七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 培優(yōu)新幫手 專(zhuān)題14 一次方程組試題 （新版）新人教版

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1、 14 一次方程組 閱讀與思考 一次方程組是在一元一次方程的基礎(chǔ)上展開(kāi)的，解一次方程組的基本思想是“消元”，即通過(guò)消元將一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程來(lái)解，常用的消元方法有代入法和加減法． 解一些復(fù)雜的方程組（如未知數(shù)系數(shù)較大，方程個(gè)數(shù)較多等），需觀(guān)察方程組的系數(shù)特點(diǎn)，從整體上思考問(wèn)題，運(yùn)用整體疊加、整體疊乘、輔助引元、換元等技巧． 方程組的解是方程組理論中的一個(gè)重要概念，求解法、代解法是處理方程組解的基本方法． 對(duì)于含有字母系數(shù)的二元一次方程組，總可以化為的形式，方程組的解由的取值范圍確定，當(dāng)?shù)娜≈捣秶唇o出時(shí)，須討論解的情況，基本思路是通

2、過(guò)換元，將方程組的解的討論轉(zhuǎn)化為一元一次方程解的討論． 例題與求解 【例1】 若m使方程組的解x，y的和為6，則m＝______________． (湖北黃岡市競(jìng)賽試題) 解題思路：用含m的式子分別表示x，y，利用x＋y＝6的關(guān)系式，求解m． 【例2】 若4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0（）．則代數(shù)式的值等于 ( ) A． B． C．－15 D．－13 (全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題) 解題思路：把z當(dāng)作常數(shù)，解關(guān)于x，y的方程組．

3、 【例3】 解下列方程組． （1） （“縉云杯”邀請(qǐng)賽試題） （2） （北京市競(jìng)賽試題） （3） （“華羅庚金杯”競(jìng)賽試題） 解題思路：根據(jù)方程組的特點(diǎn)，靈活運(yùn)用不同的解題方法，或脫去絕對(duì)值符號(hào)，或設(shè)元引參，或整體疊加． 【例4】 已知關(guān)于x，y的方程組分別求出a 為何值，方程組的解為： （1）有唯一一組解； （2）無(wú)解；

4、 （3）有無(wú)窮多組解． （湖北省荊州市競(jìng)賽試題） 解題思路：通過(guò)消元，將方程組的解的情況討論轉(zhuǎn)化為一元一次方程解的情況討論． 【例5】已知正數(shù)a，b，c，d，e，f滿(mǎn)足，，，， ，．求的值． （“CADIO”武漢市競(jìng)賽試題） 解題思路：利用疊乘法求出abcdef的值． 【例6】已知關(guān)于x，y的二元一次方程（a－3）x＋（2a－5）y＋6－＝0，當(dāng)a每取一個(gè)值時(shí)就有一個(gè)方程，這些方程有一個(gè)公共解． （1）求出這個(gè)公共解． （2）請(qǐng)說(shuō)明，無(wú)論a取何值，這個(gè)公共解都是二元一次方程（a－3）x＋（2a－5）y＋6－＝0的解． （2013

5、年“實(shí)中杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題） 解題思路：分別令a取兩個(gè)不同的值，可得到二元一次方程組，求出公共解． 能力訓(xùn)練 A級(jí) 1． 若是關(guān)于x，y的二元一次方程，則的值等于______. （“希望杯”邀請(qǐng)賽試題） 2． 方程組，的解為_(kāi)___________. （遼寧省中考試題） 3． 已知方程組由于甲看錯(cuò)了方程①中的a得到方程組的解為x＝－3，y＝－ 1；乙看錯(cuò)了方程②中的b得到方程組的解為x＝5，y＝4．若按正確的a，b計(jì)算，則原方程組的解為_(kāi)__________. （四川省聯(lián)賽試題） 4． 已知關(guān)于的方程有無(wú)窮多個(gè)解，則a＝ ，b＝

6、________. （“希望杯”邀請(qǐng)賽試題） 5．已知，則有( )． A. x＝2，y＝3 B. x＝－6，y＝3 C. x＝3，y＝6 D. x＝－3，y＝6 6．如果方程組的解也是方程4x＋y＋2a＝0的解，那么a的值是 ( )． A. B. C. －2 D. 2 7．設(shè)非零實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足，則的值為( )． A.

7、 B.0 C. D. 1 （2013年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題） 8．若方程組的解為則方程組 的解為( )． A. B. C. D． （山東省棗莊市中考試題） 9．已知關(guān)于x，y的方程組的解x，y的值的和為6，求k的值． （上海市競(jìng)賽試題） 10．解方程組． （1） （云南省昆明市競(jìng)賽試題） （2） （浙江省競(jìng)賽試題） （3） 11．若~(yú)滿(mǎn)足下列方程組

8、 ，求的值． （美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題） B級(jí) 1．已知對(duì)任意有理數(shù)a，b，關(guān)于x，y的二元一次方程有一組公共解， 則公共解為_(kāi)_____. （江蘇省競(jìng)賽試題） 2．設(shè)，則3x－2y＋z＝ ． （2013年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題） 3．若關(guān)于x，y的方程組有自然數(shù)解，則整數(shù)m可能的值是 ． （2013年浙江省湖州市競(jìng)賽試題） 4． 已知方程組，當(dāng)a ，b 時(shí)，方程組有唯一一組解；當(dāng) a ，b 時(shí)，方程組無(wú)解；當(dāng)a ，

