2020年中考數學基礎題型提分講練 專題18 二次函數函數綜合題（含解析）

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1、專題18 二次函數綜合題 考點分析 【例1】（2019·遼寧中考真題）如圖1，在平面直角坐標系中，一次函數y＝﹣x+3的圖象與x軸交于點A，與y軸交于B點，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過A，B兩點，在第一象限的拋物線上取一點D，過點D作DC⊥x軸于點C，交直線AB于點E． （1）求拋物線的函數表達式 （2）是否存在點D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，請求出點D的坐標，若不存在，請說明理由； （3）如圖2，F是第一象限內拋物線上的動點（不與點D重合），點G是線段AB上的動點．連接DF，FG，當四邊形DEGF是平行四邊形且周長最大時，請直接寫出點G的坐標． 【答案】（1）y

2、＝﹣x2+x+3；（2）存在．點D的坐標為（，3）或（，）；（3）G（，）． 【解析】 解：（1）在中，令，得，令，得， ，， 將，分別代入拋物線中，得：，解得：， 拋物線的函數表達式為：． （2）存在．如圖1，過點作于，設，則，，； ，，，， 和相似， 或 ①當時，， ，即： ，解得：（舍去），（舍去），， ， ②當時， ， ，即： ，解得：（舍，（舍，， ，； 綜上所述，點的坐標為，或，； （3）如圖3，四邊形是平行四邊形 ， 設，，，， 則：，， ，即：， ，即： 過點作于，則 ，即： ，即： 周長 ， 當時，周長最大

3、值， ，． 【點睛】 此題考查二次函數綜合題，綜合難度較大，解答關鍵在于結合函數圖形進行計算，再利用待定系數法求解析式，配合輔助線利用相似三角形的性質進行解答. 【例2】（2019·山東中考模擬）如圖，已知直線AB經過點（0，4），與拋物線y=x2交于A，B兩點，其中點A的橫坐標是． (1）求這條直線的函數關系式及點B的坐標． (2）在x軸上是否存在點C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出點C的坐標，若不存在請說明理由． (3）過線段AB上一點P，作PM∥x軸，交拋物線于點M，點M在第一象限，點N（0，1），當點M的橫坐標為何值時，MN+3MP的長度最大？最大值是

4、多少？ 【答案】（1）直線y=x+4，點B的坐標為（8，16）；（2）點C的坐標為（﹣，0），（0，0），（6，0），（32，0）；（3）當M的橫坐標為6時，MN+3PM的長度的最大值是18． 【解析】 （1）∵點A是直線與拋物線的交點，且橫坐標為-2， ,A點的坐標為（-2，1）， 設直線的函數關系式為y=kx+b， 將（0，4），（-2，1）代入得 解得 ∴y＝x＋4 ∵直線與拋物線相交， 解得：x=-2或x=8， 當x=8時，y=16， ∴點B的坐標為（8，16）； （2）存在． ∵由A(－2，1)，B(8，16)可求得AB2＝=325 .設點C(

5、m，0)， 同理可得AC2＝(m＋2)2＋12＝m2＋4m＋5， BC2＝(m－8)2＋162＝m2－16m＋320， ①若∠BAC＝90°，則AB2＋AC2＝BC2，即325＋m2＋4m＋5＝m2－16m＋320，解得m＝－； ②若∠ACB＝90°，則AB2＝AC2＋BC2，即325＝m2＋4m＋5＋m2－16m＋320，解得m＝0或m＝6； ③若∠ABC＝90°，則AB2＋BC2＝AC2，即m2＋4m＋5＝m2－16m＋320＋325，解得m＝32， ∴點C的坐標為(－，0)，(0，0)，(6，0)，(32，0)　 （3）設M(a，a2)， 則MN＝， 又∵點

