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1、
考點(diǎn)十一 等差數(shù)列與等比數(shù)列
一、選擇題
1．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a3＝－4，a7＝－16，則a5＝( )
A．－8 B．8
C．±8 D．±4
答案 A
解析 由＝q4得q4＝4，則q2＝2，所以a5＝a3·q2＝－4×2＝－8，故選A.
2．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2,2a＝a＋a，則a6＝( )
A．16 B．8
C．4 D．2
答案 C
解析 由2a＝a＋a知，數(shù)列{a}是等差數(shù)列，前兩項(xiàng)為1,4，所以公差d＝3，故a＝1＋5×3＝16，所以a6＝4，故選C.
3．在數(shù)列{an}中，“an＝2an－1，n＝2,3,4
2、，…”是“{an}是公比為2的等比數(shù)列”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 B
解析 若an＝2an－1，n＝2,3,4，…，則此數(shù)列可以為0,0,0,0,0，…，此時(shí){an}不是等比數(shù)列；若{an}是公比為2的等比數(shù)列，則由等比數(shù)列的定義可知an＝2an－1，n＝2,3,4，….故選B.
4．(2019·全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知S4＝0，a5＝5，則( )
A．a(chǎn)n＝2n－5 B．a(chǎn)n＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n
答案 A
解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為
3、a1，公差為d.由S4＝0，a5＝5可得解得所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝n×(－3)＋×2＝n2－4n.故選A.
5．(2019·湖南六校聯(lián)考)已知公差d≠0的等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，且a2，a4－2，a6成等比數(shù)列，若正整數(shù)m，n滿(mǎn)足m－n＝10，則am－an＝( )
A．10 B．20
C．30 D．5或40
答案 C
解析 由題知(a4－2)2＝a2a6，因?yàn)閧an}為等差數(shù)列，所以(3d－1)2＝(1＋d)(1＋5d)，因?yàn)閐≠0，解得d＝3，從而am－an＝(m－n)d＝30，故選C.
6．(2019·河南百校聯(lián)盟仿真試卷)已知等差數(shù)列{an}滿(mǎn)
4、足a1＝32，a2＋a3＝40，則{|an|}的前12項(xiàng)和為( )
A．－144 B．80
C．144 D．304
答案 D
解析 a2＋a3＝2a1＋3d＝64＋3d＝40?d＝－8，所以an＝40－8n.所以|an|＝|40－8n|＝所以前12項(xiàng)和為＋＝80＋224＝304.
7．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝an2＋bn(a，b∈R)且a2＝3，a6＝11，則S7等于( )
A．13 B．49
C．35 D．63
答案 B
解析 由Sn＝an2＋bn(a，b∈R)可知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，所以S7＝＝＝＝49.選B.
8．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，
5、若a1＝－11，a4＋a6＝－6，則當(dāng)Sn取最小值時(shí)，n等于( )
A．6 B．7
C．8 D．9
答案 A
解析 由a4＋a6＝2a5＝－6得a5＝－3，則公差為＝2，所以由an＝－11＋(n－1)×2＝2n－13≤0得n≤，所以前6項(xiàng)和最小，選A.
二、填空題
9．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若＝2，則＝________.
答案
解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，＝2，即a3＋3d＝2a3，a3＝3d，＝＝＝＝.
10．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3＝，S3＝，則公比q＝________.
答案 1或－
解析 因?yàn)樗约醇矗?，所以2q2－q
6、－1＝0，解得q＝1或q＝－.
11．(2019·廣東廣州天河區(qū)綜合測(cè)試一)在等差數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋a3＋…＋a20，則m＝________.
答案 191
解析 等差數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝0，公差d≠0，am＝a1＋a2＋a3＋…＋a20，則am＝d＋2d＋…＋19d＝d＝190d＝a191，m＝191.
12．(2019·河南新鄉(xiāng)第一次模擬)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝1，(n＋1)an＋1＝(n－1)Sn，則Sn＝________.
答案
解析 ∵(n＋1)an＋1＝(n－1)Sn，∴nan＋1＋Sn＋1＝nSn，
7、∴n(Sn＋1－Sn)＋Sn＋1＝nSn，∴＝2，∴{nSn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則nSn＝2n－1，∴Sn＝.
三、解答題
13．(2019·全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S9＝－a5.
