2018年高考數(shù)學 100題系列 第13題 函數(shù)的圖像 理

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1、 第13題函數(shù)的圖像 I．題源探究·黃金母題 【例1】下圖中哪幾個圖象與下述三件事分別吻合得最好？請你為剩下的那個圖象寫出一件事． （1）我離開家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里了，于是返回家里找到了作業(yè)本再上學； （2）我騎著車一路勻速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時間； （3）我出發(fā)后，心情輕松，緩緩行進，后來為了趕時間開始加速． 【解析】圖象（A）對應事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示離開家的距離不發(fā)生變化；圖象（B）對應事件（3），剛剛開始緩緩行進，后來為了趕時間開始加速；圖象（D）對應事件（1），返回家里的時刻，離開家的距離又為零；圖象（C）我出發(fā)后

2、，以為要遲到，趕時間開始加速，后來心情輕松，緩緩行進． 精彩解讀 【試題來源】人教版A版必修1第23頁練習第2題 【母題評析】本題考查了函數(shù)的表示法之一—圖像法，意在培養(yǎng)學生的數(shù)形結合思想，也考察了學生的分析問題和解決問題的能力，同時告訴了學生生活之中處處有數(shù)學，數(shù)學來源于生活又應用與生活。 【思路方法】數(shù)形結合思想是高中數(shù)學中主要的解題思想之一，提別是在解決函數(shù)的問題中，函數(shù)圖像是強有力的工具，這種思想是近幾年高考試題常常采用的命題形式。 【例2】函數(shù)的圖象如圖所示． （1）函數(shù)的定義域是什么？ （2）函數(shù)的值域是什么？ （3）取何值時，只有唯一的值與之對應？ 【解析】

3、（1）函數(shù)的定義域是； （2）函數(shù)的值域是； （3）當，或時，只有唯一的值與之對應． 精彩解讀 【試題來源】人教版A版必修1第25頁習題1．2B組第1題 【母題評析】本題以分段函數(shù)的圖像為載體考察了函數(shù)定義域、值域的求法，加強學生對函數(shù)概念及函數(shù)三要素的理解，這對以后學習函數(shù)的性質有很大的幫助。 【思路方法】函數(shù)圖像解決函數(shù)問題是強有力的工具，因此培養(yǎng)學生的讀圖、識圖能力很重要。 【例3】函數(shù)的函數(shù)值表示不超過的最大整數(shù)，例如，．當時，寫出函數(shù)的解析式，并作出函數(shù)的圖象． 【解析】 圖象如下 精彩解讀 【試題來源】人教版A版必修1第25頁習題1．2B組第3題 【母題

4、評析】本題是一道信息給予題，通過定義新函數(shù)，考查了學生對分段函數(shù)概念的理解及函數(shù)解析式的求法，同時培養(yǎng)學生閱讀能力和理解能力。 【思路方法】數(shù)形結合思想是高中數(shù)學中主要的解題思想之一，提別是在解決函數(shù)的問題中，函數(shù)圖像是強有力的工具，這種思想是近幾年高考試題常常采用的命題形式。 【例4】畫出下列函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在各單調(diào)區(qū)間上函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)． （1）；（2）． 【解析】（1）函數(shù)在上遞減；函數(shù)在上遞增； （2）函數(shù)在上遞增；函數(shù)在上遞減． 精彩解讀 【試題來源】人教版A版必修1第39頁習題1．3A組第1題 【母題評析】本題以畫圖的方式

5、讓學生去尋找函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，培養(yǎng)學生的作圖、讀圖、識圖的能力，。 【思路方法】利用函數(shù)圖像求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是一種常用的方法，數(shù)形結合思想是高中數(shù)學中主要的解題思想之一，提別是在解決函數(shù)的問題中，函數(shù)圖像是強有力的工具，這種思想是近幾年高考試題常常采用的命題形式。 【例5】出函數(shù)及的圖象，并且說明這兩個函數(shù)的相同點和不同點，如右圖所示． 【解析】畫出函數(shù)及的圖象，如下圖所示： 相同點：圖象都在軸的右側，都過點 不同點：的圖象是上升的，的圖象是下降的 關系：和的圖象是關于軸對稱的． 精彩解讀 【試題來源】人教版A版必修1第73頁練習第1題 【母題評析】本題以和的圖像為載體，讓

6、同學們再次認識對數(shù)函數(shù)圖像的異同，加強學生對對數(shù)函數(shù)圖像的認識。 【思路方法】利用圖像解決函數(shù)的問題，形象直觀，過程簡練，語言簡潔。 【例6】利用函數(shù)圖像判斷下列方程有沒有根，有幾個根： （1）-x2+3x+5=0；（2）2x(x-2)=-3；（3）x2=4x-4；（4）5x2+2x=3x2+5 【解析】（1）令f(x)=-x2+3x+5，作出函數(shù)f(x)的圖象(圖3-1-2-7（1）)，它與x軸有兩個交點，所以方程-x2+3x+5=0有兩個不相等的實數(shù)根． （2）2x(x-2)=-3可化為2x2-4x+3=0，令f(x)=2x2-4x+3， 作出函數(shù)f(x)的圖象(圖3-1-2-

