2019-2020學年高二數(shù)學上學期期末復習備考黃金30題-專題06-大題易丟分(20題)蘇教版

2019-2020學年高二數(shù)學上學期期末復習備考黃金30題 專題06 大題易丟分（20題）蘇教版 1.已知，且，設命題p：函數(shù)在上單調遞減；命題q：函數(shù) 在上為增函數(shù)， （1）若“p且q”為真，求實數(shù)c的取值范圍 （2）若“p且q”為假，“p或q”為真，求實數(shù)c的取值范圍． 【答案】（1）；（2） （2）∵c>0且c≠1，∴ p: c>1, q： 且c≠1. 又∵“p或q”為真，“p且q”為假，∴p真q假或p假q真． 當p真，q假時，{c|0<c<1}∩{c | ，且c≠1}＝{c| <c<1}． 當p假，q真時，{c|c>1}∩{c|0<c≤ }＝?. 綜上所述，實數(shù)c的取值范圍是{c| <c<1}． 2．已知集合是函數(shù)的定義域，集合是不等式（）的解集， ： ， ： . （1）若，求實數(shù)的取值范圍； （2）若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍. 【答案】(1) ；(2) . （2）易得： ： 或， ∵是的充分不必要條件， ∴是的真子集 則，解得： ∴的取值范圍為： 點睛：本題考查了函數(shù)定義域的求法，考查了一元二次不等式的解法，考查了數(shù)學轉化思想方法，解答的關鍵是對區(qū)間端點值的比較，是中檔題． 3.已知，向量，向量，集合． （1）判斷“”是“”的什么條件； （2）設命題：若，則．命題：若集合的子集個數(shù)為2，則．判斷，， 的真假，并說明理由． 【答案】 （1）充分不必要條件.（2）為真命題為假命題為真命題. 4．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，側棱底面，且側棱的長是，點分別是的中點. （Ⅰ）證明： 平面； （Ⅱ）求三棱錐的體積. 【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ） . 【解析】試題分析：（Ⅰ）連結，通過勾股定理計算可知，由三線合一得出平面；（Ⅱ）根據(jù)中位線定理計算得出是（Ⅱ）側棱底面, 面 由（Ⅱ）知： 平面,是三棱錐到平面的距離 分別是的中點, ， , 四邊形是邊長為的正方形， 是的中點 三角形是等邊三角形 5．如圖所示，直三棱柱中， ， ， 為棱的中點. （Ⅰ）探究直線與平面的位置關系，并說明理由； （Ⅱ）若，求三棱錐的體積. 【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）. 因為平面， 平面，所以平面. （Ⅱ）易知平面，由（Ⅰ）可知， 平面. 所以點到平面的距離等于點到平面的距離， 所以.因為， 所以， 故三棱錐的體積為. 6．如圖，在三棱錐中， ， 底面， ，且. （1）若為上一點，且，證明:平面平面. （2）若為棱上一點，且平面，求三棱錐的體積. 【答案】（1）見解析；（2） 7．如圖，在三棱柱中， 底面， ， ， ， 是棱上一點． （I）求證： ． （II）若， 分別是， 的中點，求證： ∥平面． （III）若二面角的大小為，求線段的長 【答案】（I）見解析（II）見解析（III） （II）連接交于點． ∵四邊形是平行四邊形， ∴是的中點． 又∵， 分別是， 的中點， ∴，且， ∴四邊形是平行四邊形， ∴． 又平面， 面， ∴平面． （III）∵，且平面， ∴， ， 兩兩垂直。 以為原點， ， ， 分別為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標系． 設，則， ， ， ， 8．如圖，直三棱柱 中， , , 是棱上的動點. 證明： ； 若平面分該棱柱為體積相等的兩個部分，試確定點的位置，并求二面角的大小. 【答案】（1）見解析（2）30° (II) , 依題意, 為中點； （法1）取的中點,過點作于點，連接 ,面面面 ,得點與點重合，且是二面角的平面角. 設，則,得二面角的大小為30°. （法2）以為空間坐標原點， 為軸正向、為軸正向、為軸正向，建立空間直角坐標系，設的長為 1，則. 作中點，連結，則，從而平面，平面的一個法向量 設平面的一個法向量為，則 ，令，得， 故二面角為30°. 