6、P與點M縱坐標相同， ∴x＋4＝a2， ∴x= ， ∴點P的橫坐標為， ∴MP＝a－， ∴MN＋3PM＝a2＋1＋3(a－)＝－a2＋3a＋9＝－ (a－6)2＋18， ∵－2≤6≤8， ∴當a＝6時，取最大值18， ∴當M的橫坐標為6時，MN＋3PM的長度的最大值是18 考點集訓 1．（2019·湖南中考真題）已知拋物線過點，兩點，與y軸交于點C，． (1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標； (2)過點A作，垂足為M，求證：四邊形ADBM為正方形； (3)點P為拋物線在直線BC下方圖形上的一動點，當面積最大時，求點P的坐標； (4)若點Q為線段O

7、C上的一動點，問：是否存在最小值？若存在，求岀這個最小值；若不存在，請說明理由． 【答案】(1)拋物線的表達式為：，頂點；(2)證明見解析；(3)點；(4)存在，的最小值為． 【解析】 (1)函數的表達式為：， 即：，解得：， 故拋物線的表達式為：， 則頂點； (2)，， ∵A(1,0)，B(3,0)，∴ OB=3，OA=1， ∴AB=2， ∴， 又∵D(2，-1)， ∴AD=BD=， ∴AM=MB=AD=BD， ∴四邊形ADBM為菱形， 又∵， 菱形ADBM為正方形； (3)設直線BC的解析式為y=mx+n， 將點B、C的坐標代入得：， 解得：，

8、 所以直線BC的表達式為：y=-x+3， 過點P作y軸的平行線交BC于點N， 設點，則點N， 則， ，故有最大值，此時， 故點； (4)存在，理由： 如圖，過點C作與y軸夾角為的直線CF交x軸于點F，過點A作，垂足為H，交y軸于點Q， 此時， 則最小值， 在Rt△COF中，∠COF=90°，∠FOC=30°，OC=3，tan∠FCO=， ∴OF=， ∴F(-，0)， 利用待定系數法可求得直線HC的表達式為：…①， ∵∠COF=90°，∠FOC=30°， ∴∠CFO=90°-30°=60°， ∵∠AHF=90°， ∴∠FAH=90°-60°=30°， ∴OQ

9、=AO?tan∠FAQ=， ∴Q(0,)， 利用待定系數法可求得直線AH的表達式為：…②， 聯立①②并解得：， 故點，而點， 則， 即的最小值為． 【點睛】 本題考查了二次函數的綜合題，涉及了待定系數法，解直角三角形的應用，正方形的判定，最值問題等，綜合性較強，有一定的難度，正確把握相關知識，會添加常用輔助線是解題的關鍵. 2．（2019·遼寧中考模擬）如圖①,已知拋物線y=ax2+bx+c的圖像經過點A（0，3)、B（1，0），其對稱軸為直線l：x=2，過點A作AC∥x軸交拋物線于點C，∠AOB的平分線交線段AC于點E，點P是拋物線上的一個動點，設其橫坐標為m.

10、（1）求拋物線的解析式； （2）若動點P在直線OE下方的拋物線上，連結PE、PO，當m為何值時，四邊形AOPE面積最大，并求出其最大值； （3）如圖②，F是拋物線的對稱軸l上的一點，在拋物線上是否存在點P使△POF成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由. 【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）當m=時，四邊形AOPE面積最大，最大值為.（3）P點的坐標為 ：P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）. 【解析】 （1）如圖1，設拋物線與x軸的另一個交點為D， 由對稱性得：D（3，0）， 設拋

11、物線的解析式為：y=a（x-1）（x-3）， 把A（0，3）代入得：3=3a， a=1， ∴拋物線的解析式；y=x2-4x+3； （2）如圖2，設P（m，m2-4m+3）， ∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°， ∴∠AOE=45°， ∴△AOE是等腰直角三角形， ∴AE=OA=3， ∴E（3，3）， 易得OE的解析式為：y=x， 過P作PG∥y軸，交OE于點G， ∴G（m，m）， ∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3， ∴S四邊形AOPE=S△AOE+S△POE， =×3×3+PG?AE， =+×3×（-m2+5m-3）， =-m2+m，

