2020年中考數(shù)學二輪復(fù)習 重難題型突破 類型一 圓的基本性質(zhì)證明與計算

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1、類型一 圓的基本性質(zhì)證明與計算 命題點1　垂徑定理 例1、如圖，CD是⊙O的直徑，AB是弦(不是直徑)，AB⊥CD于點E，則下列結(jié)論正確的是( ) A．AE>BE B.＝ C．∠D＝∠AEC D．△ADE∽△CBE 【答案】：D 命題點2　圓周角定理 例2、如圖，點O為優(yōu)弧所在圓的圓心，∠AOC＝108°，點D在AB的延長線上，BD＝BC，則∠D______． 【答案】：27° 重難點1　垂徑定理及其應(yīng)用 例3、已知AB是半徑為5的⊙O的直徑，E是AB上一點，且BE＝2. (1)如圖1，過點E作直線CD⊥AB，交⊙O于C，D兩點，則CD＝_______

2、； 圖1 　　 圖2 　　 圖3 　　圖4 探究：如圖2，連接AD，過點O作OF⊥AD于點F，則OF＝_____； (2)過點E作直線CD交⊙O于C，D兩點． ①若∠AED＝30°，如圖3，則CD＝__________； ②若∠AED＝45°，如圖4，則CD＝___________． 【答案】：（1）8 , （2） 【思路點撥】　由于CD是⊙O的弦，因此利用圓心到弦的距離(有時需先作弦心距)，再利用垂徑定理，結(jié)合勾股定理，求出弦的一半，再求弦． 【變式訓(xùn)練1】如圖，點A，B，C，D都在半徑為2的⊙O上．若OA⊥

3、BC，∠CDA＝30°，則弦BC的長為( ) A．4 B．2 C. D．2 【答案】：D 【變式訓(xùn)練2】　【分類討論思想】已知⊙O的半徑為10 cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB＝16 cm，CD＝12 cm，則弦AB和CD之間的距離是__________________ 【答案】：2cm或14cm 1．垂徑定理兩個條件是過圓心、垂直于弦的直線，三個結(jié)論是平分弦，平分弦所對的優(yōu)弧與劣?。? 2．圓中有關(guān)弦的證明與計算，通過作弦心距，利用垂徑定理，可把與圓相關(guān)的三個量，即圓的半徑，圓中一條弦

4、的一半，弦心距構(gòu)成一個直角三角形，從而利用勾股定理，實現(xiàn)求解． 3．事實上，過點E任作一條弦，只要確定弦與AB的交角，就可以利用垂徑定理和解直角三角形求得這條弦長． 重難點2　圓周角定理及其推論 例3、已知⊙O是△ABC的外接圓，且半徑為4. (1)如圖1，若∠A＝30°，求BC的長； (2)如圖2，若∠A＝45°： ①求BC的長； ②若點C是的中點，求AB的長； (3)如圖3，若∠A＝135°，求BC的長． 圖1 圖2 　　圖3 【答案】（1）4（2）4

5、.,8（3）4. 【點撥】　連接OB，OC，利用同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍，構(gòu)建可解的等腰三角形求解． 【解析】　解：(1)連接OB，OC. ∵∠BOC＝2∠A＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形． ∴BC＝OB＝4. (2)①連接OB，OC. ∵∠BOC＝2∠A＝90°，OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形． ∵OB＝OC＝4，∴BC＝4. ②∵點C是的中點，∴∠ABC＝∠A＝45°. ∴∠ACB＝90°.∴AB是⊙O的直徑．∴AB＝8. (3)在優(yōu)弧上任取一點D，連接BD，CD，連接BO，CO. ∵∠A＝135°，∴∠D＝45°.∴∠BOC＝2∠D＝9

6、0°. ∵OB＝OC＝4，∴BC＝4. 【變式訓(xùn)練3】　如圖，BC是⊙O的直徑，A是⊙O上的一點，∠OAC＝32°，則∠B的度數(shù)是( ) A．58° B．60° C．64° D．68° 【答案】：A 【變式訓(xùn)練4】　將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使點C在半圓上．點A，B的讀數(shù)分別為88°，30°，則∠ACB的大小為( ) A．15° B．28° C．29° D．34° 　　　　　 【答案】

7、C 1．在圓中由已知角求未知角，同(等)弧所對的圓心角和圓周角的關(guān)系是一個重要途徑，其關(guān)鍵是找到同一條?。? 2．弦的求解可以通過連接圓心與弦的兩個端點，構(gòu)建等腰三角形來解決． 3．一條弦所對的兩種圓周角互補，即圓內(nèi)接四邊形的對角互補． 在半徑已知的圓內(nèi)接三角形中，若已知三角形一內(nèi)角，可以求得此角所對的邊． 注意同弧所對的圓心角是圓周角的2倍，避免把數(shù)量關(guān)系弄顛倒． 重難點3　圓內(nèi)接四邊形 例4、如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形．延長AB與DC相交于點G，AO⊥CD，垂足為E，連接BD，∠GBC＝50°，則∠DBC的度數(shù)為( ) A．50°