7、7（2）)，它與x軸沒有交點，所以方程2x(x-2)=-3無實數(shù)根． （3）x2=4x-4可化為x2-4x+4=0，令f(x)=x2-4x+4，作出函數(shù)f(x)的圖象(圖3-1-2-7（3）)，它與x軸只有一個交點(相切)，所以方程x2=4x-4有兩個相等的實數(shù)根． （4）5x2+2x=3x2+5可化為2x2+2x-5=0，令f(x)=2x2+2x-5，作出函數(shù)f(x)的圖象(圖3-1-2-7（4）)，它與x軸有兩個交點，所以方程5x2+2x=3x2+5有兩個不相等的實數(shù)根． 精彩解讀 【試題來源】人教版A版必修1第88頁練習第1題 【母題評析】本題以通過圖像然學生去探究方程根的

8、分布情況，意在培養(yǎng)學生的數(shù)形結合思想，同時也滲透了函數(shù)與方程思想。 【思路方法】本題為研究方程根的分布指明了方向，即轉化為判斷函數(shù)圖像與軸交點個數(shù)問題。 【例7】設函數(shù)，若， （1）求的解析式； （2）借助計算機或計算器，畫出函數(shù)的圖像；（3）求出函數(shù)的零點（精確度0．1）． 【解析】（1）由題設有g(x)=2-［f(x)］2=2-(x2+3x+2)2=-x4-6x3-13x2-12x-2． （2）函數(shù)圖象如下圖所示． 圖3-1-2-10 （3）由圖象可知，函數(shù)g(x)分別在區(qū)間(-3，-2)和區(qū)間(-1，0)內(nèi)各有一個零點．取區(qū)間(-3，-2)的中點x1=-2．5，用計算

9、器可算得g(-2．5)=0．187 5．因為g(-3)·g(-2．5)<0，所以x0∈(-3，-2．5)．再取(-3，-2．5)的中點x2=-2．75，用計算器可算得g(-2．75)≈0．28．因為g(-3)·g(-2．75)<0，所以x0∈(-3，-2．75)． 同理，可得x0∈(-2．875，-2．75)，x0∈(-2．812 5，-2．75)． 由于|-2．75-(-2．812 5)|=0．062 5<0．1，所以原方程在區(qū)間(-3，-2)內(nèi)的近似解可取為-2．812 5．同樣可求得函數(shù)在區(qū)間(-1，0)內(nèi)的零點約為-0．2． 所以函數(shù)g(x)精確到0．1的零點約為-2．8或-0．

10、2． 精彩解讀 【試題來源】人教版A版必修1第93頁習題3．1B組第3題 【母題評析】本題是一道求復合函數(shù)解析式與函數(shù)零點相結合的問題，同時考查了如何利用零點分段法去求函數(shù)的零點。 【思路方法】本題為研究函數(shù)的零點指明了方向，即轉化為判斷函數(shù)圖像與軸交點個數(shù)問題。解決這類需要我們利用圖象所提供的信息來分析解決問題的題目的常用方法有：①定性分析法，也就是通過對問題進行定性的分析，從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢，利用這一特征來分析解決問題；②定量計算法，也就是通過定量的計算來分析解決問題；③函數(shù)模型法，也就是由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析解決問題． 分段

11、函數(shù)的函數(shù)值時，應首先確定所給自變量的取值屬于哪一個范圍，然后選取相應的對應關系．若自變量值為較大的正整數(shù)，一般可考慮先求函數(shù)的周期．若給出函數(shù)值求自變量值，應根據(jù)每一段函數(shù)的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值是否屬于相應段自變量的范圍； II．考場精彩·真題回放 【例1】【2017高考新課標I卷】函數(shù)的部分圖像大致為（） A． B．C．D． 【答案】C 【解析】由題意知，函數(shù)為奇函數(shù)，故排除B；當時，，排除D；當時，，排除A．故選C． 【例2】【2017高考新課標III卷】函數(shù)的部分圖像大致為（） A B

12、 C D 【答案】D 【解析】當時，，故排除A，C，當時，，故排除B，滿足條件的只有D，故選D． 【例3】【2017高考山東卷】已知當時，函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個交點，則正實數(shù)的取值范圍是（） A．B． C．D． 【答案】B 【解析】當時，，單調(diào)遞減，且，單調(diào)遞增，且，此時有且僅有一個交點；當時，，在上單調(diào)遞增，所以要有且僅有一個交點，需，故選B． 【例4】【2017高考北京卷】三名工人加工同一種零件，他們在一天中的工作情況如圖所示，其中點Ai的橫、縱坐標分別為第i名工人上午的工作時間和加工的零件數(shù)，點Bi的橫、縱坐標分別為第i名工人