點睛：(1)探索性問題通常用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化.其步驟為假設滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設出，列出關于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實數(shù)解，則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在.(2)反證法與驗證法也是求解探索性問題常用的方法. 9．已知坐標平面上點與兩個定點， 的距離之比等于5. （1）求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形； （2）記（1）中的軌跡為，過點的直線被所截得的線段的長為 8，求直線的方程. 【答案】（1）（2），或． 10．已知圓的圓心在直線上，且與另一條直線相切于點. （1）求圓的標準方程； （2）已知，點在圓上運動，求線段的中點的軌跡方程. 【答案】(1) 圓C的方程為（x﹣1）2+（y+2）2=2;(2) （x﹣3）2+（y﹣1）2=. 【解析】試題分析：（1）由題意可知所求圓的圓心在經(jīng)過點，且與直線垂直的直線上，又所求圓的圓心在直線上，解方程組求出圓心，求出半徑，即的長，可得圓的方程； （2）設，則有代入圓 即可得到線段的中點的軌跡方程. 試題解析：（1）設圓C的方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2， 根據(jù)題意得：， 解得：， 則圓C的方程為（x﹣1）2+（y+2）2=； （2）設M（x，y），B（x0，y0），則有代入圓C方程得：（2x﹣5）2+（2y﹣4）2=8，化簡得（x﹣3）2+（y﹣1）2= 11．已知與曲線相切的直線，與軸， 軸交于兩點， 為原點， ， ，（ ）. （1）求證:： 與相切的條件是： . （2）求線段中點的軌跡方程； （3）求三角形面積的最小值. 【答案】（1）見解析；（2）；（3）． 即， ． (2)線段AB中點為 ∴（） (3) ， ， 解得， ， ， 最小面積． 點睛：本題考查了軌跡方程，考查了直線和圓位置關系的判斷，點到直線的距離公式的用法，解題的關鍵是對等式進行靈活變換，利用基本不等式求函數(shù)的最值. 12．已知動圓：與圓：交于 、兩點，且這兩點平分圓的圓周．　 （1）求動圓的圓心的軌跡方程； （2）求圓半徑最小時的方程． 【答案】（1）；（2）. ∵， ∴（*） 故動圓圓心的軌跡方程為． （2）由（*）式，知， 于是有， 而圓半徑， ∴當時，，， 所求圓的方程為． 13．已知橢圓的右焦點為，離心率為. （1）若，求橢圓的方程； （2）設直線與橢圓相交于兩點， 分別為線段的中點，若坐標原點在以為直徑的圓上，且，求的取值范圍. 【答案】(1) ;(2) . ∴. ∴橢圓的方程為. 點睛： 在圓錐曲線中研究最值或范圍問題時，若題目的條件和結論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下方面考慮： ①利用判別式來構造不等關系，從而確定參數(shù)的取值范圍； ②利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的關鍵是在兩個參數(shù)之間建立等量關系； ③利用隱含或已知的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍. 14．已知橢圓（）的離心率為，且過點. （1）求橢圓的方程； （2）若直線（）與橢圓交于兩點，記直線的斜率分別為，試探究是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由. 【答案】(1) (2) 為定值，該定值為0 （2），下面給出證明：設， ， 將代入并整理得， ，解得，且 故， ， 則， 分子= ， 故為定值，該定值為0. 15．已知圓： 過圓上任意一點向軸引垂線垂足為（點、可重合），點為的中點. （1）求的軌跡方程； （2）若點的軌跡方程為曲線，不過原點的直線與曲線交于、兩點，滿足直線， ， 的斜率依次成等比數(shù)列，求面積的取值范圍. 