2019年中考數(shù)學(xué)真題分類專項(xiàng)訓(xùn)練 二次函數(shù)綜合題

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1、 2019年中考數(shù)學(xué)真題分類專項(xiàng)訓(xùn)練--二次函數(shù)綜合題 1．（2019廣東）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B右側(cè)），點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，CD交x軸于點(diǎn)F，△CAD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△CFE，點(diǎn)A恰好旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)F，連接BE． （1）求點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)； （2）求證：四邊形BFCE是平行四邊形； （3）如圖2，過(guò)頂點(diǎn)D作DD1⊥x軸于點(diǎn)D1，點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，點(diǎn)M為垂足，使得△PAM與△DD1A相似（不含全等）． ①求出一個(gè)滿足以上條件的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)； ②直接回答這樣的點(diǎn)P共有幾個(gè)？ 解：（1）

2、令=0， 解得x1=1，x2=–7．∴A（1，0），B（–7，0）． 由y==得，D（–3，–2）； （2）∵DD1⊥x軸于點(diǎn)D1，∴∠COF=∠DD1F=90°， ∵∠D1FD=∠CFO，∴△DD1F∽△COF，∴， ∵D（–3，–2）， ∴D1D=2，OD=3， ∵AC=CF，CO⊥AF，∴OF=OA=1， ∴D1F=D1O–OF=3–1=2，∴， ∴OC=，∴CA=CF=FA=2， ∴△ACF是等邊三角形，∴∠AFC=∠ACF， ∵△CAD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△CFE， ∴∠ECF=∠AFC=60°，∴EC∥BF， ∵EC=DC==6， ∵BF=6，∴EC

3、=BF， ∴四邊形BFCE是平行四邊形； （3）∵點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)， ∴設(shè)P點(diǎn)（x，）， ①當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)的左側(cè)時(shí)， ∵△PAM與△DD1A相似， ∴或， ∴或， 解得：x1=1（不合題意舍去），x2=–11或x1=1（不合題意舍去）x2=–； 當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)的右側(cè)時(shí)， ∵△PAM與△DD1A相似，∴或， ∴或， 解得：x1=1（不合題意舍去），x2=–3（不合題意舍去）或x1=1（不合題意舍去），x2=–（不合題意舍去）； 當(dāng)點(diǎn)P在AB之間時(shí)， ∵△PAM與△DD1A相似， ∴=或=， ∴或， 解得：x1=1（不合題意舍去），x2=–3（不合題意舍去）或x1

4、=1（不合題意舍去），x2=–； 綜上所述，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為–11或–或–； ②由①得，這樣的點(diǎn)P共有3個(gè)． 2．（2019深圳）如圖，拋物線經(jīng)y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)C（0，3），且OB=OC． （1）求拋物線的解析式及其對(duì)稱軸； （2）點(diǎn)D、E在直線x=1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且DE=1，點(diǎn)D在點(diǎn)E的上方，求四邊形ACDE的周長(zhǎng)的最小值． （3）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，連接CP，直線CP把四邊形CBPA的面積分為3∶5兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo)． 解：（1）∵OB=OC， ∴點(diǎn)B（3，0）， 則拋物線的表達(dá)式為：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-

5、2ax-3a， 故-3a=3，解得：a=-1， 故拋物線的表達(dá)式為：y=-x2+2x+3，對(duì)稱軸為x=1． （2）ACDE的周長(zhǎng)=AC+DE+CD+AE，其中AC、DE=1是常數(shù)， 故CD+AE最小時(shí)，周長(zhǎng)最小， 取點(diǎn)C關(guān)于函數(shù)對(duì)稱點(diǎn)C（2，3），則CD=C′D， 取點(diǎn)A′（-1，1），則A′D=AE， 故：CD+AE=A′D+DC′，則當(dāng)A′、D、C′三點(diǎn)共線時(shí)，CD+AE=A′D+DC′最小，周長(zhǎng)也最小， 四邊形ACDE的周長(zhǎng)的最小值=AC+DE+CD+AEA′D+DC′A′C′． （3）如圖，設(shè)直線CP交x軸于點(diǎn)E， 直線CP把四邊形CBPA的面積分為3∶5兩

6、部分， 又∵S△PCB∶S△PCAEB×（yC-yP）∶AE×（yC-yP）=BE∶AE， 則BE∶AE=3∶5或5∶3， 則AE或， 即：點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，0）或（，0）， 將點(diǎn)E、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y=kx+3， 解得：k=-6或-2， 故直線CP的表達(dá)式為：y=-2x+3或y=-6x+3， 聯(lián)立并解得：x=4或8（不合題意值已舍去）， 故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，-5）或（8，-45）． 3.（2019雅安） 已知二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象過(guò)點(diǎn)（2，-1），點(diǎn)P（P與O不重合）是圖象上的一點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)（0，1）且平行于x軸。PM⊥l于點(diǎn)M，點(diǎn)F（0，-1）

7、． （1）求二次函數(shù)的解析式； （2）求證：點(diǎn)P在線段MF的中垂線上； （3）設(shè)直線 PF交二次函數(shù)的圖象于另一點(diǎn)Q，QN⊥l于點(diǎn)N，線段MF的中垂線交l于點(diǎn)R，求的值； （4）試判斷點(diǎn)R與以線段PQ為直徑的圓的位置關(guān)系． 解：（1）∵y=ax2(a≠0)的圖象過(guò)點(diǎn)（2，-1），∴-1=a×22，即a=，∴； （2）設(shè)的圖象上的點(diǎn)P（x1,y1）,則M(x1，1)，，即x12=-4y1，PM=｜1-y1｜，又 PF=====｜y1-1｜=PM，即PF=PM，∴點(diǎn)P在線段MF的中垂線上； （3）連接RF，∵R在線段MF的中垂線上，∴MR=FR，又∵PM=PF，PR=PR，

