范圍；（3）線性規(guī)劃的實際應(yīng)用，本題就是第三類實際應(yīng)用問題. $來&源： 7.【2017山東，理4】已知x,y滿足，則z=x+2y的最大值是 （A）0 （B）

7、2 （C） 5 （D）6 【答案】C 【解析】試題分析由畫出可行域及直線如圖所示，平移發(fā)現(xiàn)， 當(dāng)其經(jīng)過直線與的交點時，最大為，選C. 【考點】 簡單的線性規(guī)劃 【名師點睛】利用線性規(guī)劃求最值，一般用圖解法求解，其步驟是 (1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域； (2)考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進行變形； (3)確定最優(yōu)解在可行域內(nèi)平行移動目標(biāo)函數(shù)變形后的直線，從而確定最優(yōu)解； (4)求最值將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值． 8.【2017山東，理7】若，且，則下列不等式成立的是 （A） （B） （C）

8、 （D） 【答案】B 【考點】1.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì).2.基本不等式. 【名師點睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)單調(diào)性進行比較,若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進行比較.本題雖小，但考查的知識點較多，需靈活利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式作出判斷. 9.【2017課標(biāo)3，理9】等差數(shù)列的首項為1，公差不為0．若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則前6項的和為 A． B． C．3 D．8 【答案】A 【解析】 【考點】 等差數(shù)列求和$來&源：公式；等差數(shù)列基本量的計算

9、 【名師點睛】(1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題.(2)數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法. 10.【2017北京，理4】若x，y滿足 則x + 2y的最大值為 （A）1 （B）3 （C）5 （D）9 【答案】D 【解析】 試題分析如圖，畫出可行域， 表示

10、斜率為的一組平行線，當(dāng)過點時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，故選D. 【考點】線性規(guī)劃 【名師點睛】本題主要考查簡單線性規(guī)劃．解決此類問題的關(guān)鍵是正確畫出不等式組表示的可行域，將目標(biāo)函數(shù)賦予幾何意義；求目標(biāo)函數(shù)的最值的一般步驟為一畫二移三求．其關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出可行域，理解目標(biāo)函數(shù)的意義．常見的目標(biāo)函數(shù)有（1）截距型形如.求這類目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù)轉(zhuǎn)化為直線的斜截式，通過求直線的截距的最值間接求出的最值；（2）距離型形如 ；（3）斜率型形如，而本題屬于截距形式. 11.【2017浙江，4】若，滿足約束條件，則的取值范圍是 A．[0，6] B．[0，4] C．[6，

11、D．[4， 【答案】D 【解析】 試題分析如圖，可行域為一開放區(qū)域，所以直線過點時取最小值4，無最大值，選D． 【考點】 簡單線性規(guī)劃 【名師點睛】本題主要考查線性規(guī)劃問題，首先由不等式組作出相應(yīng)的可行域，作圖時，可將不等式轉(zhuǎn)化為（或），“”取下方，“”取上方，并明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍． 12.【2017天津，理8】已知函數(shù)設(shè)，若關(guān)于x的不等式在R上恒成立，則a的取值范圍是 （A）

12、（B） （C） （D） 【答案】 （當(dāng)時取等號）， 所以， 綜上．故選A． 【考點】不等式、恒成立問題 【名師點睛】首先滿足轉(zhuǎn)化為去解決，由于涉及分段函數(shù)問題要遵循分段處理原則，分別對的兩種不同情況進行討論，針對每種情況根據(jù)的范圍，利用極端原理，求出對應(yīng)的的范圍. 13.【2017課標(biāo)3，理13】若，滿足約束條件，則的最小值為__________. 【答案】 【解析】 【考點】應(yīng)用線性規(guī)劃求最值 【名師點睛】求線性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當(dāng)b＞0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最大，在y軸截距最小時，z值最小；當(dāng)b＜0時，直線過可行域

13、且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大. 14．【2017課標(biāo)3，理14】設(shè)等比數(shù)列滿足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，則a4 = ___________. 【答案】 【解析】 試題分析設(shè)等比數(shù)列的公比為 ，很明顯 ，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式和題意可得方程組 ，由 可得 ，代入①可得， 由等比數(shù)列的通項公式可得 . 【考點】 等比數(shù)列的通項公式 【名師點睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前n項和公式時，應(yīng)該要分類討論，有時