【答案】（1）；（2）面積的取值范圍為. （2）由題意可知，直線的斜率存在且不為，故可設直線的方程為（），， ， 由消去得 則 ，且， . 故 因為直線， ， 的斜率依次成等比數(shù)列， 即，又，所以，即. 由于直線， 的斜率存在，且，得且，設為到直線的距離， ， 則，所以面積的取值范圍為. 點睛： 在圓錐曲線中研究最值或范圍問題時，若題目的條件和結論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下方面考慮： ①利用判別式來構造不等關系，從而確定參數(shù)的取值范圍； ②利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的關鍵是在兩個參數(shù)之間建立等量關系； ③利用隱含或已知的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍 16．設點，動圓經(jīng)過點且和直線相切，記動圓的圓心的軌跡為曲線. （1）求曲線的方程； （2）設曲線上一點的橫坐標為，過的直線交于另一點，交軸于點，過點作的垂線交于另一點.若是的切線，求的最小值. 【答案】(1) ；(2) . 即： ， ， 解得： ，或. ∴ ∴ . 而拋物線在點處切線斜率： ， 是拋物線的切線， ∴， 整理得， ∴，解得 (舍去)，或，∴. 17．已知橢圓中心在坐標原點,焦點在坐標軸上,且經(jīng)過三點. (1)求橢圓的方程; (2)在直線上任取一點,連接,分別與橢圓交于兩點,判斷直線是否過定點?若是,求出該定點.若不是,請說明理由. 【答案】（1）；（2） （2）直線，直線，聯(lián)立得，所以，故，代入得到，因此.同理.取， 當時， ， ，所以三點共線； 當時， ， 三點共線； 綜上， 三點共線也就是過定點. 點睛：直線與圓錐曲線的位置關系中，如果已知動直線過定點且與圓錐曲線有另一個交點，那么通過韋達定理可以求出另一個交點的坐標并用斜率表示它，從而考慮與該點相關的一些定點定值問題.另外，我們用先猜后證的策略考慮定點定值問題，因此這樣可以使得代數(shù)式變形化簡的目標更明確. 18．已知橢圓的短軸端點和焦點組成的四邊形為正方形，且橢圓過點． （1）求橢圓的標準方程； （2）四邊形的頂點都在橢圓上，且對角線、過原點，若，求證：四邊形的面積為定值． 【答案】(1) ;(2)見解析. 試題解析： （1）由題意， ，又，解得， ， 所以橢圓的標準方程為． （2）設直線的方程為，設， ， 聯(lián)立得， ， ， ， ∵，∴，∴ ， ， ∴，∴，∴， 設原點到直線的距離為，則 ， ∴，即四邊形的面積為定值． 19．已知拋物線的焦點為，準線與軸的交點為，過點的直線與拋物線相交于不同的兩點. （1）若，求直線的方程； （2）記的斜率分別為，試問： 的值是否隨直線位置的變化而變化？證明你的結論. 【答案】（1）；（2）的值不隨直線的變化而變化，證明見解析. 試題解析： （1）∵且直線斜率存在，∴可設， 代入得： ，令， 設，∴， ∴ ， ∵，∴， ∴ （2）∵，∴ ， ∴的值不隨直線的變化而變化. 點睛：本題主要考查了直線與拋物線位置關系的綜合應用，其中解答中涉及到直線與圓錐曲線的弦長公式，以及二元一次方程中根與系數(shù)的關系等關系的應用，著重考查了推理與論證能力，以及轉化與化歸思想，試題綜合性強，屬于中檔試題，解答中把直線與圓錐曲線問題轉化為方程的根與系數(shù)的關系是解答的關鍵. 20．已知拋物線在第一象限內的點到焦點的距離為． （1）若，過點, 的直線與拋物線相交于另一點，求的值； （2）若直線與拋物線相交于兩點，與圓相交于兩點， 為坐標原點， ，試問：是否存在實數(shù)，使得的長為定值？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由． 【答案】（1）；（2）時， ， 的長為定值． （2）設直線的方程為，代入拋物線方程可得， 設 ，則， ，① 由得： ， 整理得，② 將①代入②解得，∴直線， ∵圓心到直線l的距離，∴， 顯然當時， ， 的長為定值． 點睛：本題主要考查了拋物線的性質，直線與拋物線的位置關系，直線與圓的位置關系，難度中檔；拋物線上點的特征，拋物線上任意一點到焦點的距離和到準線的距離相等，即為，兩直線垂直即可轉化為斜率也可轉化為數(shù)量積為0，直線與圓相交截得的弦長的一半，圓的半徑以及圓心到直線的距離可構成直角三角形.