12、=（m-）2+， ∵-＜0， ∴當m=時，S有最大值是； （3）如圖3，過P作MN⊥y軸，交y軸于M，交l于N， ∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF， 易得△OMP≌△PNF， ∴OM=PN， ∵P（m，m2-4m+3）， 則-m2+4m-3=2-m， 解得：m=或， ∴P的坐標為（，）或（，）； 如圖4，過P作MN⊥x軸于N，過F作FM⊥MN于M， 同理得△ONP≌△PMF， ∴PN=FM， 則-m2+4m-3=m-2， 解得：x=或； P的坐標為（，）或（，）； 綜上所述，點P的坐標是：（，）或（，）或（，）或（，）． 點睛：本題屬于二次函

13、數綜合題，主要考查了二次函數的綜合應用，相似三角形的判定與性質以及解一元二次方程的方法，解第（2）問時需要運用配方法，解第（3）問時需要運用分類討論思想和方程的思想解決問題． 3．（2019·四川中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與直線都經過、兩點，該拋物線的頂點為C． （1）求此拋物線和直線的解析式； （2）設直線與該拋物線的對稱軸交于點E，在射線上是否存在一點M，過M作x軸的垂線交拋物線于點N，使點M、N、C、E是平行四邊形的四個頂點？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由； （3）設點P是直線下方拋物線上的一動點，當面積最大時，求點P的坐標，并求面積的最大值．

14、 【答案】（1）拋物線的解析式為，直線的解析式為，（2）或．（3）當時，面積的最大值是，此時P點坐標為． 【解析】 解：（1）∵拋物線經過、兩點， ∴， ∴， ∴拋物線的解析式為， ∵直線經過、兩點， ∴，解得：， ∴直線的解析式為， （2）∵， ∴拋物線的頂點C的坐標為， ∵軸， ∴， ∴， ①如圖，若點M在x軸下方，四邊形為平行四邊形，則， 設，則， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ②如圖，若點M在x軸上方，四邊形為平行四邊形，則， 設，則， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， 綜合可得M點的坐標為或． （3）如圖，作

15、軸交直線于點G， 設，則， ∴， ∴， ∴當時，面積的最大值是，此時P點坐標為． 【點睛】 本題是二次函數綜合題，考查了待定系數法求函數解析式，二次函數求最值問題，以及二次函數與平行四邊形、三角形面積有關的問題． 4．（2019·內蒙古中考真題）已知，如圖，拋物線的頂點為，經過拋物線上的兩點和的直線交拋物線的對稱軸于點． （1）求拋物線的解析式和直線的解析式． （2）在拋物線上兩點之間的部分（不包含兩點），是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由． （3）若點在拋物線上，點在軸上，當以點為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫出滿足條件的點的坐標．

16、 【答案】（1）拋物線的表達式為：，直線的表達式為：；（2）存在，理由見解析；點或或或． 【解析】 解：（1）二次函數表達式為：， 將點的坐標代入上式并解得：， 故拋物線的表達式為：…①， 則點， 將點的坐標代入一次函數表達式并解得： 直線的表達式為：； （2）存在，理由： 二次函數對稱軸為：，則點， 過點作軸的平行線交于點， 設點，點， ∵， 則， 解得：或5（舍去5）， 故點； （3）設點、點，， ①當是平行四邊形的一條邊時， 點向左平移4個單位向下平移16個單位得到， 同理，點向左平移4個單位向下平移16個單位為，即為點， 即：，，而， 解得

17、：或﹣4， 故點或； ②當是平行四邊形的對角線時， 由中點公式得：，，而， 解得：， 故點或； 綜上，點或或或． 【點睛】 本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到一次函數、平行四邊形性質、圖形的面積計算等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏． 5．（2019·青海中考真題）如圖1（注：與圖2完全相同），在直角坐標系中，拋物線經過點三點,,． （1）求拋物線的解析式和對稱軸； （2）是拋物線對稱軸上的一點，求滿足的值為最小的點坐標（請在圖1中探索）； （3）在第四象限的拋物線上是否存在點，使四邊形是以為對角線且面積為的平行四邊形？若存在，請求出點坐標，若不存在請說明理

