2020年中考數(shù)學基礎題型提分講練 專題19 以三角形為背景的證明與計算（含解析）

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1、專題19 以三角形為背景的證明與計算 考點分析 【例1】（2019·山東中考真題）如圖，已知等邊，于，，為線段上一點，且，連接，BF，于，連接． （1）求證：； （2）試說明與的位置關系和數(shù)量關系． 【答案】（1）詳見解析；（2），，理由詳見解析． 【解析】 （1）∵是等邊三角形， ，， ∵，， ∴，， ∵， ， ， ，且，， ， ， （2），.理由如下： 連接， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， 是等邊三角形， ∵， ，且， ，. 【點睛】 本題考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，三角形中位線定理，熟練運用三

2、角形中位線定理是本題的關鍵． 【例2】（2019·山東中考真題）小圓同學對圖形旋轉前后的線段之間、角之間的關系進行了拓展探究. （一）猜測探究 在中，，是平面內任意一點，將線段繞點按順時針方向旋轉與相等的角度，得到線段，連接． （1）如圖1，若是線段上的任意一點，請直接寫出與的數(shù)量關系是　 　，與的數(shù)量關系是　 ??； （2）如圖2，點是延長線上點，若是內部射線上任意一點，連接，（1）中結論是否仍然成立？若成立，請給予證明，若不成立，請說明理由． （二）拓展應用 如圖3，在中，，，，是上的任意點，連接，將繞點按順時針方向旋轉，得到線段，連接．求線段長度的最小值．

3、【答案】（一）（1）結論：，．理由見解析；（2）如圖2中，①中結論仍然成立．理由見解析；（二）的最小值為． 【解析】 （一）（1）結論：，． 理由：如圖1中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴≌（）， ∴． 故答案為，． （2）如圖2中，①中結論仍然成立． 理由：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴≌（）， ∴． （二）如圖3中，在上截取，連接，作于，作于． ∵， ∴， ∵，， ∴≌（）， ∴， ∴當?shù)闹底钚r，的值最小， 在中，∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在，∵， ∴， 根據(jù)垂線段最短可知，當點與重合時，的值最小， ∴的最

4、小值為． 【點睛】 本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，解直角三角形，垂線段最短等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會利用垂線段最短解決最值問題，屬于中考壓軸題． 考點集訓 1．（2019·湖北中考真題）如圖，在中，是邊上的一點，，平分，交邊于點，連接． （1）求證：； （2）若，，求的度數(shù)． 【答案】(1)見解析；（2） 【解析】 （1）證明：平分， ， 在和中，， ； （2），， ， 平分， ， 在中，． 【點睛】 本題考查了全等三角形的判定與性質、角平分線的定義、三

5、角形內角和定理；熟練掌握三角形內角和定理和角平分線定義，證明三角形全等是解題的關鍵． 2．（2019·浙江中考真題）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AB邊上一點，過點C作CF∥AB交ED的延長線于點F， （1）求證：△BDE≌△CDF；（2）當AD⊥BC，AE＝1，CF＝2時，求AC的長． 【答案】（1）見解析；（2）. 【解析】 解：（1）∵， ∴. ∵是邊上的中線， ∴， ∴. （2）∵， ∴， ∴. ∵， ∴. 【點睛】 本題考查了全等三角形的判定和性質，平行線的性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵． 3．（2019·天津）

6、在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分別是邊AB，AC的中點．若等腰Rt△ADE繞點A逆時針旋轉，得到等腰RtRt△AD1E1，設旋轉角為α（0＜α≤180°），記直線BD1與CE1的交點為P． （1）如圖1，當α=90°時，線段BD1的長等于 ，線段CE1的長等于 ；（直接填寫結果） （2）如圖2，當α=135°時，求證：BD1=CE1 ，且BD1⊥CE1 ； （3）求點P到AB所在直線的距離的最大值．（直接寫出結果） 【答案】（1）BD1=，CE1=；（2）見解析；（3）1 + 【解析】 解：（1）解：∵∠A=90°，AC=AB=4，D，E分別是邊