14、還應(yīng)善于運用整體代換思想簡化運算過程. 15.【2017課標(biāo)II，理15】等差數(shù)列的前項和為，，，則 。 【答案】 【解析】 【考點】 等差數(shù)列前n項和公式；裂項求和。 【名師點睛】等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題。數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法。使用裂項法求和時，要注意正負項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質(zhì)上造成正負相消是此

15、法的根源與目的。 16.【2017天津，理12】若， ，則的最小值為___________. 【答案】 【解析】 ，（前一個等號成立條件是，后一個等號成立的條件是，兩個等號可以同時取得，則當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）. 【考點】均值不等式 【名師點睛】利用均指不等式求最值要靈活運用兩個公式，（1） ，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；（2） ， ，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；首先要注意公式的使用范圍，其次還要注意等號成立的條件；另外有時也考查利用“等轉(zhuǎn)不等”“作乘法”“1的妙用”求最值. 17.【2017北京，理10】若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足a1=b1=–1，a4=b4=8，則=_______. 【答案】1 【

16、解析】 【考點】等差數(shù)列和等比數(shù)列 【名師點睛】我們知道,等差、等比數(shù)列各有五個基本量,兩組基本公式,而這兩組公式可看作多元方程,利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運算問題轉(zhuǎn)化解關(guān)于基本量的方程（組）,因此可以說數(shù)列中的絕大部分運算題可看作方程應(yīng)用題,所以用方程思想解決數(shù)列問題是一種行之有效的方法. 18.【2017課標(biāo)1，理13】設(shè)x，y滿足約束條件，則的最小值為 . 【答案】 【解析】 試題分析不等式組表示的可行域如圖所示， 易求得， 由得在軸上的截距越大，就越小 所以，當(dāng)直線直線過點時，取得最小值 所以取得最小值為 【考點】線性規(guī)劃. 【

17、名師點睛】本題是常規(guī)的線性規(guī)劃問題，線性規(guī)劃問題常出現(xiàn)的形式有①直線型，轉(zhuǎn)化成斜截式比較截距，要注意前系數(shù)為負$來&源：時，截距越大，值越??；②分式型，其幾何意義是已知點與未知點的斜率；③平方型，其幾何意義是距離，尤其要注意的是最終結(jié)果應(yīng)該是距離的平方；④絕對值型，轉(zhuǎn)化后其幾何意義是點到直線的距離. 19.【2017山東，理19】已知{xn}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1+x2=3，x3-x2=2 （Ⅰ）求數(shù)列{xn}的通項公式； （Ⅱ）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，依次連接點P1(x1, 1)，P2(x2, 2)…Pn+1(xn+1, n+1)得到折線P1 P2…Pn+1，求由該折

18、線與直線y=0，所圍成的區(qū)域的面積. $來&源： 【答案】(I)（II） （II）過……向軸作垂線，垂足分別為……, 由(I)得 記梯形的面積為. 由題意， 所以 ……+ =……+ ① 又……+ ② ①-②得 = 所以 【考點】1.等比數(shù)列的通項公式；2.等比數(shù)列的求和；3.“錯位相減法”. 【名師點睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式及求和公式、數(shù)列求和的“錯位相減法”.此類題目是數(shù)列問題中的常見題型.本題覆蓋面廣，對考生計算能力要求較高.解答本題，布列方程組，確定通項公式是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確計算求和是關(guān)鍵，易錯點是在“錯位”之后求和時，弄錯等比數(shù)列的

19、項數(shù).本題將數(shù)列與解析幾何結(jié)合起來，適當(dāng)增大了難度，能較好的考查考生的數(shù)形結(jié)合思想、邏輯思維能力及基本計算能力等. 20.【2017北京，理20】設(shè)和是兩個等差數(shù)列，記， 其中表示這個數(shù)中最大的數(shù)． （Ⅰ）若，，求的值，并證明是等差數(shù)列； （Ⅱ）證明或者對任意正數(shù)，存在正整數(shù)，當(dāng)時，；或者存在正整數(shù)，使得是等差數(shù)列． 【答案】中·華.資*源%庫 （Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析. 【解析】 所以. 所以對任意，于是， 所以是等差數(shù)列. 【考點】1.新定義；2.數(shù)列的綜合應(yīng)用;3.推理與證明. 【名師點睛】近年北京卷理科壓軸題一直為新信息題，本題考查學(xué)生對新定義的理解能

