2020年中考數(shù)學二輪復(fù)習 重難題型突破 類型五 圖形面積問題

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1、類型五 圖形面積問題 例1、小明的家門前有一塊空地，空地外有一面長10米的圍墻，為了美化生活環(huán)境，小明的爸爸準備靠墻修建一個矩形花圃，他買回了32米長的不銹鋼管準備作為花圃的圍欄，為了澆花和賞花的方便，準備在花圃的中間再圍出一條寬為一米的通道及在左右花圃各放一個1米寬的門（木質(zhì)）．花圃的長與寬如何設(shè)計才能使花圃的面積最大？ 【答案】：寬6米，長10米 【解析】：設(shè)花圃的寬為米，面積為平方米 則長為：(米) 則： ∵，∴ ∵，∴與的二次函數(shù)的頂點不在自變量的范圍內(nèi)， 而當內(nèi)，隨的增大而減小， ∴當時，(平方米) 答：可設(shè)計成寬米，長10米的矩形花圃，這樣的花圃面積

2、最大． 例2、某人定制了一批地磚，每塊地磚（如圖(1)所示）是邊長為0.4米的正方形ABCD，點E、F分別在邊BC和CD上，△CFE、△ABE和四邊形AEFD均由單一材料制成，制成△CFE、△ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價格依次為30元、20元、10元，若將此種地磚按圖(2)所示的形式鋪設(shè)，且能使中間的陰影部分組成四邊形EFGH． (1)判斷圖(2)中四邊形EFGH是何形狀，并說明理由； (2)E、F在什么位置時，定制這批地磚所需的材料費用最??？ 【答案】：（1）四邊形EFGH是正方形 （2）當CE=CF=0.1米時，總費用最省． 【解析】：(1) 四邊形EFGH是正

3、方形． 圖(2)可以看作是由四塊圖(1)所示地磚繞C點 按順(逆)時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的， 故CE=CF =CG． ∴△CEF是等腰直角三角形 因此四邊形EFGH是正方形．　 (2)設(shè)CE=x, 則BE=0.4－x，每塊地磚的費用為y元 那么：y=x×30+×0.4×(0.4-x)×20+ 當x=0.1時，y有最小值，即費用為最省，此時CE=CF=0.1． 答：當CE=CF=0.1米時，總費用最?。? 例3、某居民小區(qū)要在一塊一邊靠墻(墻長15m)的空地上修建一個矩形花園ABCD，花園的一邊靠墻，

4、另三邊用總長為40m的柵欄圍成．若設(shè)花園的寬為x(m) ，花園的面積為y(m2)． (1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出自變量的取值范圍； （2）根據(jù)（1）中求得的函數(shù)關(guān)系式，描述其圖象的變化趨勢；并結(jié)合題意判斷當x取何值時，花園的面積最大，最大面積是多少？ 【答案】：（1）y=（2）187.5 【解析】： ∵ ∴ ∵二次函數(shù)的頂點不在自變量的范圍內(nèi)， 而當內(nèi)，隨的增大而減小， ∴當時， (平方米) 答：當米時花園的面積最大，最大面積是187.5平方米． 例4、如圖，要建一個長方形養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻，如果用50 m長的籬笆圍成中間有一道籬笆隔墻的養(yǎng)雞場，設(shè)

5、它的長度為x米． (1)要使雞場面積最大，雞場的長度應(yīng)為多少m？ (2)如果中間有n(n是大于1的整數(shù))道籬笆隔墻，要使雞場面積最大，雞場的長應(yīng)為多少米？比較(1)(2)的結(jié)果，你能得到什么結(jié)論？ 【答案】：（1）25（2）25 【解析】：(1)∵長為x米，則寬為米，設(shè)面積為平方米． ∴當時，(平方米) 即：雞場的長度為25米時，面積最大． (2) 中間有道籬笆，則寬為米，設(shè)面積為平方米． 則： ∴當時，(平方米) 由(1)(2)可知，無論中間有幾道籬笆墻，要使面積最大，長都是25米． 即：使面積最大的值與中間有多少道隔墻無關(guān)． 例5、如圖，矩形ABC

6、D的邊AB=6 cm，BC=8cm，在BC上取一點P，在CD邊上取一點Q，使∠APQ成直角，設(shè)BP=x cm，CQ=y cm，試以x為自變量，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式． 【答案】：． 【解析】：∵∠APQ=90°, ∴∠APB+∠QPC=90°. ∵∠APB+∠BAP=90°, ∴∠QPC=∠BAP，∠B=∠C=90° .∴△ABP∽△PCQ. ∴． 例6、如圖，小明的父親在相距2米的兩棵樹間拴了一根繩子，給他做了一個簡易的秋千，拴繩子的地方距地面高都是2.5米，繩子自然下垂呈拋物線狀，身高1米的小明距較近的那棵樹0.5米時，頭部剛好接觸到繩子，則繩子的最低點距地面的