8、∴△PMR≌△PFR，∴∠PFR=∠PMR=90°，∴RF⊥PF，連接RQ，又在Rt△RFQ和Rt△RNQ中，∵Q 在的圖象上，由（2）結(jié)論知∴QF=QN，∵RQ=RQ，∴Rt△RFQ ≌Rt△RNQ，即RN=FR，即MR=FR=RN，∴； （4）在△PQR中，由（3）知PR平分∠MRF，QR平分∠FRN，∴∠PRQ=（∠MRF+∠FRN）=90°，∴點(diǎn)R在以線段PQ為直徑的圓上． 4．（2019南寧）如果拋物線C1的頂點(diǎn)在拋物線C2上，拋物線C2的頂點(diǎn)也在拋物線C1上時(shí)，那么我們稱拋物線C1與C2“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線．如圖1，已知拋物線C1：y1=x2+x與C2：y2=ax2+x+c

9、是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線，點(diǎn)A，B分別是拋物線C1，C2的頂點(diǎn)，拋物線C2經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（6，–1）． （1）直接寫出A，B的坐標(biāo)和拋物線C2的解析式； （2）拋物線C2上是否存在點(diǎn)E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； （3）如圖2，點(diǎn)F（–6，3）在拋物線C1上，點(diǎn)M，N分別是拋物線C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)相同，記△AFM面積為S1（當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A，F(xiàn)重合時(shí)S1=0），△ABN的面積為S2（當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)A，B重合時(shí)，S2=0），令S=S1+S2，觀察圖象，當(dāng)y1≤y2時(shí)，寫出x的取值范圍，并求出在此范圍內(nèi)S的最大值． 解：（1）C1

10、頂點(diǎn)在C2上，C2頂點(diǎn)也在C1上， 由拋物線C1：y1=x2+x可得A（–2，–1）， 將A（–2，–1），D（6，–1）代入y2=ax2+x+c 得，解得 ， ∴y2=–x2+x+2，∴B（2，3）； （2）易得直線AB的解析式：y=x+1， ①若B為直角的頂點(diǎn)，BE⊥AB，kBE?kAB=–1， ∴kBE=–1，則直線BE的解析式為y=–x+5． 聯(lián)立， 解得或，此時(shí)E（6，–1）； ②若A為直角頂點(diǎn)，AE⊥AB，kAE?kAB=–1， ∴kAE=–1，則直線AE的解析式為y=–x–3， 聯(lián)立， 解得或， 此時(shí)E（10，–13）； ③若E為直角頂點(diǎn)，設(shè)E（m，

11、–m2+m+2） 由AE⊥BE得kBE?kAE=–1， 即， 解得m=2或–2（不符合題意均舍去）， ∴存在，∴E（6，–1）或E（10，–13）； （3）∵y1≤y2，觀察圖形可得：x的取值范圍為–2≤x≤2， 設(shè)M（t，t2+t），N（t，?t2+t+2），且–2≤t≤2， 易求直線AF的解析式：y=–x–3， 過(guò)M作x軸的平行線MQ交AF于Q， 由yQ=yM，得Q（t2?t?3，t2+t）， S1=|QM|?|yF–yA|=t2+4t+6， 設(shè)AB交MN于點(diǎn)P，易知P坐標(biāo)為（t，t+1）， S2=|PN|?|xA–xB|=2–t2， S=S1+S2=4t+8

12、， 當(dāng)t=2時(shí)，S的最大值為16． 5．（2019廣州）已知拋物線G：y=mx2-2mx-3有最低點(diǎn)． （1）求二次函數(shù)y=mx2-2mx-3的最小值（用含m的式子表示）； （2）將拋物線G向右平移m個(gè)單位得到拋物線G1．經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，隨著m的變化，拋物線G1頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x之間存在一個(gè)函數(shù)關(guān)系，求這個(gè)函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍； （3）記（2）所求的函數(shù)為H，拋物線G與函數(shù)H的圖象交于點(diǎn)P，結(jié)合圖象，求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍． 解：（1）∵y=mx2-2mx-3=m（x-1）2-m-3，拋物線有最低點(diǎn)， ∴二次函數(shù)y=mx2-2mx-3的最小值為-m-3．

13、（2）∵拋物線G：y=m（x-1）2-m-3， ∴平移后的拋物線G1：y=m（x-1-m）2-m-3， ∴拋物線G1頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m+1，-m-3）， ∴x=m+1，y=-m-3， ∴x+y=m+1-m-3=-2， 即x+y=-2，變形得y=-x-2， ∵m>0，m=x-1， ∴x-1>0， ∴x>1， ∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=-x-2（x>1）． （3）法一：如圖，函數(shù)H：y=-x-2（x>1）圖象為射線， x=1時(shí)，y=-1-2=-3；x=2時(shí)，y=-2-2=-4， ∴函數(shù)H的圖象恒過(guò)點(diǎn)B（2，-4）， ∵拋物線G：y=m（x-1）2-m-3， x=1時(shí)，y

14、=-m-3；x=2時(shí)，y=m-m-3=-3， ∴拋物線G恒過(guò)點(diǎn)A（2，-3）， 由圖象可知，若拋物線與函數(shù)H的圖象有交點(diǎn)P，則yB1，且x=2時(shí)，方程為0=-1不成立， ∴x≠2，即x2-2x=x（x-2）≠0， ∴m0， ∵x>1， ∴1-x<0， ∴x（x-2）<0， ∴x-2<0， ∴x<2，即1

15、與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D，連結(jié)CD． （1）求該拋物線的表達(dá)式； （2）點(diǎn)P為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t． ①當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的下方運(yùn)動(dòng)時(shí)，求△PBC的面積的最大值； ②該拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：（1）將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，解得， 故拋物線的表達(dá)式為：y=x2+6x+5． （2）①如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交直線BC于點(diǎn)F. 在拋物線y=x2+6x+5中， 令y=0，則x2+6x+5=0， 解得x=–5，x=–1， ∴點(diǎn)C的坐

16、標(biāo)為（–1，0）. 由點(diǎn)B（–4，–3）和C（–1，0），可得 直線BC的表達(dá)式為y=x+1. 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，t2+6t+5），由題知–4

17、當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，有∠PBC=∠BCD，如圖2. 若∠PBC=∠BCD， 則PB∥CD， ∴設(shè)直線PB的表達(dá)式為y=2x+b. 把B（–4，–3）代入y=2x+b，得b=5， ∴直線PB的表達(dá)式為y=2x+5. 由x2+6x+5=2x+5，解得x1=0，x2=–4（舍去）， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，5）. （ii）當(dāng)點(diǎn)P在直線BC下方時(shí)，有∠PBC=∠BCD，如圖3. 設(shè)直線BP與CD交于點(diǎn)M，則MB=MC. 過(guò)點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N，則點(diǎn)N（–4，0）， ∴NB=NC=3， ∴MN垂直平分線段BC. 設(shè)直線MN與BC交于點(diǎn)G，則線段BC的中點(diǎn)G的坐標(biāo)為，

