《2020年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 重難題型突破 類型三 二次函數(shù)與圖形面積問題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 重難題型突破 類型三 二次函數(shù)與圖形面積問題（8頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、類型三 二次函數(shù)與圖形面積問題
例1、如圖，已知拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C．
（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo);
（2）過點(diǎn)A作AP∥CB交拋物線于點(diǎn)P，求四邊形ACBP的面積;
（3）在軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，過M作MG軸于點(diǎn)G，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似．若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說明理由．
【解析】解：（1）令，得 解得
令，得
∴ A B C
（2）∵OA=OB=OC= ∴BAC=ACO=BCO=
∵AP∥CB， ∴PAB=
過點(diǎn)P作PE軸于E，則APE為等腰直角三角形
令O
2、E=，則PE= ∴P
∵點(diǎn)P在拋物線上 ∴
G
M
C
B
y
P
A
解得，（不合題意，舍去）
∴PE=
∴四邊形ACBP的面積=AB?OC+AB?PE=
(3)． 假設(shè)存在
∵PAB=BAC = ∴PAAC
∵M(jìn)G軸于點(diǎn)G， ∴MGA=PAC =
在Rt△AOC中，OA=OC= ∴AC=
在Rt△PAE中，AE=PE= ∴AP=
設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則M
①點(diǎn)M在軸左側(cè)時(shí)，則
(ⅰ) 當(dāng)AMG PCA時(shí)，有=
∵AG=，MG=即 解得（舍去） （舍去）
(ⅱ) 當(dāng)MAG PCA時(shí)有=
3、
即
解得：（舍去）
∴M
G
M
C
B
y
P
A
② 點(diǎn)M在軸右側(cè)時(shí)，則
(ⅰ) 當(dāng)AMG PCA時(shí)有=
∵AG=，MG=
∴
解得（舍去）
∴M
(ⅱ) 當(dāng)MAGPCA時(shí)有=
即
解得：（舍去）
∴M
∴存在點(diǎn)M，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似
M點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
例2、如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，拋物線經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D．
（1）求b,c的值；
（2）點(diǎn)E是直角三
4、角形ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)A、B除外)，過點(diǎn)E作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)F，當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下：①求以點(diǎn)Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ為頂點(diǎn)的四邊形的面積；②在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形? 若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.
【解析】解：（1）由已知得：A（-1，0） B（4，5）
∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）B(4,5)
∴
解得：b=-2 c=-3
（2）如２６題圖：∵直線AB經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0） B(4,5)
∴直線AB的解析式為：y=x+1
∵二次函數(shù)
∴
5、設(shè)點(diǎn)E(t， t+1),則F（t，）
∴EF=
=
∴當(dāng)時(shí)，EF的最大值=
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）
（3）①如２６題圖：順次連接點(diǎn)E、B、F、D得四邊形ＥＢＦＤ．
可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)（，）,點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-4）
S = S + S
=
=
②如２６題備用圖：ⅰ)過點(diǎn)E作a⊥EF交拋物線于點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)P(m,)
則有： 解得:,
∴,
ⅱ）過點(diǎn)F作b⊥EF交拋物線于，設(shè)（n，）
則有： 解得： ，（與點(diǎn)F重合，舍去）
∴
綜上所述：所有點(diǎn)P的坐標(biāo)：，（. 能使△EFP組成以EF為直角邊的
6、直角三角形．
例3、如圖,已知二次函數(shù)的圖象與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)為C（1，－2）.
（1）求此函數(shù)的關(guān)系式；
（2）作點(diǎn)C關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)D，順次連接A、C、B、D.若在拋物線上存在點(diǎn)E，使直線PE將四邊形ABCD分成面積相等的兩個(gè)四邊形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點(diǎn)F，使得△PEF是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)及△PEF的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【解析】（1）∵的頂點(diǎn)為C（1，－2），
∴，．
（2）設(shè)直線PE對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為
由題意，四邊形ACBD是菱形.
故直線PE必過菱形ACBD的
7、對(duì)稱中心M．
由P(0，－1)，M（1，0），得．從而，
設(shè)E(，)，代入，得．
解之得，，根據(jù)題意，得點(diǎn)E(3，2)
（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)F，可設(shè)F(，)．
過點(diǎn)F作FG⊥軸，垂足為點(diǎn)G.
在Rt△POM和Rt△FGP中，∵∠OMP+∠OPM=90°，∠FPG+∠OPM=90°，
∴∠OMP=∠FPG，又∠POM=∠PGF，∴△POM∽△FGP.
∴．又OM=1，OP=1，∴GP=GF，即．
解得，，根據(jù)題意，得F(1，－2)．
故點(diǎn)F(1，－2)即為所求． ．
例4、如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Q，且與軸交于點(diǎn)C
8、，與軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），點(diǎn)P是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)C沿拋物線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與A不重合），過點(diǎn)P作PD∥軸，交AC于點(diǎn)D．
(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)△ADP是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)在問題(2)的結(jié)論下，若點(diǎn)E在軸上，點(diǎn)F在拋物線上，問是否存在以A、P、E、F為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解析】解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為Q（2，－1）∴設(shè)
將C（0，3）代入上式，得
∴， 即
（2）分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)P1為直角頂點(diǎn)時(shí),點(diǎn)P1與點(diǎn)B重合(如圖)
令=0, 得
解之得,
∵點(diǎn)A在
9、點(diǎn)B的右邊, ∴B(1,0), A(3,0)∴P1(1,0)
②解:當(dāng)點(diǎn)A為△APD2的直角頂點(diǎn)是(如圖)
∵OA=OC, ∠AOC=, ∴∠OAD2=
當(dāng)∠D2AP2=時(shí), ∠OAP2=, ∴AO平分∠D2AP2
又∵P2D2∥軸, ∴P2D2⊥AO, ∴P2、D2關(guān)于軸對(duì)稱
設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為
將A(3,0), C(0,3)代入上式得
, ∴∴
∵D2在上, P2在上,
∴設(shè)D2(,), P2(,)∴()+()=0
, ∴, (舍)∴當(dāng)=2時(shí), ==－1 ∴P2的坐標(biāo)為P2(2,－1)(即為拋物線頂點(diǎn))
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為P1(1,0), P2(2,－1)
(3)解: 由題(2)知,當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1(1,0)時(shí),不能構(gòu)成平行四邊形
當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P2(2,－1)(即頂點(diǎn)Q)時(shí),
平移直線AP(如圖)交軸于點(diǎn)E,交拋物線于點(diǎn)F.
當(dāng)AP=FE時(shí),四邊形PAFE是平行四邊形
∵P(2,－1), ∴可令F(,1)∴
解之得: , ∴F點(diǎn)有兩點(diǎn),
即F1(,1), F2(,1)
8
2020年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 重難題型突破 類型三 二次函數(shù)與圖形面積問題
