3、判斷，，
的真假，并說明理由．
【答案】
（1）充分不必要條件.（2）為真命題為假命題為真命題.
4．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，側(cè)棱底面，且側(cè)棱的長是，點分別是的中點.
（Ⅰ）證明： 平面；
（Ⅱ）求三棱錐的體積.
【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ） .
【解析】試題分析：（Ⅰ）連結(jié)，通過勾股定理計算可知，由三線合一得出平面；（Ⅱ）根據(jù)中位線定理計算得出是（Ⅱ）側(cè)棱底面, 面
由（Ⅱ）知： 平面,是三棱錐到平面的距離
分別是的中點, ， ,
四邊形是邊長為的正方形， 是的中點
三角形是等邊三角形
5．如圖所示，
4、直三棱柱中， ， ， 為棱的中點.
（Ⅰ）探究直線與平面的位置關(guān)系，并說明理由；
（Ⅱ）若，求三棱錐的體積.
【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）.
因為平面， 平面，所以平面.
（Ⅱ）易知平面，由（Ⅰ）可知， 平面.
所以點到平面的距離等于點到平面的距離，
所以.因為，
所以，
故三棱錐的體積為.
6．如圖，在三棱錐中， ， 底面， ，且.
（1）若為上一點，且，證明:平面平面.
（2）若為棱上一點，且平面，求三棱錐的體積.
【答案】（1）見解析；（2）
7．如圖，在三棱柱中， 底面， ， ， ， 是棱上一點．
（I）求證： ．
（II）若，
5、 分別是， 的中點，求證： ∥平面．
（III）若二面角的大小為，求線段的長
【答案】（I）見解析（II）見解析（III）
（II）連接交于點．
∵四邊形是平行四邊形，
∴是的中點．
又∵， 分別是， 的中點，
∴，且，
∴四邊形是平行四邊形，
∴．
又平面， 面，
∴平面．
（III）∵，且平面，
∴， ， 兩兩垂直。
以為原點， ， ， 分別為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標系．
設(shè)，則， ， ， ，
8．如圖，直三棱柱 中， , , 是棱上的動點.
證明： ；
若平面分該棱柱為體積相等的兩個部分，試確定點的位置，并求二面角的大小.
【答案】（
6、1）見解析（2）30°
(II) ,
依題意,
為中點；
（法1）取的中點,過點作于點，連接
,面面面
,得點與點重合，且是二面角的平面角.
設(shè)，則,得二面角的大小為30°.
（法2）以為空間坐標原點， 為軸正向、為軸正向、為軸正向，建立空間直角坐標系，設(shè)的長為 1，則.
作中點，連結(jié)，則，從而平面，平面的一個法向量
設(shè)平面的一個法向量為，則
，令，得，
故二面角為30°.
點睛：(1)探索性問題通常用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化.其步驟為假設(shè)滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實數(shù)解，則
7、元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在.(2)反證法與驗證法也是求解探索性問題常用的方法.
9．已知坐標平面上點與兩個定點， 的距離之比等于5.
（1）求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形；
（2）記（1）中的軌跡為，過點的直線被所截得的線段的長為 8，求直線的方程.
【答案】（1）（2），或．
10．已知圓的圓心在直線上，且與另一條直線相切于點.
（1）求圓的標準方程；
（2）已知，點在圓上運動，求線段的中點的軌跡方程.
【答案】(1) 圓C的方程為（x﹣1）2+（y+2）2=2;(2) （x﹣3）2+（y﹣1）2=.
【解析】試題分析
8、：（1）由題意可知所求圓的圓心在經(jīng)過點，且與直線垂直的直線上，又所求圓的圓心在直線上，解方程組求出圓心，求出半徑，即的長，可得圓的方程；
（2）設(shè)，則有代入圓 即可得到線段的中點的軌跡方程.
試題解析：（1）設(shè)圓C的方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，
根據(jù)題意得：，
解得：，
則圓C的方程為（x﹣1）2+（y+2）2=；
（2）設(shè)M（x，y），B（x0，y0），則有代入圓C方程得：（2x﹣5）2+（2y﹣4）2=8，化簡得（x﹣3）2+（y﹣1）2=
11．已知與曲線相切的直線，與軸， 軸交于兩點， 為原點， ， ，（ ）.
（1）求證:： 與相切的條件是： .
（2）
9、求線段中點的軌跡方程；
（3）求三角形面積的最小值.
【答案】（1）見解析；（2）；（3）．
即，
．
(2)線段AB中點為
∴（）
(3) ，
，
解得， ，
，
最小面積．
點睛：本題考查了軌跡方程，考查了直線和圓位置關(guān)系的判斷，點到直線的距離公式的用法，解題的關(guān)鍵是對等式進行靈活變換，利用基本不等式求函數(shù)的最值.
12．已知動圓：與圓：交于 、兩點，且這兩點平分圓的圓周．
（1）求動圓的圓心的軌跡方程；
（2）求圓半徑最小時的方程．
【答案】（1）；（2）.
∵，
∴（*）
故動圓圓心的軌跡方程為．
（2）由（*）式，知，
10、
于是有，
而圓半徑，
∴當時，，，
所求圓的方程為．
13．已知橢圓的右焦點為，離心率為.
（1）若，求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線與橢圓相交于兩點， 分別為線段的中點，若坐標原點在以為直徑的圓上，且，求的取值范圍.
【答案】(1) ;(2) .
∴.
∴橢圓的方程為.
