2018年秋八年級數(shù)學上冊 8 類比歸納專題 與三角形的高、角平分線有關的計算模型習題 （新版）湘教版

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1、類比歸納專題：與三角形的高、角平分線有關的計算模型 3 模型1：求同一頂點的角平分線與高線的夾角的度數(shù) 1．如圖，AD，AE分別是△ABC的高和角平分線． (1)已知∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度數(shù)； (2)設∠B＝α，∠C＝β(α＜β)，請用含α，β的代數(shù)式表示∠DAE，并證明． 模型2：求兩內(nèi)角平分線的夾角的度數(shù) 2． 如圖，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點O.若∠BOC＝120°，則∠A＝_____. 3．如圖，△ABC中，點P是∠ABC，∠ACB的平分線的交點． (

2、1)若∠A＝80°，求∠BPC的度數(shù)． (2)有位同學在解答(1)后得出∠BPC＝90°＋∠A的規(guī)律，你認為正確嗎？請給出理由． 模型3：求一內(nèi)角平分線與一外角平分線的夾角的度數(shù) 4．如圖，在△ABC中，BA1平分∠ABC，CA1平分∠ACD，BA1，CA1相交于點A1. (1)求證：∠A1＝∠A； (2)如圖，繼續(xù)作∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點A2，得∠A2；作∠A2BC和∠A2CD的平分線交于點A3，得∠A3……依此得到∠A2017，若∠A＝α，則∠A2017＝_____________.

3、模型4：求兩外角平分線的夾角的度數(shù)【方法5】 5．(1)如圖，BO平分△ABC的外角∠CBD，CO平分△ABC的外角∠BCE，則∠BOC與∠A的關系為____________； (2)請就(1)中的結論進行證明． 參考答案與解析 1．解：(1)∵∠B＝40°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°－

4、∠B－∠C＝180°－40°－60°＝80°.∵AE是角平分線，∴∠BAE＝∠BAC＝×80°＝40°.∵AD是高，∴∠BAD＝90°－∠B＝90°－40°＝50°，∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝50°－40°＝10°. (2)∠DAE＝(β－α)，證明如下：∵∠B＝α，∠C＝β(α＜β)，∴∠BAC＝180°－(α＋β)．∵AE是角平分線，∴∠BAE＝∠BAC＝90°－(α＋β)．∵AD是高，∴∠BAD＝90°－∠B＝90°－α，∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝90°－α－＝(β－α)． 2．60° 3．解：(1)∵BP，CP為角平分線，∴∠PBC＋∠PCB＝(∠ABC＋∠ACB)＝

5、(180°－∠A)＝×(180°－80°)＝50°，∴∠BPC＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝180°－50°＝130°. (2)正確，理由如下：∵BP，CP為角平分線，∴∠PBC＋∠PCB＝(∠ABC＋∠ACB)＝(180°－∠A)＝90°－∠A，∴∠BPC＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝180°－＝90°＋∠A. 4．(1)證明：∵CA1平分∠ACD，∴∠A1CD＝∠ACD＝(∠A＋∠ABC)．又∵∠A1CD＝∠A1＋∠A1BC，∴∠A1＋∠A1BC＝(∠A＋∠ABC)．∵BA1平分∠ABC，∴∠A1BC＝∠ABC，∴∠ABC＋∠A1＝(∠A＋∠ABC)，∴∠A1＝∠A. (2) 5．(1)∠BOC＝90°－∠A (2)證明：如圖，∵BO，CO分別是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的平分線，∴∠DBC＝2∠1＝∠ACB＋∠A，∠ECB＝2∠2＝∠ABC＋∠A，∴2∠1＋2∠2＝2∠A＋∠ABC＋∠ACB＝∠A＋180°，∴∠1＋∠2＝∠A＋90°.又∵∠1＋∠2＋∠BOC＝180°，∴∠BOC＝180°－(∠1＋∠2)＝90°－∠A.