18、由.（請在圖2中探索） 【答案】（1），函數的對稱軸為：；（2）點；（3）存在，點的坐標為或． 【解析】 解：根據點,的坐標設二次函數表達式為：， ∵拋物線經過點， 則，解得：， 拋物線的表達式為： ， 函數的對稱軸為：； 連接交對稱軸于點，此時的值為最小， 設BC的解析式為：， 將點的坐標代入一次函數表達式：得： 解得： 直線的表達式為：， 當時，， 故點； 存在，理由： 四邊形是以為對角線且面積為的平行四邊形， 則 ， 點在第四象限，故：則， 將該坐標代入二次函數表達式得： ， 解得：或， 故點的坐標為或． 【點睛】 本題考查二次函數綜

19、合運用，涉及到一次函數、平行四邊形性質、圖形的面積計算等，其中，求線段和的最小值，采取用的是點的對稱性求解，這也是此類題目的一般解法． 6．（2019·遼寧中考模擬）如圖，拋物線（a≠0）交x軸于A、B兩點，A點坐標為（3，0），與y軸交于點C（0，4），以OC、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點G． （1）求拋物線的解析式； （2）拋物線的對稱軸l在邊OA（不包括O、A兩點）上平行移動，分別交x軸于點E，交CD于點F，交AC于點M，交拋物線于點P，若點M的橫坐標為m，請用含m的代數式表示PM的長； （3）在（2）的條件下，連結PC，則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點P，使得

20、以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似？若存在，求出此時m的值，并直接判斷△PCM的形狀；若不存在，請說明理由． 【答案】（1）拋物線的解析式為；（2）PM=（0＜m＜3）；（3）存在這樣的點P使△PFC與△AEM相似．此時m的值為或1，△PCM為直角三角形或等腰三角形． 【解析】 解：（1）∵拋物線（a≠0）經過點A（3，0），點C（0，4）， ∴，解得． ∴拋物線的解析式為． （2）設直線AC的解析式為y=kx+b， ∵A（3，0），點C（0，4）， ∴，解得． ∴直線AC的解析式為． ∵點M的橫坐標為m，點M在AC上， ∴M點的坐標為（m，）． ∵點P的橫坐標為

21、m，點P在拋物線上， ∴點P的坐標為（m，）． ∴PM=PE－ME=（）－（）=． ∴PM=（0＜m＜3）． （3）在（2）的條件下，連接PC，在CD上方的拋物線部分存在這樣的點P，使得以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似．理由如下： 由題意，可得AE=3﹣m，EM=，CF=m，PF==， 若以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似，分兩種情況： ①若△PFC∽△AEM，則PF：AE=FC：EM，即（）：（3－m）=m：（）， ∵m≠0且m≠3，∴m=． ∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME． ∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF． 在直角△CMF中，∵∠

22、CMF+∠MCF=90°，∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°． ∴△PCM為直角三角形． ②若△CFP∽△AEM，則CF：AE=PF：EM，即m：（3－m）=（）：（）， ∵m≠0且m≠3，∴m=1． ∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME． ∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF．∴CP=CM． ∴△PCM為等腰三角形． 綜上所述，存在這樣的點P使△PFC與△AEM相似．此時m的值為或1，△PCM為直角三角形或等腰三角形． 7．（2019·貴州中考真題）如圖，拋物線C1：y＝x2﹣2x與拋物線C2：y＝ax2+bx開口大小相同、方向相反，它們相交于O，C

23、兩點，且分別與x軸的正半軸交于點B，點A，OA＝2OB． （1）求拋物線C2的解析式； （2）在拋物線C2的對稱軸上是否存在點P，使PA+PC的值最?。咳舸嬖?，求出點P的坐標，若不存在，說明理由； （3）M是直線OC上方拋物線C2上的一個動點，連接MO，MC，M運動到什么位置時，△MOC面積最大？并求出最大面積． 【答案】（1）y＝﹣x2+4x；（2）線段AC′的長度；（3）S△MOC最大值為． 【解析】 （1）令：y＝x2﹣2x＝0，則x＝0或2，即點B（2，0）， ∵C1、C2：y＝ax2+bx開口大小相同、方向相反，則a＝﹣1， 則點A（4，0），將點A的坐標代入C2