7、AB，AC的中點， ∴AE=AD=2， ∵等腰Rt△ADE繞點A逆時針旋轉，得到等腰Rt△AD1E1，設旋轉角為α（0＜α≤180°）， ∴當α=90°時，AE1=2，∠E1AE=90°， ; （2）證明：當α=135°時，如下圖： 由旋轉可知∠D1AB=E1AC=135° 又AB=AC，AD1=AE1， ∴△D1AB ≌ △E1AC ∴BD1=CE1且 ∠D1BA=E1CA 設直線BD1與AC交于點F，有∠BFA=∠CFP ∴∠CPF=∠FAB=90°， ∴BD1⊥CE1； （3）解：如圖3，作PG⊥AB，交AB所在直線于點G， ∵D1，E1在以A為圓心，

8、AD為半徑的圓上， 當BD1所在直線與⊙A相切時，直線BD1與CE1的交點P到直線AB的距離最大， 此時四邊形AD1PE1是正方形，PD1=2，則， 故∠ABP=30°， 則， 故點P到AB所在直線的距離的最大值為：． 考點：旋轉變換，直角三角形，勾股定理，三角形全等，正方形的性質 4．（2019·江西初二期末）（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m, CE⊥直線m,垂足分別為點D、E.證明:DE=BD+CE. （2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上,并且有∠BDA=

9、∠AEC=∠BAC=,其中為任意銳角或鈍角.請問結論DE=BD+CE是否成立?如成立,請你給出證明;若不成立,請說明理由. （3）拓展與應用：如圖（3），D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點（D、A、E三點互不重合）,點F為∠BAC平分線上的一點,且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀. 【答案】（1）見解析（2）成立（3）△DEF為等邊三角形 【解析】 解：（1）證明：∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，∴∠BDA＝∠CEA=900． ∵∠BAC＝900，∴∠BAD+∠CAE=900． ∵∠BAD+∠ABD=9

10、00，∴∠CAE=∠ABD． 又AB="AC" ，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE． ∴DE="AE+AD=" BD+CE． （2）成立．證明如下： ∵∠BDA =∠BAC=，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=1800—．∴∠DBA=∠CAE． ∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE． ∴DE=AE+AD=BD+CE． （3）△DEF為等邊三角形．理由如下： 由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE， ∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，∴∠ABF=∠CAF=600

11、． ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．∴∠DBF=∠FAE． ∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF（AAS）．∴DF=EF，∠BFD=∠AFE． ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600． ∴△DEF為等邊三角形． （1）因為DE=DA+AE，故由AAS證△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，從而證得DE=BD+CE． （2）成立，仍然通過證明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD． （3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA =∠CAE，由△ABF和△ACF均等邊三角形，得∠ABF=∠CAF=60

12、0，F(xiàn)B=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根據(jù)∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等邊三角形． 5．（2019·貴州中考真題）（1）如圖①，在四邊形中，，點是的中點，若是的平分線，試判斷，，之間的等量關系． 解決此問題可以用如下方法：延長交的延長線于點，易證得到，從而把，，轉化在一個三角形中即可判斷． ，，之間的等量關系________； （2）問題探究：如圖②，在四邊形中，，與的延長線交于點，點是的中點，若是的平分線，試探究，，之間的等量關系，并證明

13、你的結論． 【答案】（1）；（2），理由詳見解析. 【解析】 解：（1）. 理由如下：如圖①，∵是的平分線，∴ ∵，∴，∴，∴. ∵點是的中點，∴， 又∵， ∴≌（AAS），∴. ∴. 故答案為：. （2）. 理由如下：如圖②，延長交的延長線于點. ∵，∴， 又∵，， ∴≌（AAS），∴， ∵是的平分線，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴. 【點睛】 本題考查了全等三角形的判定和性質、平行線的性質、角平分線的定義和等角對等邊等知識，添加恰當輔助線構造全等三角形是解本題的關鍵． 6．（2019·江蘇初二期中）如圖，△ABC中，AB=AC，點E，F(xiàn)在邊BC