13、下午的工作時間和加工的零件數(shù)，i=1，2，3． ①記Q1為第i名工人在這一天中加工的零件總數(shù)，則Q1，Q2，Q3中最大的是_________． ②記pi為第i名工人在這一天中平均每小時加工的零件數(shù)，則p1，p2，p3中最大的是_________． 【答案】； 【解析】 試題分析：作圖可得中點縱坐標比中點縱坐標大，所以第一位選 分別作關于原點的對稱點，比較直線斜率，可得最大，所以選 【命題意圖】識別辨析函數(shù)的圖象，實質就是分析函數(shù)的性質，主要觀察以下幾點： ①函數(shù)的定義域； ②函數(shù)圖象的最高點(最大值)和最低點(最小值)； ③與坐標軸的交點（即或的點）； ④圖象的對稱性

14、(函數(shù)的奇偶性)； ⑤函數(shù)圖象在某段上的變化趨勢(即函數(shù)的單調(diào)性)； ⑥圖象的變化規(guī)律(即函數(shù)的周期性)； ⑦函數(shù)圖象的凸凹性． 【考試方向】高考試題的考查角度有兩種：一種是給出函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象；一種是函數(shù)圖象的應用．圖象的判斷以及函數(shù)圖象的應用、數(shù)形結合的數(shù)學思想方法及利用函數(shù)圖象研究函數(shù)性質、方程、不等式等問題仍將是高考的主要考查內(nèi)容，備考時應加強針對性的訓練． 【難點中心】本類試題主要考查冪、指、對函數(shù)圖像與性質、二次函數(shù)函數(shù)的圖象與性質、函數(shù)與方程、分段函數(shù)的概念．解答此類問題，關鍵在于能利用數(shù)形結合思想，通過對函數(shù)圖象的分析，轉化得到代數(shù)不等式．這類題能較好的考查考生

15、數(shù)形結合思想、轉化與化歸思想、基本運算求解能力等．這類題目一般比較靈活，對解題能力要求較高，故也是高考中的難點，解決這類問題的方法一般是利用間接法，即由函數(shù)性質排除不符合條件的選項． （1）運用函數(shù)性質研究函數(shù)圖像時，先要正確理解和把握函數(shù)相關性質本身的含義及其應用方向； （2）在運用函數(shù)性質特別是奇偶性、周期、對稱性、單調(diào)性、最值、零點時，要注意用好其與條件的相互關系，結合特征進行等價轉化研究．如奇偶性可實現(xiàn)自變量正負轉化，周期可實現(xiàn)自變量大小轉化，單調(diào)性可實現(xiàn)去“”，即將函數(shù)值的大小轉化自變量大小關系 III．理論基礎·解題原理 考點一由式定圖：即根據(jù)函數(shù)的解析式確定函數(shù)的圖象

16、此類問題實質就是分析函數(shù)的性質，主要觀察以下幾點： ①函數(shù)的定義域；②函數(shù)圖象的最高點(最大值)和最低點(最小值)； ③與坐標軸的交點（即或的點）；④圖象的對稱性(函數(shù)的奇偶性)； ⑤函數(shù)圖象在某段上的變化趨勢(即函數(shù)的單調(diào)性)；⑥圖象的變化規(guī)律(即函數(shù)的周期性)； ⑦函數(shù)圖象的凸凹性． 解決這類需要我們利用圖象所提供的信息來分析解決問題的題目的常用方法有：①定性分析法，也就是通過對問題進行定性的分析，從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢，利用這一特征來分析解決問題；②定量計算法，也就是通過定量的計算來分析解決問題；③函數(shù)模型法，也就是由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關函數(shù)模型，利用這一函數(shù)

17、模型來分析解決問題． 考點二利用函數(shù)的圖象研究方程根的個數(shù) 當方程與基本函數(shù)有關時，可以通過函數(shù)圖象來研究方程的根，方程的根就是函數(shù)圖象與x軸的交點的橫坐標，方程的根就是函數(shù)與圖象交點的橫坐標． 考點三、函數(shù)圖象變換 設函數(shù)，其它參數(shù)均為正數(shù) （1）平移變換： ：的圖像向左平移個單位；：的圖像向右平移個單位 ：的圖像向上平移個單位；：的圖像向下平移個單位 （2）對稱變換： ：與的圖像關于軸對稱；：與的圖像關于軸對稱 ：與的圖像關于原點對稱 （3）伸縮變換： ：圖像縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼? ：圖像橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼? （4）翻折變換： ：即正半軸的圖像不

18、變，負半軸的原圖像不要，換上與正半軸圖像關于軸對稱的圖像 ：即軸上方的圖像不變，下方的圖像沿軸對稱的翻上去。 考點四二階導函數(shù)與函數(shù)的凹凸性： （1）無論函數(shù)單調(diào)增還是單調(diào)減，其圖像均有3種情況， 若一個函數(shù)的增減圖像為則稱函數(shù)為下凸函數(shù) 若一個函數(shù)的增減圖像為則稱函數(shù)為上凸函數(shù) （2）上凸函數(shù)特點：增區(qū)間增長速度越來越慢，減區(qū)間下降速度越來越快 下凸函數(shù)特點：增區(qū)間增長速度越來越快，減區(qū)間下降速度越來越慢 （3）與導數(shù)的關系：設的導函數(shù)為（即的二階導函數(shù)），如圖所示：增長速度受每一點切線斜率的變化情況的影響，下凸函數(shù)斜率隨的增大而增大，即為增函數(shù)；上凸函數(shù)隨的增大而減