18、 由點(diǎn)N（–4，0）和G，得 直線NG的表達(dá)式為y=–x–4. ∵直線CD:y=2x+2與直線NG:y=–x–4交于點(diǎn)M， 由2x+2=–x–4，解得x=–2， ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（–2，–2）. 由B（–4，–3）和M（–2.–2），得 直線BM的表達(dá)式為y=． 由x2+6x+5=，解得x1=–，x2=–4（含去）， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（–，–）. 綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，5）和（–，–）. 7. （2019鎮(zhèn)江）如圖，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸是直線1，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，且與直線關(guān)于的對(duì)稱直線交于點(diǎn)． （1）點(diǎn)的坐標(biāo)是　??； （2）直線與直線交于

19、點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．過(guò)點(diǎn)作直線與線段、分別交于點(diǎn)、，使得與相似． ①當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)； ②若對(duì)于每一個(gè)確定的的值，有且只有一個(gè)與相似，請(qǐng)直接寫出的取值范圍　?。? 解：（1）頂點(diǎn)為；故答案為； （2）對(duì)稱軸， ， 由已知可求，， 點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)為，， 則關(guān)于對(duì)稱的直線為， ， ①當(dāng)時(shí)，， ，， 當(dāng)時(shí)，， ， ， ； 當(dāng)與不平行時(shí)，， ， ， ； 綜上所述，； ②當(dāng)，時(shí)， ， ， ， ， 有且只有一個(gè)與相似時(shí)，； 故答案為； 8．（2019陜西）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線L：y=ax2+（c–a）x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（

20、–3，0）和點(diǎn)B（0，–6），L關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的拋物線為L(zhǎng)′． （1）求拋物線L的表達(dá)式； （2）點(diǎn)P在拋物線L′上，且位于第一象限，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥y軸，垂足為D．若△POD與△AOB相似，求符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)． 解：（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：， 解得，∴L：y=–x2–5x–6． （2）∵點(diǎn)A、B在L′上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′（3，0）、B′（0，6）， ∴設(shè)拋物線L′的表達(dá)式y(tǒng)=x2+bx+6， 將A′（–3，0）代入y=x2+bx+6，得b=–5， ∴拋物線L′的表達(dá)式為y=x2–5x+6， A（–3，0），B（0，–6）， ∴AO=3，OB=6，

21、 設(shè)：P（m，m2–5m+6）（m＞0）， ∵PD⊥y軸，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，m2–5m+6）， ∵PD=m，OD=m2–5m+6， Rt△POD與Rt△AOB相似. ①△PDO∽△BOA時(shí)，=，即m=2（m2–5m+6），解得：m=或4； ②當(dāng)△ODP∽△AOB時(shí)， 同理可得：m=1或6； ∵P1、P2、P3、P4均在第一象限， ∴符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）或（6，12）或（，）或（4，2）． 9. （2019常州）如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)D為OC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上． （1）b＝　

22、 ?。? （2）若點(diǎn)P在第一象限，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸，垂足為H，PH與BC、BD分別交于點(diǎn)M、N．是否存在這樣的點(diǎn)P，使得PM＝MN＝NH？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； （3）若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)小于3，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BD，垂足為Q，直線PQ與x軸交于點(diǎn)R，且S△PQB＝2S△QRB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)． 解：（1）∵二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0） ∴﹣1﹣b+3＝ 解得：b＝2 故答案為：2． （2）存在滿足條件呢的點(diǎn)P，使得PM＝MN＝NH． ∵二次函數(shù)解析式為y＝﹣x2+2x+3 當(dāng)x＝0時(shí)y＝3， ∴C（0，3） 當(dāng)y＝

23、0時(shí)，﹣x2+2x+3＝0 解得：x1＝﹣1，x2＝3 ∴A（﹣1，0），B（3，0） ∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3 ∵點(diǎn)D為OC的中點(diǎn)， ∴D（0，） ∴直線BD的解析式為y， 設(shè)P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），則M（t，﹣t+3），N（t，t），H（t，0） ∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，MN＝﹣t+3﹣（x）t，NHt ∴MN＝NH ∵PM＝MN ∴﹣t2+3tt 解得：t1，t2＝3（舍去） ∴P（，） ∴P的坐標(biāo)為（，），使得PM＝MN＝NH． （3）過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于F，交直線BD于E ∵OB＝3，OD，∠

24、BOD＝90° ∴BD ∴cos∠OBD ∵PQ⊥BD于點(diǎn)Q，PF⊥x軸于點(diǎn)F ∴∠PQE＝∠BQR＝∠PFR＝90° ∴∠PRF+∠OBD＝∠PRF+∠EPQ＝90° ∴∠EPQ＝∠OBD，即cos∠EPQ＝cos∠OBD 在Rt△PQE中，cos∠EPQ ∴PQPE 在Rt△PFR中，cos∠RPF ∴PRPF ∵S△PQB＝2S△QRB，S△PQBBQ?PQ，S△QRBBQ?QR ∴PQ＝2QR 設(shè)直線BD與拋物線交于點(diǎn)G ∵x2+2x+3，解得：x1＝3（即點(diǎn)B橫坐標(biāo)），x2 ∴點(diǎn)G橫坐標(biāo)為 設(shè)P（t，﹣t2+2t+3）（t＜3），則E（t，t） ∴P

25、F＝|﹣t2+2t+3|，PE＝|﹣t2+2t+3﹣（t）|＝|﹣t2t| ①若t＜3，則點(diǎn)P在直線BD上方，如圖2， ∴PF＝﹣t2+2t+3，PE＝﹣t2t ∵PQ＝2QR ∴PQPR ∴PE?PF，即6PE＝5PF ∴6（﹣t2t）＝5（﹣t2+2t+3） 解得：t1＝2，t2＝3（舍去） ∴P（2，3） ②若﹣1＜t，則點(diǎn)P在x軸上方、直線BD下方，如圖3， 此時(shí)，PQ＜QR，即S△PQB＝2S△QRB不成立． ③若t＜﹣1，則點(diǎn)P在x軸下方，如圖4， ∴PF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，PEt（﹣t2+2t+3）＝t2t ∵PQ＝2Q