14、上，BE=CF，點D在AF的延長線上，AD=AC， （1）求證：△ABE≌△ACF； （2）若∠BAE=30°，則∠ADC=　 　°． 【答案】（1）證明見解析；（2）75． 【解析】 （1）∵AB=AC， ∴∠B=∠ACF， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（SAS）； （2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°， ∴∠CAF=∠BAE=30°， ∵AD=AC， ∴∠ADC=∠ACD， ∴∠ADC==75°， 故答案為75． 【點睛】 本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質，熟練掌握相關性質與定理是解題的關鍵. 7．

15、（2019·江蘇中考真題）如圖，中，點在邊上，，將線段繞點旋轉到的位置，使得，連接，與交于點 (1)求證：； (2)若，，求的度數(shù). 【答案】(1)證明見解析；(2)78°. 【解析】 (1) (2) 【點睛】 本題主要考查全等三角形證明與性質，等腰三角形性質，旋轉性質等知識點，比較簡單，基礎知識扎實是解題關鍵 8．（2019·江蘇中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC,點D、E分別在AB、AC上，BD=CE，BE、CD相交于點0； 求證：（

16、1） （2） 【答案】（1）見解析；（2）見解析. 【解析】 (1)∵AB=AC， ∴∠ECB=∠DBC， 在 ， ∴ ； (2)由(1) ， ∴∠DCB=∠EBC， ∴OB=OC. 【點睛】 本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質與判定，熟練掌握全等三角形的判定定理與性質定理是解題的關鍵. 9．（2019·江蘇中考真題）如圖，中，，，． （1）用直尺和圓規(guī)作的垂直平分線；（保留作圖痕跡，不要求寫作法） （2）若（1）中所作的垂直平分線交于點，求的長． 【答案】（1）詳見解析；（2）． 【解析】 （1）如圖直線即為所求． （

17、2）∵垂直平分線段，∴， 設，在中， ∵，∴， 解得，∴． 【點睛】 本題考查作圖﹣基本作圖，線段的垂直平分線的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型． 10．（2019·湖北初二期中）（問題提出） 如圖①，已知△ABC是等邊三角形，點E在線段AB上，點D在直線BC上，且ED=EC，將△BCE繞點C順時針旋轉60°至△ACF連接EF 試證明：AB=DB+AF （類比探究） （1）如圖②，如果點E在線段AB的延長線上，其他條件不變，線段AB，DB，AF之間又有怎樣的數(shù)量關系？請說明理由 （2）如果點E在線段BA的延長線上，其他條件不變，請在圖③的基礎上將

18、圖形補充完整，并寫出AB，DB，AF之間的數(shù)量關系，不必說明理由． 【答案】證明見解析；（1）AB=BD﹣AF；（2）AF=AB+BD． 【解析】 （1）證明：DE=CE=CF，△BCE 由旋轉60°得△ACF， ∴∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF， ∴△CEF是等邊三角形， ∴EF=CE， ∴DE=EF，∠CAF=∠BAC=60°， ∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°， ∵∠DBE=120°， ∴∠EAF=∠DBE， 又∵A，E，C，F(xiàn)四點共圓， ∴∠AEF=∠ACF， 又∵ED=DC， ∴∠D=∠BCE，∠BCE=∠ACF， ∴∠D=∠AE

19、F， ∴△EDB≌FEA， ∴BD=AF，AB=AE+BF， ∴AB=BD+AF． 類比探究（1）DE=CE=CF，△BCE由旋轉60°得△ACF， ∴∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF， ∴△CEF是等邊三角形， ∴EF=CE， ∴DE=EF，∠EFC=∠BAC=60°， ∠EFC=∠FGC+∠FCG，∠BAC=∠FGC+∠FEA， ∴∠FCG=∠FEA， 又∠FCG=∠EAD ∠D=∠EAD， ∴∠D=∠FEA， 由旋轉知∠CBE=∠CAF=120°， ∴∠DBE=∠FAE=60° ∴△DEB≌△EFA， ∴BD=AE， EB=AF， ∴BD=FA