20、力和使用能力，本題屬于偏難問題，反映出學(xué)生對于新的信息的的理解和接受能力，本題考查數(shù)列的有關(guān)知識及歸納法證明方法，即考查了數(shù)列（分段形函數(shù)）求值，又考查了歸納法證明和對數(shù)據(jù)的分析研究，考查了學(xué)生的分析問題能力和邏輯推理能力，本題屬于拔高難題，特別是第二兩步難度較大，適合選拔優(yōu)秀學(xué)生. 21.【2017天津，理18】已知為等差數(shù)列，前n項和為，是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，,，. （Ⅰ）求和的通項公式； （Ⅱ）求數(shù)列的前n項和. 【答案】 （1）..（2）. 【解析】 （II）解設(shè)數(shù)列的前項和為， 由，，有， 故， ， 上述兩式相減，得 得. 所以，數(shù)列的前項

21、和為. 【考點】等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和 【名師點睛】利用等差數(shù)列和等比數(shù)列通項公式及前項和公式列方程組求數(shù)列的首項和公差或公比，進而寫出通項公式及前項和公式，這是等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本要求，數(shù)列求和方法有倒序相加法，錯位相減法，裂項相消法和分組求和法等，本題考查錯位相減法求和. 22.【2017浙江，22】（本題滿分15分）已知數(shù)列{xn}滿足x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)（）． 證明當(dāng)時， （Ⅰ）0＜xn+1＜xn； （Ⅱ）2xn+1? xn≤； （Ⅲ）≤xn≤． 【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析． 【解析】 （Ⅱ）由得 【

22、考點】不等式證明 【名師點睛】本題主要考查數(shù)列的概念、遞推關(guān)系與單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，不等式及其應(yīng)用，同時考查推理論證能力、分析問題和解決問題的能力，屬于難題．本題主要應(yīng)用（1）數(shù)學(xué)歸納法證明不等式；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式；（3）由遞推關(guān)系證明． 23.【2017江蘇，10】某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為萬元,要使一年的總運費與總存儲之和最小,則的值是 ▲ . 【答案】30 【解析】總費用，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立. 【考點】基本不等式求最值 【名師點睛】在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧

23、，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤. 24. 【2017江蘇，9】等比數(shù)列的各項均為實數(shù),其前項的和為,已知,則= ▲ . 【答案】32 【解析】當(dāng)時，顯然不符合題意； 當(dāng)時，，解得，則. 【考點】等比數(shù)列通項 【名師點睛】在解決等差、等比數(shù)列的運算問題時，有兩個處理思路,一是利用基本量,將多元問題簡化為一元問題,雖有一定量的運算,但思路簡潔,目標(biāo)明確;二是利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì),性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意

24、識地去應(yīng)用.但在應(yīng)用性質(zhì)時要注意性質(zhì)的前提條件，有時需要進行適當(dāng)變形. 在解決等差、等比數(shù)列的運算問題時，經(jīng)常采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運算量”的方法. 25.【2017江蘇，19】 對于給定的正整數(shù),若數(shù)列滿足對任意正整數(shù)總成立，則稱數(shù)列是“數(shù)列”. （1）證明等差數(shù)列是“數(shù)列”; （2）若數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”，證明是等差數(shù)列. 【答案】（1）見解析（2）見解析 ①中，取，則，所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列. 【考點】等差數(shù)列定義及通項公式 【名師點睛】證明為等差數(shù)列的方法 (1)用定義證明為常數(shù)）； (2)用等差中項證明； (3)通項法 為的一次函數(shù)； (4)前項和法 Z 更多經(jīng)典內(nèi)容歡迎關(guān)注：高中數(shù)學(xué)解題研究會339444963 微信公眾號 第 26 頁 共 26 頁