26、R ∴PQ＝2PR ∴PE＝2?PF，即2PE＝5PF ∴2（t2t）＝5（t2﹣2t﹣3） 解得：t1，t2＝3（舍去） ∴P（，） 綜上所述，點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，3）或（，）． 10．（2019河北）如圖，若b是正數(shù)，直線l：y=b與y軸交于點(diǎn)A；直線a：y=x–b與y軸交于點(diǎn)B；拋物線L：y=–x2+bx的頂點(diǎn)為C，且L與x軸右交點(diǎn)為D． （1）若AB=8，求b的值，并求此時(shí)L的對(duì)稱軸與a的交點(diǎn)坐標(biāo)； （2）當(dāng)點(diǎn)C在l下方時(shí)，求點(diǎn)C與l距離的最大值； （3）設(shè)x0≠0，點(diǎn)（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分別在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均數(shù)，求點(diǎn)（x

27、0，0）與點(diǎn)D間的距離； （4）在L和a所圍成的封閉圖形的邊界上，把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為“美點(diǎn)”，分別直接寫出b=2019和b=2019.5時(shí)“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)． 解：（1）當(dāng)x=0吋，y=x﹣b=﹣b，∴B（0，﹣b）， ∵AB=8，而A（0，b），∴b﹣（﹣b）=8，∴b=4． ∴L：y=﹣x2+4x，∴L的對(duì)稱軸x=2， 當(dāng)x=2時(shí)，y=x﹣4=﹣2， ∴L的對(duì)稱軸與a的交點(diǎn)為（2，﹣2）； （2）∵y=﹣（x﹣）2+，∴L的頂點(diǎn)C（，）， ∵點(diǎn)C在l下方，∴C與l的距離為b﹣=﹣（b﹣2）2+1≤1， ∴點(diǎn)C與l距離的最大值為1； （3）由題意得，即y1+y2

28、=2y3， 得b+x0﹣b=2（﹣x02+bx0）， 解得x0=0或x0=b﹣．但x0≠0，取x0=b﹣， 對(duì)于L，當(dāng)y=0時(shí)，0=﹣x2+bx，即0=﹣x（x﹣b），解得x1=0，x2=b， ∵b＞0，∴右交點(diǎn)D（b，0）． ∴點(diǎn)（x0，0）與點(diǎn)D間的距離為b﹣（b﹣）=. （4）①當(dāng)b=2019時(shí)，拋物線解析式L：y=﹣x2+2019x， 直線解析式a：y=x﹣2019， 聯(lián)立上述兩個(gè)解析式可得：x1=﹣1，x2=2019， ∴可知每一個(gè)整數(shù)x的值 都對(duì)應(yīng)的一個(gè)整數(shù)y值，且﹣1和2019之間（包括﹣1和﹣2019），共有2021個(gè)整數(shù)； ∵另外要知道所圍成的封閉圖形邊界

29、分兩部分：線段和拋物線， ∴線段和拋物線上各有2021個(gè)整數(shù)點(diǎn)，∴總計(jì)4042個(gè)點(diǎn)， ∵這兩段圖象交點(diǎn)有2個(gè)點(diǎn)重復(fù)重復(fù)，∴美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)：4042﹣2=4040（個(gè)）； ②當(dāng)b=2019.5時(shí)， 拋物線解析式L：y=﹣x2+2019.5x， 直線解析式a：y=x﹣2019.5， 聯(lián)立上述兩個(gè)解析式可得：x1=﹣1，x2=2019.5， ∴當(dāng)x取整數(shù)時(shí)，在一次函數(shù)y=x﹣2019.5上，y取不到整數(shù)值，因此在該圖象上“美點(diǎn)”為0， 在二次函數(shù)y=x+2019.5x圖象上，當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)值y可取整數(shù)， 可知﹣1到2019.5之間有1009個(gè)偶數(shù)，并且在﹣1和2019.5之間還有

30、整數(shù)0，驗(yàn)證后可知0也符合， 條件，因此“美點(diǎn)”共有1010個(gè)． 故b=2019時(shí)“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為4040個(gè)，b=2019.5時(shí)“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為1010個(gè)． 11. （2019邵陽(yáng)）如圖，二次函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為 （1）求該二次函數(shù)的解析式； （2）在軸上方作軸的平行線，交二次函數(shù)圖象于、兩點(diǎn)，過(guò)、兩點(diǎn)分別作軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)、點(diǎn)．當(dāng)矩形為正方形時(shí)，求的值； （3）在（2）的條件下，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)以相同的速度從點(diǎn)出發(fā)沿線段勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)時(shí)立即原速返回，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)返回到點(diǎn)時(shí)，、兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．過(guò)點(diǎn)向軸作垂線，

31、交拋物線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，問：以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形能否是平行四邊形．若能，請(qǐng)求出的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：（1）將，代入，得： ，解得：， 該二次函數(shù)的解析式為． （2）當(dāng)時(shí)，， 解得：，， 點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，， 點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，． 矩形為正方形， ， 解得：（舍去），． 當(dāng)矩形為正方形時(shí)，的值為4． （3）以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形能為平行四邊形． 由（2）可知：點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為． 設(shè)直線的解析式為， 將，代入，得： ，解得：， 直線的解析式為． 當(dāng)時(shí)，，， 點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

32、 以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形，且， ，分三種情況考慮： ①當(dāng)時(shí)，如圖1所示，，， ， 解得：（舍去），； ②當(dāng)時(shí)，如圖2所示，，， ， 解得：（舍去），； ③當(dāng)時(shí)，，， ， 解得：（舍去），（舍去）． 綜上所述：當(dāng)以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形時(shí)，的值為4或6． 12．（2019河南）如圖，拋物線y=ax2+x+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．直線y=–x–2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C． （1）求拋物線的解析式； （2）點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線AC于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m． ①當(dāng)△PCM是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的