20、+AB． 即AB=BD-AF． （2）AF=BD+AB（或AB=AF-BD） 如圖③， ， ED=EC=CF， ∵△BCE繞點C順時針旋轉60°至△ACF， ∴∠ECF=60°，BE=AF，EC=CF，BC=AC， ∴△CEF是等邊三角形， ∴EF=EC， 又∵ED=EC， ∴ED=EF， ∵AB=AC，BC=AC， ∴△ABC是等邊三角形， ∴∠ABC=60°， 又∵∠CBE=∠CAF， ∴∠CAF=60°， ∴∠EAF=180°-∠CAF-∠BAC =180°-60°-60° =60° ∴∠DBE=∠EAF； ∵ED=EC， ∴∠ECD=∠E

21、DC， ∴∠BDE=∠ECD+∠DEC=∠EDC+∠DEC， 又∵∠EDC=∠EBC+∠BED， ∴∠BDE=∠EBC+∠BED+∠DEC=60°+∠BEC， ∵∠AEF=∠CEF+∠BEC=60°+∠BEC， ∴∠BDE=∠AEF， 在△EDB和△FEA中， ∴△EDB≌△FEA（AAS）， ∴BD=AE，EB=AF， ∵BE=AB+AE， ∴AF=AB+BD， 即AB，DB，AF之間的數(shù)量關系是： AF=AB+BD． 考點：旋轉變化，等邊三角形，三角形全等， 11．（2019·浙江中考真題）如圖，在中，. ⑴已知線段AB的垂直平分線與BC邊交于點P，

22、連結AP，求證：； ⑵以點B為圓心，線段AB的長為半徑畫弧，與BC邊交于點Q，連結AQ，若，求的度數(shù). 【答案】（1）見解析；（2）∠B=36°. 【解析】 （1）證明：因為點P在AB的垂直平分線上， 所以PA=PB， 所以∠PAB=∠B， 所以∠APC=∠PAB+∠B=2∠B. （2）根據(jù)題意，得BQ=BA， 所以∠BAQ=∠BQA， 設∠B=x， 所以∠AQC=∠B+∠BAQ=3x， 所以∠BAQ=∠BQA=2x， 在△ABQ中，x+2x+2x=180°， 解得x=36°，即∠B=36°. 【點睛】 本題考查垂直平分線的性質、等腰三角形的性質，解題的關鍵

23、是掌握垂直平分線的性質、等腰三角形的性質. 12．（2019·山東初三）（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖①，小明畫了一個等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外側分別以AB，AC為腰作了兩個等腰直角三角形ABD，ACE，分別取BD，CE，BC的中點M，N，G，連接GM，GN．小明發(fā)現(xiàn)了：線段GM與GN的數(shù)量關系是__________；位置關系是__________． （2）類比思考： 如圖②，小明在此基礎上進行了深入思考．把等腰三角形ABC換為一般的銳角三角形，其中AB＞AC，其它條件不變，小明發(fā)現(xiàn)的上述結論還成立嗎？請說明理由． （3）深入研究： 如圖③，小明在（2）的基礎上，又作了進

24、一步的探究．向△ABC的內側分別作等腰直角三角形ABD，ACE，其它條件不變，試判斷△GMN的形狀，并給與證明． 【答案】（1）MG=NG； MG⊥NG；（2）成立，MG=NG，MG⊥NG；（3）答案見解析 【解析】 （1）連接BE，CD相交于H，如圖1， ∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形， ∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90° ∴∠CAD=∠BAE， ∴△ACD≌△AEB（SAS）， ∴CD=BE，∠ADC=∠ABE， ∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°， ∴∠BHD=