7、距離為多少米？ 【答案】：0.5 【解析】：如圖所示建立直角坐標系 則：設(shè) 將點，代入， ，解得 頂點，最低點距地面0.5米． 例7、小李想用籬笆圍成一個周長為60米的矩形場地，矩形面積S(單位：平方米)隨矩形一邊長x(單位：米)的變化而變化． （1）求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍； （2）當x是多少時，矩形場地面積S最大？最大面積是多少？ 【答案】：（1） （2）15,225 【解析】：（1）根據(jù)題意，得 自變量的取值范圍是 （2）∵，∴有最大值 當時， 答：當為15米時，才能使矩形場地面積最大，最大面積是225平方米．

8、例8、隨著綠城南寧近幾年城市建設(shè)的快速發(fā)展，對花木的需求量逐年提高．某園林專業(yè)戶計劃投資種植花卉及樹木，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，種植樹木的利潤與投資量成正比例關(guān)系，如圖12-①所示；種植花卉的利潤與投資量成二次函數(shù)關(guān)系，如圖12-②所示(注：利潤與投資量的單位：萬元) （1）分別求出利潤與關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式； （2）如果這位專業(yè)戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤？他能獲取的最大利潤是多少？ 【答案】：（1）關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式是=，關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式是 （2）當時，的最大值為32 【解析】：（1）設(shè)=,由圖12-①所示，函數(shù)=的圖像過（1，2），所以2=，

9、 故利潤關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式是=； 因為該拋物線的頂點是原點，所以設(shè)=，由圖12-②所示，函數(shù)=的圖像過（2，2），所以， 故利潤關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式是； （2）設(shè)這位專業(yè)戶投入種植花卉萬元（），則投入種植樹木()萬元， 他獲得的利潤是萬元，根據(jù)題意，得 =+= = ∵∴當時，的最小值是14； ∴他至少獲得14萬元的利潤． 因為，所以在對稱軸的右側(cè)， 隨的增大而增大 所以，當時，的最大值為32． 例9、如圖，把一張長10cm，寬8cm的矩形硬紙板的四周各剪去一個同樣大小的正方形，再折合成一個無蓋的長方體盒子（紙板的厚度忽略不計）． （1）要使長方體盒子的底

10、面積為48cm2，那么剪去的正方形的邊長為多少？ （2）你感到折合而成的長方體盒子的側(cè)面積會不會有更大的情況？如果有，請你求出最大值和此時剪去的正方形的邊長；如果沒有，請你說明理由； （3）如果把矩形硬紙板的四周分別剪去2個同樣大小的正方形和2個同樣形狀、同樣大小的矩形，然后折合成一個有蓋的長方體盒子，是否有側(cè)面積最大的情況；如果有，請你求出最大值和此時剪去的正方形的邊長；如果沒有，請你說明理由． 【答案】：（1）1（2）40.5（3）最大面積為cm2 【解析】：（1）設(shè)正方形的邊長為cm， 則． 即． 解得（不合題意，舍去），． 剪去的正方形的邊長為1cm． （2）有側(cè)面積

11、最大的情況． 設(shè)正方形的邊長為cm，盒子的側(cè)面積為cm2， 則與的函數(shù)關(guān)系式為： ． 即． 改寫為． 當時，． 即當剪去的正方形的邊長為2.25cm時， 長方體盒子的側(cè)面積最大為40.5cm2． （3）有側(cè)面積最大的情況． 設(shè)正方形的邊長為cm，盒子的側(cè)面積為cm2． 若按圖1所示的方法剪折，則與的函數(shù)關(guān)系式為： 即． 當時，． 若按圖2所示的方法剪折， 則與的函數(shù)關(guān)系式為：． 即． 當時，． 比較以上兩種剪折方法可以看出，按圖2所示的方法剪折得到的盒子側(cè)面積最大，即當剪去的正方形的邊長為cm時，折成的有蓋長方體盒子的側(cè)面積最大，最大面積為cm2．

12、 例10、一座拱橋的輪廓是拋物線型(如圖16所示)，拱高6m，跨度20m，相鄰兩支柱間的距離均為5m． （1）將拋物線放在所給的直角坐標系中(如圖17所示)，求拋物線的解析式； （2）求支柱的長度； （3）拱橋下地平面是雙向行車道(正中間是一條寬2m的隔離帶)，其中的一條行車道能否并排行駛寬2m、高3m的三輛汽車(汽車間的間隔忽略不計)？請說明你的理由． 【答案】：（1）拋物線的表達式是 （2）5.5（3）能通過 【解析】：（1）根據(jù)題目條件，的坐標分別是． 設(shè)拋物線的解析式為， 將的坐標代入， 得 解得． 所以拋物線的表達式是． （2）可設(shè)，于是 從而支柱的長度是米． （3）設(shè)是隔離帶的寬， 是三輛車的寬度和，則點坐標是． 過點作垂直交拋物線于， 則． 根據(jù)拋物線的特點，可知一條行車道能并排行駛這樣的三輛汽車． 8