19、小，即為減函數(shù)； IV．題型攻略·深度挖掘 【考試方向】 高考試題的考查角度有兩種：一種是給出函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象；一種是函數(shù)圖象的應用．圖象的判斷以及函數(shù)圖象的應用、數(shù)形結合的數(shù)學思想方法及利用函數(shù)圖象研究函數(shù)性質、方程、不等式等問題仍將是高考的主要考查內(nèi)容，備考時應加強針對性的訓練． 【技能方法】 在處理有關判斷正確圖像的選擇題中，常用的方法是排除法，通過尋找四個選項的不同，再結合函數(shù)的性質即可進行排除，常見的區(qū)分要素如下： （1）單調(diào)性：導函數(shù)的符號決定原函數(shù)的單調(diào)性，導函數(shù)圖像位于軸上方的區(qū)域表示原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，位于軸下方的區(qū)域表示原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間 （2）函數(shù)零點

20、周圍的函數(shù)值符號：可通過帶入零點附近的特殊點來進行區(qū)分 （3）極值點 （4）對稱性（奇偶性）——易于判斷，進而優(yōu)先觀察 （5）函數(shù)的凹凸性：導函數(shù)的單調(diào)性決定原函數(shù)的凹凸性，導函數(shù)增區(qū)間即為函數(shù)的下凸部分，減區(qū)間為函數(shù)的上凸部分。其單調(diào)性可由二階導函數(shù)確定 【易錯指導】 1。利用圖像變換作圖的步驟： （1）尋找到模板函數(shù)（以此函數(shù)作為基礎進行圖像變換） （2）找到所求函數(shù)與的聯(lián)系 （3）根據(jù)聯(lián)系制定變換策略，對圖像進行變換。 例如：作圖： 第一步尋找模板函數(shù)為： 第二步尋找聯(lián)系：可得 第三步制定策略：由特點可得：先將圖像向左平移一個單位，再將軸下方圖像向上進行翻折，然后

21、按照方案作圖即可 2。如何制定圖象變換的策略 （1）在尋找到聯(lián)系后可根據(jù)函數(shù)的形式了解變換所需要的步驟，其規(guī)律如下： ①若變換發(fā)生在“括號”內(nèi)部，則屬于橫坐標的變換 ②若變換發(fā)生在“括號”外部，則屬于縱坐標的變換 例如：：可判斷出屬于橫坐標的變換：有放縮與平移兩個步驟 ：可判斷出橫縱坐標均需變換，其中橫坐標的為對稱變換，縱坐標的為平移變換 （2）多個步驟的順序問題：在判斷了需要幾步變換以及屬于橫坐標還是縱坐標的變換后，在安排順序時注意以下原則： ①橫坐標的變換與縱坐標的變換互不影響，無先后要求 ②橫坐標的多次變換中，每次變換只有發(fā)生相應變化 例如：可有兩種方案 方案一：先

22、平移（向左平移1個單位），此時。再放縮（橫坐標變?yōu)樵瓉淼模?，此時系數(shù)只是添給，即 方案二：先放縮（橫坐標變?yōu)樵瓉淼模?，此時，再平移時，若平移個單位，則（只對加），可解得，故向左平移個單位 ③縱坐標的多次變換中，每次變換將解析式看做一個整體進行 例如：有兩種方案 方案一：先放縮：，再平移時，將解析式看做一個整體，整體加1，即 方案二：先平移：，則再放縮時，若縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，那么，無論取何值，也無法達到，所以需要對前一步進行調(diào)整：平移個單位，再進行放縮即可（） 3、變換作圖的技巧： （1）圖像變換時可抓住對稱軸，零點，漸近線。在某一方向上他們會隨著平移而進行相同方向的移動。先把握

23、住這些關鍵要素的位置，有助于提高圖像的精確性 （2）圖像變換后要將一些關鍵點標出：如邊界點，新的零點與極值點，與軸的交點等 V．舉一反三·觸類旁通 考向1 由式定圖 【例1】【2018江西省級聯(lián)考】函數(shù)的圖象大致為（） ABCD 【答案】A 【例2】【2018廣西柳州上學期摸底測試】函數(shù)在上的圖象的大致形狀是（） ABCD 【答案】A 【解析】，為奇函數(shù)，故圖象關于原點對稱，故排除C，當時，，故排除D，當時，，故排除B，故選A 【例3】【2018】函數(shù)的圖像大致為（） ABCD 【答案】D 【方法點晴】本題通過對多個圖象的選擇考查函數(shù)的解析式、