8、 B．60° C．80° D．90° 【答案】C 【思路點撥】　延長AE交⊙O于點M，由垂徑定理可得＝2，所以∠CBD＝2∠EAD.由圓內(nèi)接四邊形的對角互補，可推得∠ADE＝∠GBC，而∠ADE與∠EAD互余，由此得解． 【變式訓(xùn)練5】如圖所示，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠BCD＝120°，則∠BOD的大小是( ) A．80° B．120° C．100° D．90° 【答案】B 【變式訓(xùn)練6】　如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為B

9、C延長線上一點．若∠A＝n°，則∠DCE＝____________ 【答案】n° 1．找圓內(nèi)角(圓周角，圓心角)和圓外角(頂角在圓外，兩邊也在圓外或頂點在圓上，一邊在圓內(nèi)，另一邊在圓外)的數(shù)量關(guān)系時，常常會用到圓內(nèi)接四邊形的對角互補和三角形外角的性質(zhì)． 2．在同圓或等圓中，如果一條弧等于另一條弧的兩倍，則較大弧所對的圓周角是較小弧所對圓周角的兩倍．Ｋ 能力提升 1．如圖，在⊙O中，如果＝2，那么( ) A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＜2AC D．AB＞2AC 【答案】C 2．如圖

10、，在半徑為4的⊙O中，弦AB∥OC，∠BOC＝30°，則AB的長為( ) A．2 B．2 C．4 D．4 【答案】D 　　 3．如圖，在平面直角坐標系中，⊙O′經(jīng)過原點O，并且分別與x軸、y軸交于點B，C，分別作O′E⊥OC于點E，O′D⊥OB于點D.若OB＝8，OC＝6，則⊙O′的半徑為( ) A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 4．如圖，在⊙O中，弦BC與半徑OA相交于點D，連接AB，OC.若∠A

11、＝60°，∠ADC＝85°，則∠C的度數(shù)是( ) A．25° B．27.5° C．30° D．35° 【答案】D 5．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并與⊙O相交于點D，連接BD，則∠DBC的大小為( ) A．15° B．35° C．25° D．45° 【答案】A 6．如圖，分別延長圓內(nèi)接四邊形ABDE的

12、兩組對邊，延長線相交于點F，C.若∠F＝27°，∠A＝53°，則∠C的度數(shù)為( ) A．30° B．43° C．47° D．53° 【答案】C 7． 如圖，小華為了求出一個圓盤的半徑，他用所學的知識，將一寬度為2 cm的刻度尺的一邊與圓盤相切，另一邊與圓盤邊緣兩個交點處的讀數(shù)分別是“4”和“16”(單位：cm)，請你幫小華算出圓盤的半徑是________cm. 【答案】10cm 8．如圖，∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于點D，∠ABC的平分線交AD于點E. (1)求證：DE＝DB； (2)若

13、∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圓的半徑． 【答案】：(1)證明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC， ∴∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE. ∴＝. ∴∠DBC＝∠BAE. ∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，∠DEB＝∠ABE＋∠BAE, ∴∠DBE＝∠DEB. ∴DE＝DB. (2)連接CD. ∵＝，∴CD＝BD＝4. ∵∠BAC＝90°，∴BC是直徑． ∴∠BDC＝90°. ∴BC＝＝4. ∴△ABC外接圓的半徑為2. 9．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝10，連接AC，BD，以BD為直徑的圓交AC于點

14、E.若DE＝3，則AD的長為( ) A．5 B．4 C．3 D．2 提示：過點D作DF⊥AC于點F，利用△ADF∽△CAB，△DEF∽△DBA可求解． 【答案】D 10．如圖，AB是半圓的直徑，AC是一條弦，D是的中點，DE⊥AB于點E，且DE交AC于點F，DB交AC于點G.若＝，則＝_____________． 【答案】 11．如圖1是小明制作的一副弓箭，點A，D分別是弓臂BAC與弓弦BC的中點，弓弦BC＝60 cm.沿AD方向拉動弓弦的過程中，假設(shè)弓臂BAC始終保持圓弧形，弓弦不伸長．如圖2

15、，當弓箭從自然狀態(tài)的點D拉到點D1時，有AD1＝30 cm，∠B1D1C1＝120°. (1)圖2中，弓臂兩端B1，C1的距離為30cm； (2)如圖3，將弓箭繼續(xù)拉到點D2，使弓臂B2AC2為半圓，則D1D2的長為(10－10)cm. 【答案】, 12．如圖所示，AB為⊙O的直徑，CD為弦，且CD⊥AB，垂足為H. (1)如果⊙O的半徑為4，CD＝4，求∠BAC的度數(shù)； (2)若點E為的中點，連接OE，CE.求證：CE平分∠OCD； (3)在(1)的條件下，圓周上到直線AC的距離為3的點有多少個？并說明理由． 【答案】：(1)∵AB為⊙O的直徑，CD⊥AB，∴CH＝CD＝2. 在Rt△COH中，sin∠COH＝＝，∴∠COH＝60°. ∴∠BAC＝∠COH＝30°. (2)證明：∵點E是的中點，∴OE⊥AB. 又∵CD⊥AB，∴OE∥CD.∴∠ECD＝∠OEC. 又∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE. ∴∠OCE＝∠DCE，即CE平分∠OCD. (3)圓周上到直線AC的距離為3的點有2個． 因為上的點到直線AC的最大距離為2，上的點到直線AC的最大距離為6，2＜3＜6，根據(jù)圓的軸對稱性，到直線AC的距離為3的點有2個． 8