24、的表達式得： 0＝﹣16+4b，解得：b＝4， 故拋物線C2的解析式為：y＝﹣x2+4x； （2）聯立C1、C2表達式并解得：x＝0或3， 故點C（3，3）， 作點C關于C1對稱軸的對稱點C′（﹣1，3）， 連接AC′交函數C2的對稱軸與點P， 此時PA+PC的值最小為：線段AC′的長度； （3）直線OC的表達式為：y＝x， 過點M作y軸的平行線交OC于點H， 設點M（x，﹣x2+4x），則點H（x，x）， 則S△MOCMH×xC（﹣x2+4x﹣x）x2， ∵0，故x， S△MOC最大值為． 【點睛】 本題考查了待定系數法求解析式，還考查了三角形的面積，要

25、注意將三角形分解成兩個三角形求解；還要注意求最大值可以借助于二次函數． 8．（2019·山東中考真題）若二次函數的圖象與軸分別交于點、，且過點. （1）求二次函數表達式； （2）若點為拋物線上第一象限內的點，且,求點的坐標； （3）在拋物線上（下方）是否存在點，使？若存在，求出點到軸的距離；若不存在，請說明理由. 【答案】（l） ；（2）點的坐標為；（3）點到軸的距離為 . 【解析】 （l）因為拋物線過點，∴， 又因為拋物線過點， ∴ 解，得 所以，拋物線表達式為 （2）連接，設點. 則 由題意得 ∴或（舍） ∴ ∴點的坐標為.

26、 （3）設直線的表達式為，因直線過點、 ， ∴ 解，得 所以的表達式為 設存在點滿足題意，點的坐標為，過點作軸，垂足為，作軸交于點，則的坐標為，，. 又軸 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴. 在中 解得： 所以點到軸的距離為 【點睛】 本題主要考查二次函數與一次函數的綜合性問題，難度系數高,但是是中考的必考知識點,應當熟練地掌握. 9．（2019·江蘇中考模擬）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數交軸于點、，交軸于點，在軸上有一點，連接. （1）求二次函數的表達式； （2）若點為拋物線在軸負半軸上方的一個動點，求面積的最大值； （3）拋物線對稱

27、軸上是否存在點，使為等腰三角形，若存在，請直接寫出所有點的坐標，若不存在請說明理由. 【答案】（1）二次函數的解析式為；（2）當時，的面積取得最大值；（3）點的坐標為，，. 【解析】 （1）∵二次函數y=ax2+bx+c經過點A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6）， ∴， 解得：， 所以二次函數的解析式為：y=； （2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直線解析式為y=， 過點D作DN⊥x軸，交AE于點F，交x軸于點G，過點E作EH⊥DF，垂足為H，如圖， 設D（m，），則點F（m，）， ∴DF=﹣（）=， ∴S△ADE=S△ADF+S

28、△EDF=×DF×AG+DF×EH =×DF×AG+×DF×EH =×4×DF =2×（） =， ∴當m=時，△ADE的面積取得最大值為． （3）y=的對稱軸為x=﹣1，設P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求PA=，PE=，AE=，分三種情況討論： 當PA=PE時，=，解得：n=1，此時P（﹣1，1）； 當PA=AE時，=，解得：n=，此時點P坐標為（﹣1，）； 當PE=AE時，=，解得：n=﹣2，此時點P坐標為：（﹣1，﹣2）． 綜上所述：P點的坐標為：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2