24、定義域、值域、單調(diào)性，導數(shù)的應用以及數(shù)學化歸思想，屬于難題．這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循．解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點以及時函數(shù)圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意選項一一排除． 【例4】【2018廣西模擬】定義運算，則函數(shù)的圖象是（） ABCD 【答案】A 【解析】，故選A。 【跟蹤練習】 1．【2018河南豫南九校第二次質量檢測】函數(shù)的大致圖象是（） ABCD 【答案】C 【解析】，為奇函數(shù)，排除B；在上，當時，，排除A；時，，排除D，故選C

25、 2．【2018廣東珠海一中等六校第一次聯(lián)考】函數(shù)的圖象大致是（） ABCD 【答案】D 3．【2018廣西桂林模擬】函數(shù)的圖象大致是（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由條件知，函數(shù)為奇函數(shù)，有定義域得，排除C；當趨向于時，趨向于．當趨向于時，趨向于．排除Ｄ；當趨向于時，趨向于．故答案為B． 4．【2018河南鄭州一中上學期入學考試】設曲線（）上任一點處切線斜率為，則函數(shù)的部分圖象要以為（） A． B． C．D． 【答案】D 考向2 圖像與函數(shù)零點、方程的根以及函數(shù)圖象的交點相結合 【例5】【2018吉林長春一模

26、】已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當時，，則函數(shù)在區(qū)間上所有零點之和為（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，作圖如下： 四個交點分別關于對稱，所以零點之和為，選D． 【名師點睛】對于方程解的個數(shù)(或函數(shù)零點個數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍．從圖象的最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等． 【例6】【2018河南鄭州一中上學期入學考試】設函數(shù)，若關于的方程有四個不同的解，且，則的取值范圍是（） A． B． C． D．

27、 【答案】D 【名師點睛】在處理函數(shù)的零點個數(shù)問題時，往往轉化為判定兩個函數(shù)的圖象交點個數(shù)問題，一般利用數(shù)形結合思想進行處理；本題的難點在于判定四個解的關系及的取值范圍． 【例7】【2017福建師大附中模擬】已知定義在上的奇函數(shù)的導函數(shù)為，當時，滿足，則在上的零點個數(shù)為（） A．5 B．3 C．1或3 D．1 【答案】D 【解析】構造函數(shù)所以 因為所以 所以函數(shù)在時是增函數(shù)， 又所以當x成立， 因為對任意 ，所以， 由于是奇函數(shù)，所以x＞0時即只有一個根就是0． 故選D． 【點睛】本題主要考查利用構造函數(shù)法判斷函數(shù)零點的知識，合理的構造函數(shù)

28、是解決問題的關鍵． 【例8】【2017云南昆明第二次統(tǒng)測】已知關于的方程有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（） A． B． C． D． 【答案】C 【例9】【2016高考山東理數(shù)】已知函數(shù)其中，若存在實數(shù)b，使得關于x的方程f（x）=b有三個不同的根，則m的取值范圍是________________． 【答案】 【解析】畫出函數(shù)圖象如下圖所示： 由圖所示，要有三個不同的根，需要紅色部分圖像在深藍色圖像的下方，即，，解得。 【例10】【2016廣東廣州一模，理16】已知函數(shù)則函數(shù)的零點個數(shù)為個． 【答案】 【例11】【2016年南昌模擬】

29、已知是定義在上且周期為3的函數(shù)，當時，，若函數(shù)在區(qū)間上有10個零點（互不相同），則實數(shù)的取值范圍是． 【答案】 【例12】已知函數(shù)，．若方程恰有4個互異的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為__________． 【答案】． 【解析】 方法一：在同一坐標系中畫和的圖象（如圖），問題轉化為與圖象恰有四個交點．當與（或與）相切時，與圖象恰有三個交點．把代入，得，即，由，得，解得或．又當時，與僅兩個交點，或． 方法二：顯然，所以．令，則．因為，所以．結合圖象可得或． 【例13】設函數(shù)f(x)＝(x>0)． （1）作出函數(shù)f(x)的圖象； （2）當0

30、＋的值； （3）若方程f(x)＝m有兩個不相等的正根，求m的取值范圍． 【答案】（1） m＝4．（2）兩個零點．（3） [2，4]．（4） {x|04}． (5) {m|00的解集為：{x|04}． (5)由圖象可知若y＝f(x)與y＝m的圖象有三個不同的交點，則0

31、<4，∴集合M＝{m|0

32、取值范圍是__________． 【答案】 【解析】設，則，則，根據(jù)可得：，（），于是有，則函數(shù)圖像如下圖， 方程有兩個不等的實根，轉化為有兩個不等的實根，即函數(shù)的圖像與函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的交點，如上圖，當與（）相切時，設切點為，，根據(jù)導數(shù)幾何意義有，解得，此時切線斜率為，函數(shù)的圖像與函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的交點時，則有或，所以或． 【名師點睛】本題關鍵是根據(jù)及時，求出函數(shù)在區(qū)間上的解析式，然后畫出分段函數(shù)的圖像．于是將方程有兩個不等的實根，轉化為兩個函數(shù)圖像有兩個不同的交點，通過數(shù)形結合的思想方法，方程的根轉化為函數(shù)的零點或函數(shù)圖像的交點，體現(xiàn)了轉化思想的重要性． 4．【2