33、坐標(biāo)； ②作點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)B′，則平面內(nèi)存在直線l，使點(diǎn)M，B，B′到該直線的距離都相等．當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)的拋物線上，且與點(diǎn)B不重合時(shí)，請(qǐng)直接寫出直線l：y=kx+b的解析式．（k，b可用含m的式子表示） 解：（1）∵直線y=–x–2交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C， ∴A（-4，0），C（0，-2）. ∵拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C， ∴，∴ ∴拋物線的解析式為y=x2+x–2． （2）①∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m2+m–2）. 當(dāng)△PCM是直角三角形時(shí)，有以下兩種情況： （i）當(dāng)∠CPM=90°時(shí)，PC∥x軸，x2+x–2=-2. 解得m1

34、=0（舍去），m2=-2. ∵當(dāng)m=-2時(shí)，m2+m–2=-2. ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，-2）. （ii）當(dāng)∠PCM=90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥y軸于點(diǎn)N， ∴∠CNP=∠AOC=90°. ∵∠NCP+∠ACO=∠OAC+∠ACO=90°， ：∠NCP=∠OAC，∴△GNP∽△AOC，∴， ∵C（0，-2），N（0，m2+m–2）， ∴CN=，PN=m. 即，解得a3=0（含去），m4=6. ∵當(dāng)m=6時(shí)，m2+m–2=10， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，10）. 綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，-2）或（6，10）. ②當(dāng)y=0時(shí)，x2+x–2=0， 解得x1=–4，x2=

35、2， ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0）． ∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，–2），點(diǎn)B，B′關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱， ∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（–2，–4）． ∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（m＞0且m≠2）， ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，–m–2）． 利用待定系數(shù)法可求出：直線BM的解析式為y=–x+， 直線B′M的解析式為y=x–， 直線BB′的解析式為y=x–2． 分三種情況考慮，如圖2所示： 當(dāng)直線l∥BM且過(guò)點(diǎn)C時(shí)，直線l的解析式為y=–x–2； 當(dāng)直線l∥B′M且過(guò)點(diǎn)C時(shí)，直線l的解析式為y=x–2； 當(dāng)直線l∥BB′且過(guò)線段CM的中點(diǎn)N（m，–m–2）時(shí)，直線l的解析式為y=x–m–2． 綜上所述：直線l的

36、解析式為y=–x–2，y=x–2或y=x–m–2． 13. （2019荊州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為（6，0），（4，3），經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)的拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0）． （1）求該拋物線的解析式； （2）若∠AOC的平分線交BC于點(diǎn)E，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)F，點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PE+PF的值最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； （3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)A作OE的垂線交BC于點(diǎn)H，點(diǎn)M，N分別為拋物線及其對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)M，N，使得以點(diǎn)M，N，H，E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明

37、理由． 解：（1）∵平行四邊形OABC中，A（6，0），C（4，3） ∴BC＝OA＝6，BC∥x軸 ∴xB＝xC+6＝10，yB＝y(tǒng)C＝3，即B（10，3） 設(shè)拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C、D（1，0） ∴ 解得： ∴拋物線解析式為yx2x （2）如圖1，作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E'，連接E'F交x軸于點(diǎn)P ∵C（4，3） ∴OC ∵BC∥OA ∴∠OEC＝∠AOE ∵OE平分∠AOC ∴∠AOE＝∠COE ∴∠OEC＝∠COE ∴CE＝OC＝5 ∴xE＝xC+5＝9，即E（9，3） ∴直線OE解析式為yx ∵直線OE交拋物線對(duì)稱軸于

38、點(diǎn)F，對(duì)稱軸為直線：x7 ∴F（7，） ∵點(diǎn)E與點(diǎn)E'關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)P在x軸上 ∴E'（9，﹣3），PE＝PE' ∴當(dāng)點(diǎn)F、P、E'在同一直線上時(shí)，PE+PF＝PE'+PF＝FE'最小 設(shè)直線E'F解析式為y＝kx+h ∴ 解得： ∴直線E'F：yx+21 當(dāng)x+21＝0時(shí)，解得：x ∴當(dāng)PE+PF的值最小時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為（，0）． （3）存在滿足條件的點(diǎn)M，N，使得以點(diǎn)M，N，H，E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形． 設(shè)AH與OE相交于點(diǎn)G（t，t），如圖2， ∵AH⊥OE于點(diǎn)G，A（6，0） ∴∠AGO＝90° ∴AG2+OG2＝OA2 ∴（6﹣t）2+（t

39、）2+t2+（t）2＝62 ∴解得：t1＝0（舍去），t2 ∴G（，） 設(shè)直線AG解析式為y＝dx+e ∴ 解得： ∴直線AG：y＝﹣3x+18 當(dāng)y＝3時(shí)，﹣3x+18＝3，解得：x＝5 ∴H（5，3） ∴HE＝9﹣5＝4，點(diǎn)H、E關(guān)于直線x＝7對(duì)稱 ①當(dāng)HE為以點(diǎn)M，N，H，E為頂點(diǎn)的平行四邊形的邊時(shí)，如圖2 則HE∥MN，MN＝HE＝4 ∵點(diǎn)N在拋物線對(duì)稱軸：直線x＝7上 ∴xM＝7+4或7﹣4，即xM＝11或3 當(dāng)x＝3時(shí)，yM99 ∴M（3，）或（11，） ②當(dāng)HE為以點(diǎn)M，N，H，E為頂點(diǎn)的平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，如圖3 則HE、MN互相平分

40、 ∵直線x＝7平分HE，點(diǎn)F在直線x＝7上 ∴點(diǎn)M在直線x＝7上，即M為拋物線頂點(diǎn) ∴yM4974 ∴M（7，4） 綜上所述，點(diǎn)M坐標(biāo)為（3，）、（11，）或（7，4）． 14. （2019梧州）如圖，已知的圓心為點(diǎn)，拋物線過(guò)點(diǎn)，與交于、兩點(diǎn)，連接、，且，、兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是2、1． （1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，并求、的值； （2）直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)（與點(diǎn)不重合）在該直線上，且，請(qǐng)判斷點(diǎn)是否在此拋物線上，并說(shuō)明理由； （3）如果直線與相切，請(qǐng)直接寫出滿足此條件的直線解析式． 解：（1）過(guò)點(diǎn)、分別作軸的垂線交于點(diǎn)、， ，， ，又， △， ，， 故點(diǎn)、的坐標(biāo)分