29、）． 點睛：本題主要考查二次函數的綜合問題，會求拋物線解析式，會運用二次函數分析三角形面積的最大值，會分類討論解決等腰三角形的頂點的存在問題時解決此題的關鍵． 10．（2019·四川中考真題）如圖，頂點為的二次函數圖象與x軸交于點，點B在該圖象上，交其對稱軸l于點M，點M、N關于點P對稱，連接、． （1）求該二次函數的關系式． （2）若點B在對稱軸l右側的二次函數圖象上運動，請解答下列問題： ①連接，當時，請判斷的形狀，并求出此時點B的坐標． ②求證：． 【答案】（1）二次函數的關系式為；（2）①是等腰直角三角形，此時點B坐標為；②見解析 【解析】 解：（1）∵二次函數頂

30、點為 ∴設頂點式 ∵二次函數圖象過點 ∴，解得： ∴二次函數的關系式為 （2）設 ∴直線解析式為： ∵交對稱軸l于點M ∴當時， ∴ ∵點M、N關于點P對稱 ∴， ∴，即 ①∵ ∴ ∴ 解得： ∴ ∴， ∴，，B ∴， ∴是等腰直角三角形，此時點B坐標為． ②證明：如圖，設直線與x軸交于點D ∵、 設直線解析式為 ∴ 解得： ∴直線： 當時，，解得： ∴ ∵，軸 ∴垂直平分 ∴ ∴ 【點睛】 本題考查二次函數綜合，解題的關鍵是掌握待定系數法求解析式，再由題意得到等式進行計算. 11．（2019·山西中考真題）綜合與探究

31、 如圖，拋物線經過點A(-2,0)，B(4,0)兩點，與軸交于點C，點D是拋物線上一個動點，設點D的橫坐標為.連接AC，BC，DB，DC， (1)求拋物線的函數表達式； (2)△BCD的面積等于△AOC的面積的時，求的值； (3)在(2)的條件下，若點M是軸上的一個動點，點N是拋物線上一動點，試判斷是否存在這樣的點M,使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由. 【答案】(1)；(2)3；(3). 【解析】 (1)拋物線經過點A(-2,0)，B(4,0)， ∴， 解得， ∴拋物線的函數表達式為； (2)作直線

32、DE⊥軸于點E，交BC于點G，作CF⊥DE，垂足為F， ∵點A的坐標為(-2,0)，∴OA=2， 由，得，∴點C的坐標為(0,6)，∴OC=6， ∴S△OAC=， ∵S△BCD=S△AOC， ∴S△BCD =， 設直線BC的函數表達式為， 由B，C兩點的坐標得，解得， ∴直線BC的函數表達式為， ∴點G的坐標為， ∴， ∵點B的坐標為(4,0)，∴OB=4， ∵S△BCD=S△CDG+S△BDG=， ∴S△BCD =， ∴， 解得(舍)，， ∴的值為3； (3)存在，如下圖所示，以BD為邊或者以BD為對角線進行平行四邊形的構圖， 以BD為邊時，有3種情況

33、， ∵D點坐標為，∴點N點縱坐標為±， 當點N的縱坐標為時，如點N2， 此時，解得：(舍)， ∴，∴； 當點N的縱坐標為時，如點N3，N4， 此時，解得： ∴，， ∴，； 以BD為對角線時，有1種情況，此時N1點與N2點重合， ∵，D(3，)， ∴N1D=4， ∴BM1=N1D=4， ∴OM1=OB+BM1=8， ∴M1(8，0)， 綜上，點M的坐標為：. 【點睛】 本題考查的是二次函數的綜合題，涉及了待定系數法、三角形的面積、解一元二次方程、平行四邊形的性質等知識，運用了數形結合思想、分類討論思想等數學思想，熟練掌握和靈活運用相關知識是解題的關鍵. 1

34、2．（2019·四川中考真題）如圖，拋物線過點，且與直線交于B、C兩點，點B的坐標為． （1）求拋物線的解析式； （2）點D為拋物線上位于直線上方的一點，過點D作軸交直線于點E，點P為對稱軸上一動點，當線段的長度最大時，求的最小值； （3）設點M為拋物線的頂點，在y軸上是否存在點Q，使？若存在，求點Q的坐標；若不存在，請說明理由． 【答案】（1）拋物線的解析式；（2）的最小值為；（3）點Q的坐標：、． 【解析】 解：（1）將點B的坐標為代入， ， ∴B的坐標為， 將，代入， 解得，， ∴拋物線的解析式； （2）設，則， ， ∴當時，有最大值為2， 此時，