33、017天津河西區(qū)二模】已知函數(shù)則函數(shù)的所有零點構成的集合為__________． 【答案】 【名師點睛】本題考查分段函數(shù)的零點問題及化歸轉化的思想＼分類整合思想＼分析問題解決問題的能力。求解時先從內(nèi)函數(shù)的值的正負為分類標準進行分類，運用函數(shù)的對應思想和觀念，分別建立對數(shù)方程和整式方程，通過分析求解方程使得問題獲解。 5．【2017江蘇蘇錫常鎮(zhèn)四市5月調(diào)研】已知函數(shù)若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍為__________． 【答案】 【解析】與相切時（正舍），與相切時，與不相切．由圖可知實數(shù)的取值范圍為 【名師點睛】對于方程解的個數(shù)(或函數(shù)零點個數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最

34、值，結合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍．從圖象的最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等． 6．【2017北京東城區(qū)5月模擬】已知函數(shù)． ①若有且只有個實根，則實數(shù)的取值范圍是__________． ②若關于的方程有且只有個不同的實根，則實數(shù)的取值范闈是__________． 【答案】 【解析】函數(shù)圖像如下圖， 根據(jù)上圖，若只有1個實根，則； 若將函數(shù)的圖像向左平移T=2個單位時，如下圖 所得圖像與的圖像在上重合，此時方程有無窮多個解， 所以若方程有且只有3個不同的實根，平移圖像，如下圖觀

35、察可知或， 【名師點睛】本題主要考查函數(shù)圖像，理解函數(shù)并畫出函數(shù)圖像，然后將方程有且只有1個實根轉化為兩個函數(shù)圖像有且只有一個交點，主要考查函數(shù)零點的劃歸與轉化能力．另外本題考查函數(shù)圖像平移，將方程有且只有個不同的實根，轉化為平移后兩個函數(shù)圖像有且只有3個交點，考法新穎、創(chuàng)新性強，考查學生分析問題、解決問題的能力，重點考數(shù)形結合思想． 7．【2018遼寧莊河高級中學、沈陽二十中高三上學期第一次聯(lián)考】已知函數(shù)將的圖象向右平移兩個單位，得到函數(shù)的圖象． （1）求函數(shù)的解析式； （2）若方程在上有且僅有一個實根，求的取值范圍． 【答案】（1）（2） 法1：設，對稱軸，則①．或②

36、 由①得，即，． 由②得無解，則． 法2：由，，得，，設，則，． 記，則在上是單調(diào)函數(shù)，因為故要使題設成立，只須．即．從而． 考向3 圖像與解析幾何相結合 【例14】【2018遼寧鞍山一中一模】如圖1所示，半徑為1的半圓與等邊三角形夾在兩平行線之間，，與半圓相交于兩點，與三角形兩邊相交于兩點．設弧的長為，，若從平行移動到，則的圖象大致是（） A． B．C． D． 【答案】D AE=ED=DA=1，∴y=EB+BC+CD=AB+BC+CA?(AE+AD)= ．如圖。 又當時，圖中．故當時，對應的點(x，y)在圖中紅色連線段的下方，對照選項，D正確。故選

37、D． 【例15】【2018貴州遵義航天中學一?！恳阎狿是圓上異于坐標原點O的任意一點，直線OP的傾斜角為，若，則函數(shù)的大致圖象是（） A． B．C． D． 【答案】D 【名師點睛】（1）運用函數(shù)性質研究函數(shù)圖像時，先要正確理解和把握函數(shù)相關性質本身的含義及其應用方向．（2）在運用函數(shù)性質特別是奇偶性、周期、對稱性、單調(diào)性、最值、零點時，要注意用好其與條件的相互關系，結合特征進行等價轉化研究．如奇偶性可實現(xiàn)自變量正負轉化，周期可實現(xiàn)自變量大小轉化，單調(diào)性可實現(xiàn)去，即將函數(shù)值的大小轉化自變量大小關系 【例16】【2017山西太原五中5月模擬】已知函數(shù)，如在區(qū)間上存在個不同

38、的數(shù)，使得比值成立，則的取值集合是（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 因為的幾何意義為點)與原點的連線的斜率， 所以的幾何意義為點與原點的連線有相同的斜率， 函數(shù)的圖象，在區(qū)間上，與的交點個數(shù)有1個，2個或者3個， 故或， 即的取值集合是，故選：B． 【名師點睛】本題考查兩函數(shù)的交點問題，通過分析信息得到的圖象，在區(qū)間上，與的交點個數(shù)．確定零點的個數(shù)問題：可利用數(shù)形結合的辦法判斷交點個數(shù)，如果函數(shù)較為復雜，可結合導數(shù)知識確定極值點和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象．方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉化為求函數(shù)的值域問題處理．恒