41、別為、， 將點(diǎn)、坐標(biāo)代入拋物線并解得： ，， 故拋物線的表達(dá)式為：； （2）將點(diǎn)坐標(biāo)代入并解得：，則點(diǎn)， 點(diǎn)、、、的坐標(biāo)分別為、、、， 則，， 點(diǎn)在直線上，則設(shè)的坐標(biāo)為， ，則， 解得：或6（舍去， 故點(diǎn)， 把代入， 故點(diǎn)在拋物線上； （3）①當(dāng)切點(diǎn)在軸下方時(shí)， 設(shè)直線與相切于點(diǎn)，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，連接， ，， ，，， ，即：， 解得：或（舍去， 故點(diǎn)， 把點(diǎn)、坐標(biāo)代入并解得： 直線的表達(dá)式為：； ②當(dāng)切點(diǎn)在軸上方時(shí)， 直線的表達(dá)式為：； 故滿足條件的直線解析式為：或． 15.（2019本溪）拋物線與x軸交于A（-1，0），B（5，

42、0）兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸CD上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與C，D重合），過(guò)點(diǎn)C作直線PB的垂線交PB于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F. （1）求拋物線的解析式； （2）當(dāng)△PCF的面積為5時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； （3）當(dāng)△PCF為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo). 解：（1）函數(shù)的表達(dá)式為：y=(x+1)(x-5)=-x2+x+； （2）拋物線的對(duì)稱軸為x=1，則點(diǎn)C（2，2）， 設(shè)點(diǎn)P（2，m）， 將點(diǎn)P、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y=sx+t并解得： 函數(shù)PB的表達(dá)式為：y=-mx+…①， ∵CE⊥PE，故直線CE表達(dá)式中的k值為， 將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入一次

43、函數(shù)表達(dá)式， 同理可得直線CE的表達(dá)式為：y=x+(2?)…②， 聯(lián)立①②并解得：x=2-， 故點(diǎn)F（2-，0）， S△PCF=×PC×DF=(2-m)(2--2)=5， 解得：m=5或-3（舍去5）， 故點(diǎn)P（2，-3）； （3）由（2）確定的點(diǎn)F的坐標(biāo)得： CP2=(2-m)2，CF2=()2+4，PF2=()2+m2， ①當(dāng)CP=CF時(shí)，即：(2-m)2=()2+4，解得：m=0或（均舍去）， ②當(dāng)CP=PF時(shí)，(2-m)2=()2+m2，解得：m=或3（舍去3）， ③當(dāng)CF=PF時(shí)，同理可得：m=±2（舍去2）， 故點(diǎn)P（2，）或（2，-2）． 16. （20

44、19湘西）如圖，拋物線y＝ax2+bx（a＞0）過(guò)點(diǎn)E（8，0），矩形ABCD的邊AB在線段OE上（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)C、D在拋物線上，∠BAD的平分線AM交BC于點(diǎn)M，點(diǎn)N是CD的中點(diǎn)，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3． （1）求拋物線的解析式； （2）F、G分別為x軸，y軸上的動(dòng)點(diǎn)，順次連接M、N、G、F構(gòu)成四邊形MNGF，求四邊形MNGF周長(zhǎng)的最小值； （3）在x軸下方且在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△ODP中OD邊上的高為？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； （4）矩形ABCD不動(dòng)，將拋物線向右平移，當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)K、L，且直線KL平分矩形的

45、面積時(shí)，求拋物線平移的距離． 解：（1）∵點(diǎn)A在線段OE上，E（8，0），OA＝2 ∴A（2，0） ∵OA：AD＝1：3 ∴AD＝3OA＝6 ∵四邊形ABCD是矩形 ∴AD⊥AB ∴D（2，﹣6） ∵拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)D、E ∴ 解得： ∴拋物線的解析式為yx2﹣4x （2）如圖1，作點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)M'，作點(diǎn)N關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)N'，連接FM'、GN'、M'N' ∵yx2﹣4x（x﹣4）2﹣8 ∴拋物線對(duì)稱軸為直線x＝4 ∵點(diǎn)C、D在拋物線上，且CD∥x軸，D（2，﹣6） ∴yC＝y(tǒng)D＝﹣6，即點(diǎn)C、D關(guān)于直線x＝4對(duì)稱 ∴xC＝4

46、+（4﹣xD）＝4+4﹣2＝6，即C（6，﹣6） ∴AB＝CD＝4，B（6，0） ∵AM平分∠BAD，∠BAD＝∠ABM＝90° ∴∠BAM＝45° ∴BM＝AB＝4 ∴M（6，﹣4） ∵點(diǎn)M、M'關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)F在x軸上 ∴M'（6，4），F(xiàn)M＝FM' ∵N為CD中點(diǎn) ∴N（4，﹣6） ∵點(diǎn)N、N'關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)G在y軸上 ∴N'（﹣4，﹣6），GN＝GN' ∴C四邊形MNGF＝MN+NG+GF+FM＝MN+N'G+GF+FM' ∵當(dāng)M'、F、G、N'在同一直線上時(shí)，N'G+GF+FM'＝M'N'最小 ∴C四邊形MNGF＝MN+M'N'21012 ∴四邊形M

47、NGF周長(zhǎng)最小值為12． （3）存在點(diǎn)P，使△ODP中OD邊上的高為． 過(guò)點(diǎn)P作PE∥y軸交直線OD于點(diǎn)E ∵D（2，﹣6） ∴OD，直線OD解析式為y＝﹣3x 設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（t，t2﹣4t）（0＜t＜8），則點(diǎn)E（t，﹣3t） ①如圖2，當(dāng)0＜t＜2時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)D左側(cè) ∴PE＝y(tǒng)E﹣yP＝﹣3t﹣（t2﹣4t）t2+t ∴S△ODP＝S△OPE+S△DPEPE?xPPE?（xD﹣xP）PE（xP+xD﹣xP）PE?xD＝PEt2+t ∵△ODP中OD邊上的高h(yuǎn)， ∴S△ODPOD?h ∴t2+t2 方程無(wú)解 ②如圖3，當(dāng)2＜t＜8時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)D右側(cè) ∴PE