(1)若a3＝4，求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范圍．
解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，
根據(jù)題意有
解得
所以an＝8＋(n－1)×(－2)＝－2n＋10.
(2)由(1)知a5＝0，即a5＝a1＋4d＝0，即a1＝－4d，
又a1>0，所以d<0，
由Sn≥an得na1＋d≥a1＋(n－1)d
8、，
整理得(n2－9n)d≥(2n－10)d，
因?yàn)閐<0，所以n2－9n≤2n－10，
即n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10，
所以n的取值范圍是1≤n≤10(n∈N*)．
14．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a2＝6，前n項(xiàng)和為Sn，{bn}是等比數(shù)列，b2＝2，a1b3＝12，S3＋b1＝19.
(1)求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列{bncos(anπ)}的前n項(xiàng)和Tn.
解 (1)∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a2＝6，
∴S3＋b1＝3a2＋b1＝18＋b1＝19，∴b1＝1，
∵b2＝2，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，∴bn＝2n－1.
∴b3＝4，
9、∵a1b3＝12，∴a1＝3，
∵a2＝6，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，
∴an＝3n.
(2)由(1)得，令Cn＝bncos(anπ)＝(－1)n2n－1，
∴Cn＋1＝(－1)n＋12n，
∴＝－2，又C1＝－1，
∴數(shù)列{bncos(anπ)}是以－1為首項(xiàng)、－2為公比的等比數(shù)列，
∴Tn＝＝－[1－(－2)n]＝.
一、選擇題
1．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝2n＋1＋λ，則λ＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
答案 A
解析 解法一：a2＝S2－S1＝23－22＝4，a3＝S3－S2＝24－23＝8，
所以a1＝＝2，所以S1＝
10、22＋λ＝2，故λ＝－2.
解法二：Sn＝2n＋1＋λ＝2·2n＋λ，根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的結(jié)構(gòu)知λ＝－2.
2．《張丘建算經(jīng)》卷上第22題為：“今有女善織，日益功疾．初日織五尺，今一月日織九匹三丈．”其意思為今有女子善織布，且從第2天起，每天比前一天多織相同量的布，若第一天織5尺布，現(xiàn)在一個(gè)月(按30天計(jì))共織390尺布．則該女最后一天織多少尺布？( )
A．18 B．20
C．21 D．25
答案 C
解析 依題意得，織女每天所織的布的尺數(shù)依次排列形成一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)為{an}，其中a1＝5，前30項(xiàng)和為390，于是有＝390，解得a30＝21，即該織女最后一天織21尺布
11、，選C.
3．若等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，前2n項(xiàng)和，前3n項(xiàng)和分別為A，B，C，則( )
A．A＋B＝C B．B2＝AC
C．A＋B－C＝B3 D．A2＋B2＝A(B＋C)
答案 D
解析 由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，當(dāng)公比q≠－1時(shí)，A，B－A，C－B成等比數(shù)列，所以(B－A)2＝A(C－B)，所以A2＋B2＝AC＋AB＝A(B＋C)，當(dāng)q＝－1時(shí)，易驗(yàn)證此等式成立，故選D.
4．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝4，S5≥S4≥S6，則公差d的取值范圍是( )
A． B．
C． D．
答案 A
解析 因?yàn)镾5≥S4≥S6，所以S4＋a5≥S4≥S4＋a5＋a6，所以a
12、5≥0≥a5＋a6，又a1＝4，所以解得－1≤d≤－.
5．?dāng)?shù)列{an}中，已知對(duì)任意自然數(shù)n，a1＋a2＋…＋an＝2n－1，則a＋a＋…＋a等于( )
A．(2n－1)2 B．(2n－1)
C．4n－1 D．(4n－1)
答案 D
解析 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2－1＝1；當(dāng)n≥2，n∈N*時(shí)，an＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1，n＝1時(shí)也符合，所以an＝2n－1(n∈N*)．所以a＝4n－1(n∈N*)也是等比數(shù)列，所以a＋a＋…＋a＝1＋4＋42＋…＋4n－1＝＝，故選D.