9、b 時(shí)，方程組有無(wú)數(shù)組解． （“漢江杯”競(jìng)賽試題） 5．“△”表示一種運(yùn)算符號(hào)，其意義是a△b＝2a－b，如果x△（1△3）＝2，則x＝ ( )． A.1 B. C. D．2 （江蘇省競(jìng)賽試題） 6．已知，則的值為( )． A.1 B. C. D． （重慶市競(jìng)賽試題） 7．已知關(guān)于x，y的兩個(gè)方程組和具有相同的解，那么a，b的值是(

10、 )． A. B. C. D． 8．若a，c，d是整數(shù)，b是正整數(shù)，且滿(mǎn)足a＋b＝c，b＋c＝d，c＋d＝a，則a＋b＋c＋d的最大值是( )． A. －1 B. －5 C.0 D．1 （全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題） 9．解方程組 （1） （江蘇省競(jìng)賽試題） （2） （上海市競(jìng)賽試題） 10．已知，，，求的值． （山西省太原市數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題） 11．已知，，，…，中

11、每一個(gè)數(shù)值只能?。?，0，1中的一個(gè)，且滿(mǎn)足求的值＋＋＋…＋＝－17，＋＋＋…＋＝37．求＋＋…＋的值． （“華羅庚金杯”邀請(qǐng)賽試題） 12．已知k是滿(mǎn)足的整數(shù)，并且使二元一次方程組有整數(shù)解，問(wèn)：這樣的整數(shù)k有多少個(gè)？ （“華羅庚金杯”邀請(qǐng)賽試題） 專(zhuān)題14 一次方程組 例1 8 ②一①得3y=m-2，∴．①×2+②得3x=4+m，∴．又由x+y=6得+=6，解得m=8. 例2 D 提示：由題意知得代入原式中，得. 例3 （1），提示：令，則x=4k,y=5k,z=6k. (2) ,提示：將方程分別相加、相減

12、得x+y=3,x-y=-1. （3）由題意可設(shè)x1=x3=x5=…=x1999=A,x2=x4=x6=…=x1998=B，則 解得A=1 000，B=- 999，即xl= x3 =x5=…=x1999=1 000,x2 =x4 =x6=…=x1998=-999. 例4提示：由方程組得 (1)當(dāng)（a-2）(a+1)≠o，即a≠2且a≠-l時(shí)，原方程組有唯一解； (2)當(dāng)(a-2) (a+l) =0且(a-2) (a+2)與a-2中至少有一個(gè)不為0時(shí)，方程組無(wú)解，故當(dāng)a= -1時(shí)，原方程組無(wú)解； (3)當(dāng)(a-2)(a+l)=(a-2)(n+

13、2)=（a-2)=0, 即a=2時(shí)，原方程組有無(wú)數(shù)組解． 例5提示：依題意可得(abcdef)4=1即abcdef=1，從而，故，同理可得,,,, ，那么 例6 (1)分別令a取兩個(gè)不同的值，可得到二元一次方程組，解出公共解為． (2)把(a- 3)x+(2a-5)y+6-a=0可變形為(x+ 2y -1)a- 3x - 5y+6=0．依題意可得 ,解得. ∴無(wú)論a取何值，這個(gè)公共解都是二元一次方程(a-3)x+(2a-5)y+6-a=0的解． A級(jí) 1. 2. 3. 4. 2 1 5．C 6．B 7．A 提示：由已知得

14、a+b+c=(2a+3b+4c)-(a+2b+3c) =0，故(a+b+c)2=0，于是ab+bc+ca，則原式的值為． 8. C 提示：依題中方程組知解得 9. 5 提示：． 10. (1) (2) 提示：設(shè)，. (3) ,, 11. 181 提示：將各個(gè)方程相加得x1+x2 +x3 +x4+x5 ＝31． B級(jí) 1. 提示：由a(x－y－1)－b(x＋y＋1)＝0知 2. 10 提示：3x－2y＋z＝2(2x＋y＋3z)－(x＋4y＋5z)＝2×23－36＝46－36＝10 3. －1，0，1，4 提示：把y＝3x代入6x＋m y＝18

15、中得6x＋3my＝18, 整理得x＝，又因?yàn)閤，y為自然數(shù)，故符合條件的m取值為－1，0，1，4。 4. 2 為任意有理數(shù) ＝2 5 ＝2 ＝5 5. B 6. B 提示：運(yùn)用奇數(shù)、偶數(shù)性質(zhì)分析。 7. B 提示：由得方程組的解為 8. B 提示：由條件得a＝－3b, c＝－2b, d＝－b 9. (1) 提示：當(dāng)xy0時(shí)，＝＋，當(dāng)xy0時(shí)， ＝ （2）a＝, b＝, c＝3, d＝1, e＝4, a＝－, b＝－, c＝－3, d＝－1, e＝－4 提示：由方程組得abcde＝144. 10．由題意三個(gè)式子可變形得①＋②＋③得則，故 11．設(shè)有P個(gè)x取1，q個(gè)x?。?． 則有解得所以原式＝1×13＋9×(－2)3＝－71． 12．由題中條件得設(shè) 消去k得5m＋4n＝7，解得從而得k＝22＋41t． 由1910＜22＋41t＜2010，得，故共有2個(gè)k值使原方程組有整數(shù)解． 11