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第一部分 第六章 第24講
1．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，過點C的切線交AB的延長線于點F，連接DF.
(1)求證：DF是⊙O的切線；
(2)連接BC，若∠BCF＝30°，BF＝2，求CD的長．
(1)證明：連接OD，如答圖，
答圖
∵CF是⊙O的切線，∴∠OCF＝90°，
∴∠OCD＋∠DCF＝90°.
∵直徑AB⊥弦CD，∴CE＝ED，即OF為CD的垂直平分線，∴CF＝DF，∴∠CDF＝∠DCF.
∵OC＝OD，∴∠CDO＝∠OCD，
∴∠CDO＋∠CDF＝∠OCD＋∠DCF＝90°，
∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切線．
(2)解：
2、連接BC，
∵∠OCF＝90°，∠BCF＝30°，∴∠OCB＝60°.
∵OC＝OB，∴△OCB為等邊三角形，
∴∠COB＝60°，∴∠CFO＝30°，
∴FO＝2OC＝2OB，∴FB＝OB＝OC＝2.
在Rt△OCE中，∵∠CEO＝90°，∠COE＝60°，
∴sin∠COE＝＝，∴CE＝，
∴CD＝2CE＝2.
2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，過點D作⊙O的切線，交BC于點E.
(1)求證：BE＝EC；
(2)若∠B＝30°，AC＝2，求DB的長．
(1)證明：如答圖，連接DO，CD，
答圖
∵∠ACB＝90°，AC為⊙O的直徑，
∴EC為⊙O的切線．
又∵ED為⊙O的切線，∴EC＝ED．
又∵∠EDO＝90°，∴∠BDE＋∠ADO＝90°，
∴∠BDE＋∠A＝90°.
又∵∠B＋∠A＝90°，∴∠BDE＝∠B，
∴BE＝ED，∴BE＝EC．
(2)解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，∴BC＝＝6.
∵AC為⊙O的直徑，∴∠BDC＝∠ADC＝90°.
又∵∠B＝30°，∴CD＝BC＝3，
∴DB＝＝3.
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