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1、
課時作業(yè)31 等差數(shù)列及其前n項和
1．(2019·湖北荊州一模)在等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＋a6＝10，則a7＝( A )
A．9 B．10
C．11 D．12
解析：∵在等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＋a6＝10，
∴
解得a1＝1，d＝，∴a7＝a1＋6d＝1＋8＝9.故選A.
2．在等差數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2－6x＋5＝0的根，則S17的值是( B )
A．41 B．51
C．61 D．68
解析：由題可得a3＋a15＝6，
所以a1＋a17＝a3＋a15＝6.
所以S17＝＝×6＝51.
3．(2019·
2、山東菏澤一模)已知在等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a3＝2a＋1，a5＝3a＋2，若Sn＝a1＋a2＋…＋an，且Sk＝66，則k的值為( B )
A．9 B．11
C．10 D．12
解析：∵在等差數(shù)列中，第一項、第三項、第五項分別為1,2a＋1,3a＋2，∴2(2a＋1)＝1＋3a＋2，解得a＝1，∴公差d＝＝＝1，∴Sk＝k×1＋×1＝66，解得k＝11或k＝－12(舍)．故選B.
4．(2019·江西贛中南五校聯(lián)考)在等差數(shù)列{an}中，已知a3＋a8＞0，且S9＜0，則S1、S2、…、S9中最小的是( A )
A．S5 B．S6
C．S7 D．S8
解析
3、：在等差數(shù)列{an}中，∵a3＋a8＞0，S9＜0，
∴a5＋a6＝a3＋a8＞0，S9＝＝9a5＜0，
∴a5＜0，a6＞0，∴S1、S2、…、S9中最小的是S5，故選A.
5．(2019·河南信陽模擬)《九章算術》是我國古代的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何？”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列，問五人各得多少錢？”(“錢”是古代一種質(zhì)量單位)，在這個問題中，甲得 錢( C )
A. B.
C. D.
解析：甲、乙、丙、丁、戊五人所得錢數(shù)依次
4、設為成等差數(shù)列的a1，a2，a3，a4，a5，設公差為d，由題意知a1＋a2＝a3＋a4＋a5＝，即解得故甲得錢，故選C.
6．(2019·泉州模擬)在各項均為正數(shù)的等差數(shù)列{an}中，其前n項和為Sn，當n∈N*，n≥2時，有Sn＝(a－a)，則S20－2S10＝( A )
A．50 B．－50
C．100 D．－100
解析：設等差數(shù)列{an}的公差為d，
則當n＝3時，S3＝(a－a)，
即3a1＋3d＝(a1＋2d)2－a，
整理得a1＋d＝2d(a1＋d)，可得d＝，
所以S20－2S10＝20a1＋×－20a1－10×9×＝50，故選A.
7．(2019·
5、石家莊一模)已知函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝－1對稱，且f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)，若數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且f(a50)＝f(a51)，則數(shù)列{an}的前100項的和為( B )
A．－200 B．－100
C．－50 D．0
解析：因為函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝－1對稱，又函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)，所以f(x)在(－∞，－1)上也單調(diào)，且數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列．又f(a50)＝f(a51)，所以a50＋a51＝－2，所以S100＝＝50(a50＋a51)＝－100.
8．(2019·太原模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn
6、，且S3＝9，a2a4＝21，數(shù)列{bn}滿足＋＋…＋＝1－(n∈N*)，若bn＜，則n的最小值為( C )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：設等差數(shù)列{an}的公差為d.
∵S3＝a1＋a2＋a3＝3a2＝9，a2a4＝21，
∴a2＝3，a4＝7，d＝2，an＝2n－1.
設Tn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－，
則Tn＋1＝＋＋…＋＋＝1－，兩式作差得Tn＋1－Tn＝＝－＝，所以bn＋1＝，則bn＝.
當bn＜，即＜時，得n的最小值為8，故選C.
9．設數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－10(n∈N*)，則|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝ 130 .
解析：
7、由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8為首項，2為公差的等差數(shù)列，又由an＝2n－10≥0，得n≥5，∴當n≤5時，an≤0，當n＞5時，an＞0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.
10．設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知前6項和為36，最后6項的和為180，Sn＝324(n＞6)，則數(shù)列{an}的項數(shù)為 18 .
解析：由題意知a1＋a2＋…＋a6＝36，①
an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，②
①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝
6
8、(a1＋an)＝216，
∴a1＋an＝36，又Sn＝＝324，
∴18n＝324，∴n＝18.