6．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，r，s，t為正整數(shù)，則“r＋t＝2s”是“ar＋at＝2as
13、”的( )
A．充要條件 B．必要不充分條件
C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 C
解析 設(shè){an}的公差為d，由ar＋at＝2as得(r＋t－2)d＝(2s－2)d，即r＋t＝2s或d＝0，則“r＋t＝2s”是“r＋t＝2s或d＝0”的充分不必要條件．故選C.
7．已知在公比不為1的等比數(shù)列{an}中，a2a4＝9，且2a3為3a2和a4的等差中項(xiàng)，設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為T(mén)n，則T8＝( )
A．×37－ B．310
C．318 D．320
答案 D
解析 由題意，得a＝9，設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由2a3為3a2和a4的等差中項(xiàng)，得3·＋a3q＝4
14、·a3，由公比不為1，解得q＝3，所以T8＝a1·a2·…·a8＝aq28＝aq16·q12＝(a1q2)8·q12＝(a)4q12＝94×312＝320.
8．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a－2a－an＋1an＝0，設(shè)bn＝log2，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為( )
A．n B．
C． D．
答案 C
解析 因?yàn)閍－2a－an＋1an＝0，所以(an＋1＋an)·(2an－an＋1)＝0，又因?yàn)閍n>0，所以2an－an＋1＝0，即＝2，所以數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列，＝＝2n，所以bn＝log2＝log22n＝n，所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.
二、
15、填空題
9．(2019·江西撫州七校聯(lián)考)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S10＝10，S30＝30，則S20＝________.
答案 20
解析 因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，所以S10，S20－S10，S30－S20成等比數(shù)列，因?yàn)镾10＝10，S30＝30，所以(S20－10)2＝10×(30－S20)，解得S20＝20或S20＝－10，因?yàn)镾20－S10＝q10S10>0，所以S20>0，則S20＝20.
10．(2019·廣東深圳適應(yīng)性考試)等差數(shù)列{an}中，a4＝10且a3，a6，a10成等比數(shù)列，數(shù)列{an}的前20項(xiàng)和S20＝________.
答案
16、200或330
解析 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a3＝a4－d＝10－d，a6＝a4＋2d＝10＋2d，a10＝a4＋6d＝10＋6d，又a3a10＝a，即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2，整理得10d2－10d＝0，解得d＝0或d＝1.當(dāng)d＝0時(shí)，S20＝20a4＝200；當(dāng)d＝1時(shí)，a1＝a4－3d＝10－3×1＝7，于是，S20＝20a1＋d＝20×7＋190＝330.
11．(2019·河北唐山質(zhì)檢)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝________.
答案?。?
解析 由已知得an＋1＝Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，兩邊
17、同時(shí)除以Sn＋1Sn，得－＝－1，故數(shù)列是以－1為首項(xiàng)，－1為公差的等差數(shù)列，則＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝－.
12．(2019·山東德州第一次考試)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，an≠0,3Sn＝anan＋1＋1，則a2019＝________.
答案 3028
解析 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1,3Sn＝anan＋1＋1?、?，當(dāng)n＝1時(shí)，整理得3S1＝3a1＝a1·a2＋1，解得a2＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，3Sn－1＝an－1·an＋1?、冢伲诘茫?an＝an(an＋1－an－1)，由于an≠0，故an＋1－an－1＝3(常數(shù))，故數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)
18、為首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，則an＝1＋3.數(shù)列{an}的偶數(shù)項(xiàng)為首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，an＝2＋3，所以a2019＝1＋3＝3028.
三、解答題
13．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，若Sm＝63，求m.
解 (1)設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.
(2)若an＝(－2)n－1，則Sn＝.
由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程沒(méi)有正整數(shù)解．
19、
若an＝2n－1，則Sn＝2n－1.
由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.
綜上，m＝6.
14．(2019·全國(guó)卷Ⅱ)已知數(shù)列{an}和{bn}滿(mǎn)足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4.
(1)證明：{an＋bn}是等比數(shù)列，{an－bn}是等差數(shù)列；
(2)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式．
解 (1)證明：由題設(shè)得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，
即an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)．又因?yàn)閍1＋b1＝1，
所以{an＋bn}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．
由題設(shè)得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，
即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.
又因?yàn)閍1－b1＝1，所以{an－bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．
(2)由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1，
所以an＝[(an＋bn)＋(an－bn)]＝＋n－，
bn＝[(an＋bn)－(an－bn)]＝－n＋.
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