25、90°， ∴CD⊥BE， ∵點M，G分別是BD，BC的中點， ∴MG∥CD且MG=CD， 同理：NG∥BE且NG=BE， ∴MG=NG，MG⊥NG， （2）連接CD，BE，相交于H，如圖2， 同（1）的方法得，MG=NG，MG⊥NG； （3）連接EB，DC并延長相交于點H，如圖3. 同（1）的方法得，MG=NG， 同（1）的方法得，△ABE≌△ADC， ∴∠AEB=∠ACD， ∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°， ∴∠DHE=90°， 同（1）的方法得，MG⊥NG．

26、∴△GMN是等腰直角三角形. 點睛：此題是三角形綜合題，主要考查等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，平行線的判定和性質，三角形的中位線定理，正確作出輔助線用類比的思想解決問題是解本題的關鍵． 13．（2019·山東）（提出問題） （1）如圖1，在等邊△ABC中，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結CN．求證：∠ABC=∠ACN． （類比探究） （2）如圖2，在等邊△ABC中，點M是BC延長線上的任意一點（不含端點C），其它條件不變，（1）中結論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請說明理由． （拓展延伸） （3）如圖3，在等腰△AB

27、C中，BA=BC，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN=∠ABC．連結CN．試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關系，并說明理由． 【答案】見解析 【解析】 解：（1）證明：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°． ∴∠BAM=∠CAN． ∵在△BAM和△CAN中，， ∴△BAM≌△CAN（SAS）．∴∠ABC=∠ACN． （2）結論∠ABC=∠ACN仍成立．理由如下： ∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°． ∴∠BAM=∠C

28、AN． ∵在△BAM和△CAN中，， ∴△BAM≌△CAN（SAS）．∴∠ABC=∠ACN． （3）∠ABC=∠ACN．理由如下： ∵BA=BC，MA=MN，頂角∠ABC=∠AMN，∴底角∠BAC=∠MAN． ∴△ABC∽△AMN．∴． 又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，∴∠BAM=∠CAN. ∴△BAM∽△CAN．∴∠ABC=∠ACN． 14．（2019·遼寧中考真題）如圖，是具有公共邊AB的兩個直角三角形，其中，AC=BC，∠ACB=∠ADB=90°． (1)如圖1，若延長DA到點E，使AE=BD，連接CD，CE． ①求證：CD=CE，CD

29、⊥CE； ②求證：AD+BD=CD； (2)若△ABC與△ABD位置如圖2所示，請直接寫出線段AD，BD，CD的數(shù)量關系． 【答案】(1)①證明見解析；②證明見解析；(2)AD-BD=CD. 【解析】 (1)證明：①在四邊形ADBC中，∠DAC+∠DBC+∠ADB+∠ACB=360°， ∵∠ADB+∠ACB=180°， ∴∠DAC+∠DBC=180°， ∵∠EAC+∠DAC=180°， ∴∠DBC=∠EAC， ∵BD=AE，BC=AC， ∴△BCD≌△ACE(SAS)， ∴CD=CE，∠BCD=∠ACE， ∵∠BCD+∠DCA=90°， ∴∠ACE+∠DCA=

30、90°， ∴∠DCE=90°， ∴CD⊥CE； ②∵CD=CE，CD⊥CE， ∴△CDE是等腰直角三角形， ∴DE=CD， ∵DE=AD+AE，AE=BD， ∴DE=AD+BD， ∴AD+BD=CD； (2)解：AD-BD=CD； 理由：如圖2，在AD上截取AE=BD，連接CE， ∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠BAC=∠ABC=45°， ∵∠ADB=90°， ∴∠CBD=90°-∠BAD-∠ABC=90°-∠BAD-45°=45°-∠BAD， ∵∠CAE=∠BAC-∠BAD=45°-∠BAD， ∴∠CBD=∠CAE，∵BD=AE，BC=AC， ∴△CBD≌△CAE(SAS)， ∴CD=CE，∠BCD=∠ACE， ∵∠ACE+∠BCE=∠ACB=90°， ∴∠BCD+∠BCE=90°， 即∠DCE=90°， ∴DE===CD， ∵DE=AD-AE=AD-BD， ∴AD-BD=CD． 【點睛】 本題考查了等腰直角三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．