11．(2019·福建外國語中學調(diào)研)已知等差數(shù)列{an}的公差d＞0，前n項和為Sn，且a2·a3＝45，S4＝28.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若bn＝(c為非零常數(shù))，且數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列，求c的值．
解：(1)∵S4＝28，∴＝28，
∴a1＋a4＝14，則a2＋a3＝14，
又a2·a3＝45，公差d＞0，
∴a2＜a3，a2＝5，a3＝9，
∴解得∴an＝4n－3.
(2)由(1)知Sn＝2n2－n，∴bn＝＝，
∴b1＝，b2＝，b3＝.
9、
又{bn}是等差數(shù)列，∴b1＋b3＝2b2，
即2×＝＋，
解得c＝－(c＝0舍去)．
12．(2019·山東濟南一中檢測)各項均不為0的數(shù)列{an}滿足＝an＋2an，且a3＝2a8＝.
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
解：(1)證明：依題意，an＋1an＋an＋2an＋1＝2an＋2an，兩邊同時除以anan＋1an＋2，
可得＋＝，故數(shù)列是等差數(shù)列，
設數(shù)列的公差為d.
因為a3＝2a8＝，所以＝5，＝10，
所以－＝5＝5d，即d＝1，
故＝＋(n－3)d＝5＋(n
10、－3)×1＝n＋2，
故an＝.
(2)由(1)可知bn＝＝·＝，
故Sn＝
＝.
13．(2019·湖南永州模擬)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，前n項和為Sn，滿足a1＋5a3＝S8，給出下列結(jié)論：
①a10＝0；②S10最?。虎跾7＝S12；④S20＝0.
其中一定正確的結(jié)論是( C )
A．①② B．①③④
C．①③ D．①②④
解析：∵a1＋5a3＝S8，
∴a1＋5a1＋10d＝8a1＋28d，
∴a1＝－9d，
∴an＝a1＋(n－1)d＝(n－10)d，
∴a10＝0，故①一定正確，
∴Sn＝na1＋＝－9nd＋＝(n2－19n)，
∴S7＝
11、S12，故③一定正確，顯然②S10最小與④S20＝0不一定正確，故選C.
14．若數(shù)列{an}滿足－＝1，且a1＝5，則數(shù)列{an}的前200項中，能被5整除的項數(shù)為( B )
A．90 B．80
C．60 D．40
解析：數(shù)列{an}滿足－＝1，
即－＝1，又＝1，
∴數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，
∴＝n，∴an＝2n2＋3n，列表如下：
項
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
an的個位數(shù)
5
4
7
4
5
0
9
2
9
0
∴每10項中有4項能被5整除，∴數(shù)列{an}的前200項中，能被5整除的項數(shù)為80
12、，故選B.
15．設等差數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＞0(n∈N*)，其前n項和為Sn，若數(shù)列{}也為等差數(shù)列，則的最大值是 121 .
解析：設數(shù)列{an}的公差為d，
由題意得2＝＋，
因為a1＝1，所以2＝＋，
化簡可得d＝2a1＝2，
所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
Sn＝n＋×2＝n2，
所以＝＝2＝2
＝2.
又為單調(diào)遞減數(shù)列，
所以≤＝112＝121.
16．已知數(shù)列{an}滿足，an＋1＋an＝4n－3(n∈N*)．
(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，求a1的值；
(2)當a1＝2時，求數(shù)列{an}的前n項和Sn.
解：(1)法一：∵數(shù)列
13、{an}是等差數(shù)列，
∴an＝a1＋(n－1)d，an＋1＝a1＋nd.
由an＋1＋an＝4n－3，
得a1＋nd＋a1＋(n－1)d＝4n－3，
∴2dn＋(2a1－d)＝4n－3，
即2d＝4,2a1－d＝－3，解得d＝2，a1＝－.
法二：在等差數(shù)列{an}中，
由an＋1＋an＝4n－3，
得an＋2＋an＋1＝4(n＋1)－3＝4n＋1，
∴2d＝an＋2－an＝4n＋1－(4n－3)＝4，∴d＝2.
又∵a1＋a2＝2a1＋d＝2a1＋2＝1，∴a1＝－.
(2)由題意知，①當n為奇數(shù)時，
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)
＝2＋4[2＋4＋…＋(n－1)]－3×
＝.
②當n為偶數(shù)時，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)
＝1＋9＋…＋(4n－7)
＝.
綜上，Sn＝
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