48、＝y(tǒng)P﹣yEt2﹣4t﹣（﹣3t）t2﹣t ∴S△ODP＝S△OPE﹣S△DPEPE?xPPE?（xP﹣xD）PE（xP﹣xP+xD）PE?xD＝PEt2﹣t ∴t2﹣t2 解得：t1＝﹣4（舍去），t2＝6 ∴P（6，﹣6） 綜上所述，點(diǎn)P坐標(biāo)為（6，﹣6）滿足使△ODP中OD邊上的高為． （4）設(shè)拋物線向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后與矩形ABCD有交點(diǎn)K、L ∵KL平分矩形ABCD的面積 ∴K在線段AB上，L在線段CD上，如圖4 ∴K（m，0），L（2+m，0） 連接AC，交KL于點(diǎn)H ∵S△ACD＝S四邊形ADLKS矩形ABCD ∴S△AHK＝S△CHL ∵AK∥L

49、C ∴△AHK∽△CHL ∴ ∴AH＝CH，即點(diǎn)H為AC中點(diǎn) ∴H（4，﹣3）也是KL中點(diǎn) ∴ ∴m＝3 ∴拋物線平移的距離為3個(gè)單位長(zhǎng)度． 17. （2019郴州）已知拋物線y＝ax2+bx+3與x軸分別交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn) C． （1）求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)； （2）點(diǎn)F是線段AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)． ①如圖1，設(shè)k，當(dāng)k為何值時(shí)，CFAD？ ②如圖2，以A，F(xiàn)，O為頂點(diǎn)的三角形是否與△ABC相似？若相似，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0）， ∴，解得：

50、， ∴拋物線解析式為y＝﹣x2﹣2x+3； ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4 ∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，4）； （2）①∵在Rt△AOC中，OA＝3，OC＝3， ∴AC2＝OA2+OC2＝18， ∵D（﹣1，4），C（0，3），A（﹣3，0）， ∴CD2＝12+12＝2 ∴AD2＝22+42＝20 ∴AC2+CD2＝AD2 ∴△ACD為直角三角形，且∠ACD＝90°． ∵， ∴F為AD的中點(diǎn)， ∴， ∴． ②在Rt△ACD中，tan， 在Rt△OBC中，tan， ∴∠ACD＝∠OCB， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝45°， ∴∠FAO＝

51、∠ACB， 若以A，F(xiàn)，O為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則可分兩種情況考慮： 當(dāng)∠AOF＝∠ABC時(shí)，△AOF∽△CBA， ∴OF∥BC， 設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b， ∴，解得：， ∴直線BC的解析式為y＝﹣3x+3， ∴直線OF的解析式為y＝﹣3x， 設(shè)直線AD的解析式為y＝mx+n， ∴，解得：， ∴直線AD的解析式為y＝2x+6， ∴，解得：， ∴F（）． 當(dāng)∠AOF＝∠CAB＝45°時(shí)，△AOF∽△CAB， ∵∠CAB＝45°， ∴OF⊥AC， ∴直線OF的解析式為y＝﹣x， ∴，解得：， ∴F（﹣2，2）． 綜合以上可得F點(diǎn)的坐標(biāo)為（）或

52、（﹣2，2）． 18.（2019孝感）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣8a與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣4）． （1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為　 　，點(diǎn)B的坐標(biāo)為　 　，線段AC的長(zhǎng)為　 　，拋物線的解析式為　 　． （2）點(diǎn)P是線段BC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)． ①如果在x軸上存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．求點(diǎn)Q的坐標(biāo)． ②如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PE∥CA交線段BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作直線x＝t交BC于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G，記PE＝f，求f關(guān)于t的函數(shù)解析式；當(dāng)t取m和4m（0＜m＜2）時(shí)，試比

53、較f的對(duì)應(yīng)函數(shù)值f1和f2的大小． 解：（1）由題意得：﹣8a＝﹣4，故a， 故拋物線的表達(dá)式為：yx2﹣x﹣4， 令y＝0，則x＝4或﹣2，即點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（﹣2，0）、（4，0）， 則AC＝2， 故答案為：（﹣2，0）、（4，0）、2、yx2﹣x﹣4； （2）①當(dāng)BC是平行四邊形的一條邊時(shí)， 如圖所示，點(diǎn)C向右平移4個(gè)單位、向上平移4個(gè)單位得到點(diǎn)B， 設(shè)：點(diǎn)P（n，n2﹣n﹣4），點(diǎn)Q（m，0）， 則點(diǎn)P向右平移4個(gè)單位、向上平移4個(gè)單位得到點(diǎn)Q， 即：n+4＝m，n2﹣n﹣4+4＝0， 解得：m＝4或6（舍去4）， 即點(diǎn)Q（6，0）； ②當(dāng)BC是平

54、行四邊形的對(duì)角線時(shí)， 設(shè)點(diǎn)P（m，n）、點(diǎn)Q（s，0），其中nm2﹣m﹣4， 由中心公式可得：m+s＝﹣2，n+0＝4， 解得：s＝2或4（舍去4）， 故點(diǎn)Q（2，0）； 故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，0）或（6，0）； （3）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PH∥x軸交BC于點(diǎn)H， ∵GP∥y軸，∴∠HEP＝∠ACB， ∵PH∥x軸，∴∠PHO＝∠AOC， ∴△EPH∽△CAO，∴，即：， 則EPPH， 設(shè)點(diǎn)P（t，yP），點(diǎn)H（xH，yP）， 則t2﹣t﹣4＝xH﹣4， 則xHt2﹣t， fPH＝[t﹣（t2﹣t）]（t2﹣4t）， 當(dāng)t＝m時(shí)，f1（m2﹣4m）， 當(dāng)t＝4m時(shí)

55、，f2（m2﹣2m）， 則f1﹣f2m（m）， 則0＜m＜2，∴f1﹣f2＞0， f1＞f2． 19. （2019咸寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線yx+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線yx2+bx+c經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)且與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C． （1）求該拋物線的解析式； （2）若點(diǎn)D為直線AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠ABD＝2∠BAC時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)； （3）已知E，F(xiàn)分別是直線AB和拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)B，O，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，直接寫出所有符合條件的E點(diǎn)的坐標(biāo)． 解：（1）在中，令y＝0，得x＝4，令x＝0，得y＝2 ∴A（4，0），B（0