39、成立問題以及可轉化為恒成立問題的問題，往往可利用參變分離的方法，轉化為求函數(shù)最值處理．也可構造新函數(shù)然后利用導數(shù)來求解．注意利用數(shù)形結合的數(shù)學思想方法． 【跟蹤練習】 1．【2017河北保定二?！咳酎c的坐標滿足，則點的軌跡大致是（） A． B． C． D． 【答案】B 2．【2017遼寧部分重點中學作協(xié)體高三考前模擬】某觀察者站在點觀察練車場上勻速行駛的小車的運動情況，小車從點出發(fā)的運動軌跡如圖所示．設觀察者從點開始隨動點變化的視角為為角，練車時間為，則函數(shù)的圖象大致為（） A． B． C． D． 【答案】D 3．已知兩定點和，動

40、點在直線上移動，橢圓以為焦點且經(jīng)過點，記橢圓的離心率為，則函數(shù)的大致圖象是（） 【答案】A 【解析】由題意得，橢圓中，離心率，因為在直線上移動，所以，當時，，所以，排除B、C選項；當時，，所以，排除D選項，過作直線的對稱點，則此時，此時有最小值，對應的離心率有最大值，故選A． 考向4 由圖定式 【例17】【2018河北石家莊二中八月模擬】已知某函數(shù)的圖象如圖所示，則下列解析式中與此圖象最為符合的是 ( ) A． B． C． D． 【答案】B 【名師點睛】識圖常用的方法 （1）定性分析法：通過對問題進行定性的分析，從而得出圖象的上升(或下降

41、)的趨勢，利用這一特征分析解決問題； （2）定量計算法：通過定量的計算來分析解決問題； （3）函數(shù)模型法：由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析解決問題． 【例18】【2018吉林松原模擬】若函數(shù)的圖象如圖所示，則的范圍為（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】試題分析：顯然為奇函數(shù)，圖像關于原點對稱，因為在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，所以當時，，即， 解得． 【例19】【2017福建模擬】如圖，某飛行器在4千米高空水平飛行，從距著陸點A的水平距離10千米處開始下降，已知下降飛行軌跡為某三次函數(shù)圖象的一部分，則該函數(shù)的解析式為(　

42、　) A．B．C．D． 【答案】A 【跟蹤練習】 1．【2017武漢漢陽一中第五次模擬】已知函數(shù)，則其導函數(shù)fˊ(x)的圖象大致是（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，是偶函數(shù)，排除A，B，又，排除D，故選C． 2．【2016屆江西省新余市二?！咳鐖D，長方形的長，寬，線段的長度為1，端點在長方形的四邊上滑動，當沿長方形的四邊滑動一周時，線段的中點所形成的軌跡為，記的周長與圍成的面積數(shù)值的差為，則函數(shù)的圖象大致為（） 【答案】C 3．函數(shù)（其中）的圖象不可能是( ) A． B． C． D． 【答案】C

43、 【解析】試題分析：當時，圖象為B．當時，若，當且僅當時，等號成立，即函數(shù)有最小值，故A選項正確．當時，若，在為增函數(shù)，故D選項正確．所以圖象不可能為C． 考向5圖像的對稱性 【例20】【2018江西新余一中二?！恳阎獮槠婧瘮?shù)，與圖像關于對稱，若，則（） A．2 B．-2 C．1 D．-1 【答案】B 【方法點晴】本題主要考查函數(shù)的奇偶性、函數(shù)圖象的平移變換、放縮變換以及函數(shù)的對稱性，屬于難題題．函數(shù)圖像的確定除了可以直接描點畫出外，還常常利用基本初等函數(shù)圖像經(jīng)過“平移變換”“翻折變換”“對稱變換”“伸縮變換”得到，在變換過程中一定要注意變換順序．本題是利用函

44、數(shù)的平移變換、放縮變換后根據(jù)對稱性解答的． 【例21】【2017安徽阜陽第二次質量檢測】已知方程，有且僅有四個解，則__________． 【答案】 【解析】由圖可知，且時，與只有一個交點，令，則由，再由，不難得到當時與只有一個交點，即，因此 【名師點睛】（1）運用函數(shù)圖象解決問題時，先要正確理解和把握函數(shù)圖象本身的含義及其表示的內(nèi)容，熟悉圖象所能夠表達的函數(shù)的性質． （2）在研究函數(shù)性質特別是單調(diào)性、最值、零點時，要注意用好其與圖象的關系，結合圖象研究． 【例22】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，若，，則實數(shù)的取值范圍為__________． 【答案】 【跟蹤

45、練習】 1．【2017吉林梅河口市五中一模】已知函數(shù)，，若與的圖象上分別存在點，使得關于直線對稱，則實數(shù)的取值范圍是__________． 【答案】 【解析】依題意可知關于對稱的函數(shù)為，即，故函數(shù)圖像與在區(qū)間上有交點，分別將代入，求得，故．故取值范圍是． 2．【2017湖南瀏陽一中6月模擬】已知定義在上的偶函數(shù)滿足：時，，且，若方程恰好有12個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（） A．(5，6) B．(6，8) C．(7，8) D．(10，12) 【答案】B 顯然，結合圖象可得，即，故． 本題選擇B選項． 3．【2016高考新課標2理數(shù)】已知函數(shù)滿足，若函