點睛： 在圓錐曲線中研究最值或范圍問題時，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下方面考慮：
①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；
②利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)
11、的范圍，解這類問題的關(guān)鍵是在兩個參數(shù)之間建立等量關(guān)系；
③利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.
14．已知橢圓（）的離心率為，且過點.
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線（）與橢圓交于兩點，記直線的斜率分別為，試探究是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.
【答案】(1) (2) 為定值，該定值為0
（2），下面給出證明：設(shè)， ，
將代入并整理得，
，解得，且
故， ，
則，
分子=
，
故為定值，該定值為0.
15．已知圓： 過圓上任意一點向軸引垂線垂足為（點、可重合），點為的中點.
（1）求的軌跡方程；
（2）若點的
12、軌跡方程為曲線，不過原點的直線與曲線交于、兩點，滿足直線， ， 的斜率依次成等比數(shù)列，求面積的取值范圍.
【答案】（1）；（2）面積的取值范圍為.
（2）由題意可知，直線的斜率存在且不為，故可設(shè)直線的方程為（），， ，
由消去得
則 ，且， .
故
因為直線， ， 的斜率依次成等比數(shù)列，
即，又，所以，即.
由于直線， 的斜率存在，且，得且，設(shè)為到直線的距離， ，
則，所以面積的取值范圍為.
點睛： 在圓錐曲線中研究最值或范圍問題時，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下方面考慮：
13、
①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；
②利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的關(guān)鍵是在兩個參數(shù)之間建立等量關(guān)系；
③利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍
16．設(shè)點，動圓經(jīng)過點且和直線相切，記動圓的圓心的軌跡為曲線.
（1）求曲線的方程；
（2）設(shè)曲線上一點的橫坐標為，過的直線交于另一點，交軸于點，過點作的垂線交于另一點.若是的切線，求的最小值.
【答案】(1) ；(2) .
即： ， ，
解得： ，或.
∴
∴ .
而拋物線在點處切線斜率： ，
是拋物線的切線， ∴，
整理得，
∴，解得 (舍去)，或，∴.
14、
17．已知橢圓中心在坐標原點,焦點在坐標軸上,且經(jīng)過三點.
(1)求橢圓的方程;
(2)在直線上任取一點,連接,分別與橢圓交于兩點,判斷直線是否過定點?若是,求出該定點.若不是,請說明理由.
【答案】（1）；（2）
（2）直線，直線，聯(lián)立得，所以，故，代入得到，因此.同理.取，
當時， ， ，所以三點共線；
當時， ， 三點共線；
綜上， 三點共線也就是過定點.
點睛：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中，如果已知動直線過定點且與圓錐曲線有另一個交點，那么通過韋達定理可以求出另一個交點的坐標并用斜率表示它，從而考慮與該點相關(guān)的一些定點定值問題.另外，我們用先猜后證的策略考慮定點定值
15、問題，因此這樣可以使得代數(shù)式變形化簡的目標更明確.
18．已知橢圓的短軸端點和焦點組成的四邊形為正方形，且橢圓過點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）四邊形的頂點都在橢圓上，且對角線、過原點，若，求證：四邊形的面積為定值．
【答案】(1) ;(2)見解析.
試題解析：
（1）由題意， ，又，解得， ，
所以橢圓的標準方程為．
（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)， ，
聯(lián)立得，
，
， ，
∵，∴，∴ ，
，
∴，∴，∴，
設(shè)原點到直線的距離為，則
，
∴，即四邊形的面積為定值．
19．已知拋物線的焦點為，準線與軸的交點為，過點的直線與拋物線相交
16、于不同的兩點.
（1）若，求直線的方程；
（2）記的斜率分別為，試問： 的值是否隨直線位置的變化而變化？證明你的結(jié)論.
【答案】（1）；（2）的值不隨直線的變化而變化，證明見解析.
試題解析：
（1）∵且直線斜率存在，∴可設(shè)，
代入得： ，令，
設(shè)，∴，
∴
，
∵，∴，
∴
（2）∵，∴
，
∴的值不隨直線的變化而變化.
點睛：本題主要考查了直線與拋物線位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，其中解答中涉及到直線與圓錐曲線的弦長公式，以及二元一次方程中根與系數(shù)的關(guān)系等關(guān)系的應(yīng)用，著重考查了推理與論證能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸思想，試題綜合性強，屬于中檔試題，解答中把直線與圓錐曲線問題轉(zhuǎn)
17、化為方程的根與系數(shù)的關(guān)系是解答的關(guān)鍵.
20．已知拋物線在第一象限內(nèi)的點到焦點的距離為．
（1）若，過點, 的直線與拋物線相交于另一點，求的值；
（2）若直線與拋物線相交于兩點，與圓相交于兩點， 為坐標原點， ，試問：是否存在實數(shù)，使得的長為定值？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；（2）時， ， 的長為定值．
（2）設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程可得，
設(shè) ，則， ，①
由得： ，
整理得，②
將①代入②解得，∴直線，
∵圓心到直線l的距離，∴，
顯然當時， ， 的長為定值．
點睛：本題主要考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，難度中檔；拋物線上點的特征，拋物線上任意一點到焦點的距離和到準線的距離相等，即為，兩直線垂直即可轉(zhuǎn)化為斜率也可轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0，直線與圓相交截得的弦長的一半，圓的半徑以及圓心到直線的距離可構(gòu)成直角三角形.
2019-2020學年高二數(shù)學上學期期末復習備考黃金30題-專題06-大題易丟分(20題)蘇教版