56、，2） 把A（4，0），B（0，2），代入，得 ，解得 ∴拋物線得解析式為 （2）如圖，過(guò)點(diǎn)B作x軸得平行線交拋物線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作BE得垂線，垂足為F ∵BE∥x軸，∴∠BAC＝∠ABE ∵∠ABD＝2∠BAC，∴∠ABD＝2∠ABE 即∠DBE+∠ABE＝2∠ABE ∴∠DBE＝∠ABE ∴∠DBE＝∠BAC 設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，），則BF＝x，DF ∵tan∠DBE，tan∠BAC ∴，即 解得x1＝0（舍去），x2＝2 當(dāng)x＝2時(shí)，3 ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，3） （3） 當(dāng)BO為邊時(shí)，OB∥EF，OB＝EF 設(shè)E（m，），F(xiàn)（m，） EF＝

57、|（）﹣（）|＝2 解得m1＝2，， 當(dāng)BO為對(duì)角線時(shí)，OB與EF互相平分 過(guò)點(diǎn)O作OF∥AB，直線OF交拋物線于點(diǎn)F（）和（） 求得直線EF解析式為或 直線EF與AB的交點(diǎn)為E，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為或 ∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1）或（，）或（）或（）或（） 20. （2019十堰）已知拋物線y＝a（x﹣2）2+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0）和C（0，），與x軸交于另一點(diǎn)B，頂點(diǎn)為D． （1）求拋物線的解析式，并寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，BD上（E點(diǎn)不與A，B重合），且∠DEF＝∠A，則△DEF能否為等腰三角形？若能，求出BE的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由； （3）若

58、點(diǎn)P在拋物線上，且m，試確定滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)． 解：（1）由題意：， 解得， ∴拋物線的解析式為y（x﹣2）2+3， ∴頂點(diǎn)D坐標(biāo)（2，3）． （2）可能．如圖1， ∵A（﹣2，0），D（2，3），B（6，0）， ∴AB＝8，AD＝BD＝5， ①當(dāng)DE＝DF時(shí)，∠DFE＝∠DEF＝∠ABD， ∴EF∥AB，此時(shí)E與B重合，與條件矛盾，不成立． ②當(dāng)DE＝EF時(shí)， 又∵△BEF∽△AED， ∴△BEF≌△AED， ∴BE＝AD＝5 ③當(dāng)DF＝EF時(shí)，∠EDF＝∠DEF＝∠DAB＝∠DBA， △FDE∽△DAB， ∴， ∴， ∵△AEF∽△BCE

59、 ∴， ∴EBAD， 答：當(dāng)BE的長(zhǎng)為5或時(shí)，△CFE為等腰三角形． （3）如圖2中，連接BD，當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的右側(cè)時(shí)，作DH⊥AB于H，連接PD，PH，PB．設(shè)P[n，（n﹣2）2+3]， 則S△PBD＝S△PBH+S△PDH﹣S△BDH4×[（n﹣2）2+3]3×（n﹣2）4×3（n﹣4）2， ∵0， ∴n＝4時(shí)，△PBD的面積的最大值為， ∵m， ∴當(dāng)點(diǎn)P在BD的右側(cè)時(shí)，m的最大值， 觀察圖象可知：當(dāng)0＜m時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有4個(gè)， 當(dāng)m時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有3個(gè)， 當(dāng)m時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有2個(gè)（此時(shí)點(diǎn)P在BD的左側(cè)）． 21. （2019

60、黔西南）已知拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)． （1）拋物線的解析式為　 　，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為　 ?。? （2）如圖1，連接OP交BC于點(diǎn)D，當(dāng)S△CPD：S△BPD＝1：2時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)； （3）如圖2，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，﹣1），點(diǎn)G為x軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，∠OGE＝15°，連接PE，若∠PEG＝2∠OGE，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)； （4）如圖3，是否存在點(diǎn)P，使四邊形BOCP的面積為8？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：（1）函數(shù)的表達(dá)式為：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（

61、x2+2x﹣3）， 即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1， 故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2﹣2x+3…①， 頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4）； （2）∵OB＝OC， ∴∠CBO＝45°， ∵S△CPD：S△BPD＝1：2， ∴BDBC2， yD＝BDsin∠CBO＝2， 則點(diǎn)D（﹣1，2）； （3）如圖2，設(shè)直線PE交x軸于點(diǎn)H， ∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°， ∴∠OHE＝45°， ∴OH＝OE＝1， 則直線HE的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣1…②， 聯(lián)立①②并解得：x（舍去正值）， 故點(diǎn)P（，）； （4）不存在，理由： 連接BC，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交B

62、C于點(diǎn)H， 直線BC的表達(dá)式為：y＝x+3， 設(shè)點(diǎn)P（x，﹣x2﹣2x+3），點(diǎn)H（x，x+3）， 則S四邊形BOCP＝S△OBC+S△PBC3×3（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）×3＝8， 整理得：3x2+9x+7＝0， 解得：△＜0，故方程無(wú)解， 則不存在滿足條件的點(diǎn)P． 22. （2019貴港）如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)為，與軸相交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)． （1）求拋物線的表達(dá)式； （2）寫出點(diǎn)的坐標(biāo)并求直線的表達(dá)式； （3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，分別在拋物線和對(duì)稱軸上，當(dāng)以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求，兩點(diǎn)的坐標(biāo)． 解：（1）函數(shù)表達(dá)式為：， 將點(diǎn)坐標(biāo)代入上式并解得：， 故拋物線的表達(dá)式為：； （2）、，則點(diǎn)， 設(shè)直線的表達(dá)式為：， 將點(diǎn)坐標(biāo)代入上式得：，解得：， 故直線的表達(dá)式為：； （3）設(shè)點(diǎn)、點(diǎn)， ①當(dāng)是平行四邊形的一條邊時(shí)， 點(diǎn)向左平移2個(gè)單位、向下平移4個(gè)單位得到， 同樣點(diǎn)向左平移2個(gè)單位、向下平移4個(gè)單位得到， 即：，， 解得：，， 故點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、； ②當(dāng)是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)， 由中點(diǎn)定理得：，， 解得：，， 故點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、； 故點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為或、或． 51