35、 作點A關于對稱軸的對稱點，連接，與對稱軸交于點P． ，此時最小， ∵， ∴， ， 即的最小值為； （3）作軸于點H，連接、、、、， ∵拋物線的解析式， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， 可知外接圓的圓心為H， ∴ 設， 則， 或 ∴符合題意的點Q的坐標：、． 【點睛】 本題考查了二次函數，熟練運用二次函數的圖象的性質與一次函數的性質以及圓周角定理是解題的關鍵． 13．（2019·湖南中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點，點，與y軸交于點C，且過點．點P、Q是拋物線上的動點． (1)求拋物線的解析式； (2)當點P在直線OD下方時，求面

36、積的最大值． (3)直線OQ與線段BC相交于點E，當與相似時，求點Q的坐標． 【答案】(1)拋物線的表達式為：；(2)有最大值，當時，其最大值為；(3)點或． 【解析】 解：(1)函數的表達式為：，將點D坐標代入上式并解得：， 故拋物線的表達式為：…①； (2)設直線PD與y軸交于點G，設點， 將點P、D的坐標代入一次函數表達式：并解得： 直線PD的表達式為：，則， ， ∵，故有最大值，當時，其最大值為； (3)∵，∴， ∵，故與相似時，分為兩種情況： ①當時， ，，， 過點A作AH⊥BC與點H， ，解得：， 則，則， 則直線OQ的表達式為：…②

37、， 聯立①②并解得：(舍去負值)， 故點 ②時， ， 則直線OQ的表達式為：…③， 聯立①③并解得：， 故點； 綜上，點或． 【點睛】 本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面積的計算等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏． 14．（2019·山東中考模擬）已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+c與坐標軸分別交于點A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），點P是線段AB上方拋物線上的一個動點． （1）求拋物線的解析式； （2）當點P運動到什么位置時，△PAB的面積有最大值？ （3）過點P作x軸的垂線，交線段AB于點D，再過點P做PE∥x軸交

38、拋物線于點E，連結DE，請問是否存在點P使△PDE為等腰直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由． 【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+2x+6；（2）當t=3時，△PAB的面積有最大值；（3）點P（4，6）． 【解析】 （1）∵拋物線過點B（6，0）、C（﹣2，0）， ∴設拋物線解析式為y=a（x﹣6）（x+2）， 將點A（0，6）代入，得：﹣12a=6， 解得：a=﹣， 所以拋物線解析式為y=﹣（x﹣6）（x+2）=﹣x2+2x+6； （2）如圖1，過點P作PM⊥OB與點M，交AB于點N，作AG⊥PM于點G， 設直線AB解析式為y=kx+b，

39、將點A（0，6）、B（6，0）代入，得： ， 解得：， 則直線AB解析式為y=﹣x+6， 設P（t，﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6， 則N（t，﹣t+6）， ∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t， ∴S△PAB=S△PAN+S△PBN =PN?AG+PN?BM =PN?（AG+BM） =PN?OB =×（﹣t2+3t）×6 =﹣t2+9t =﹣（t﹣3）2+， ∴當t=3時，△PAB的面積有最大值； （3）△PDE為等腰直角三角形， 則PE=PD， 點P（m，-m2+2m+6）， 函數的對稱軸為：x=2，則點E的橫坐標為：4-m， 則PE=|2m-4|， 即-m2+2m+6+m-6=|2m-4|， 解得：m=4或-2或5+或5-（舍去-2和5+） 故點P的坐標為：（4，6）或（5-，3-5）． 【點睛】 本題考查了二次函數的綜合問題，涉及到待定系數法、二次函數的最值、等腰直角三角形的判定與性質等，熟練掌握和靈活運用待定系數法求函數解析式、二次函數的性質、等腰直角三角形的判定與性質等是解題的關鍵.