46、數(shù)與 圖像的交點為則 （） （A）0 （B）（C）（D） 【答案】C 4．【2016湖北咸寧】已知函數(shù)f(x)=()x的圖象與函數(shù)y=g(x)的圖象關于直線y=x對稱，令h(x)=g(1-|x|)，則關于h(x)有下列命題： ①h(x)的圖象關于原點對稱；②h(x)為偶函數(shù)；③h(x)的最小值為0；④h(x)在(0，1)上為減函數(shù)． 其中正確命題的序號為_________．(將你認為正確的命題的序號都填上) 【答案】②③ 【解析】g(x)= x，∴h(x)= (1-|x|)，∴h(x)= 得函數(shù)h(x)的大致圖象如圖，故正確命題序號為②③． 考向6

47、 圖像的與不等式恒成立相結合 【例23】【2018上海交通大學附屬中學上學期開學測試】已知函數(shù)，設，若關于的不等式在上恒成立，則的取值范圍是__________． 【答案】 【解析】根據(jù)題意，函數(shù)的圖象如圖，令，其圖象與x軸相交于點，在區(qū)間上我減函數(shù)，在上為增函數(shù)，若不等式在上恒成立，則函數(shù)的圖象在上的上方或相交，則必有，即，可得． 【例24】【2017湖南長沙模擬】已知定義在上的函數(shù)為增函數(shù)，當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（） A． B． C． D． 【答案】D 【例25】【2016·南通期末】設函數(shù)f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，對于

48、任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________． 【答案】[－1，＋∞) 【解析】如圖作出函數(shù)f(x)＝|x＋a|與g(x)＝x－1的圖像，觀察圖像可知：當且僅當－a≤1，即a≥－1時，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范圍是[－1，＋∞)． 【跟蹤練習】 1．【2017江蘇蘇州模擬】已知函數(shù)若f(3－2a2)＞f(a)，則實數(shù)a的取值范圍是________． 【答案】 2．【2017四川成都模擬】已知函數(shù)若恒成立，則取值范圍為__________． 【答案】[-2，0] 【解析】由題意可作出函數(shù)圖象，和函數(shù)的圖象， 由圖

49、象可知：函數(shù)的圖象為過原點的直線，直線為曲線的切線，當直線介于和軸之間符合題意，且此時函數(shù)在第二象限的部分解析式為，求其導數(shù)可得，因為，故，故直線的斜率為，故只需直線的斜率介于與之間即可，即，故答案為． 【方法點睛】本題主要考查分段函數(shù)的圖象與性質以及導數(shù)的幾何意義，屬于難題．函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質，為研究函數(shù)的數(shù)量關系提供了“形”的直觀性．歸納起來，圖象的應用常見的命題探究角度有：1、確定方程根的個數(shù)；2、求參數(shù)的取值范圍；3、求不等式的解集；4、研究函數(shù)性質． 3．【2017湖南岳陽高三質量檢測】已知函數(shù)，若恒成立，則的取值范圍是__________．

50、 【答案】 【解析】 【名師點睛】解答本題的關鍵是借助數(shù)形結合的思想，先畫出不等式中兩邊所表示的函數(shù)的圖像，運用動靜結合的思想數(shù)形結合，探究出參數(shù)（斜率）的取值范圍，從而使得問題獲解。 考向7 圖像的與立體幾何相結合 【例26】【2018浙江杭州模擬】如圖，P是正方體ABCD—A1B1C1D1對角線AC1上一動點，設AP的長度為x，若△PBD的面積為f(x)，則f(x)的圖象大致是( ) 【答案】A 在三角形PAO中 畫出其圖象，如圖所示，A正確． 【例27】【2017江西南昌二中高二下第一次階段性測試】如圖，已知正方體的棱長為1，動點在此正方體的

51、表面上運動，且，記點的軌跡的長度為，則函數(shù)的圖像可能是 A． B． C． D． 【答案】B 【名師點睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，解題的關鍵是認識到的軌跡為以為球心，為半徑的球面與正方體的交線，定性分析“交線”的長度變化規(guī)律即以面所在對角線的長度，體所在對角線的長度為臨界值。 【跟蹤練習】 1．【2017浙江杭州高級中學高三2月模擬】如圖，點在正方體的表面上運動，且到直線與直線的距離相等，如果將正方體在平面內(nèi)展開，那么動點的軌跡在展開圖中的形狀是（） A． B． C． D． 【答案】B 2．【2018甘肅張掖模擬】如圖所示，已知二面角的平面角為，為垂足，且，，設到棱的距離分別為，當變化時，點的軌跡是下列圖形中的（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 在平面內(nèi)過作，垂足為，連結，，同理，，即，又的軌跡是雙曲線在第一象限內(nèi)的部分，故選D． 46