云南省2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第三章 函數(shù) 第五節(jié) 二次函數(shù)綜合題 課時(shí)2 二次函數(shù)與幾何圖形綜合題同步訓(xùn)練

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1、 課時(shí)2 二次函數(shù)與幾何圖形綜合題 姓名:________ 班級(jí):________ 限時(shí):______分鐘 面積問題 1.(2018·黃岡)已知直線l:y=kx+1與拋物線y=x2-4x. (1)求證:直線l與該拋物線總有兩個(gè)交點(diǎn); (2)設(shè)直線l與該拋物線兩交點(diǎn)為A,B,O為原點(diǎn),當(dāng)k=-2時(shí),求△OAB的面積. 2.(2018·陜西)已知拋物線L:y=x2+x-6與x軸相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),并與y軸相交于點(diǎn)C. (1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo),并求△ABC的面積; (2)將拋物線L向左或向右平移

2、,得到拋物線L′,且L′與x軸相交于A′、B′兩點(diǎn)(點(diǎn)A′在點(diǎn)B′的左側(cè)),并與y軸相交于點(diǎn)C′,要使△A′B′C′和△ABC的面積相等,求所有滿足條件的拋物線的函數(shù)表達(dá)式. 3.(2018·徐州)已知二次函數(shù)的圖象以A(-1,4)為頂點(diǎn),且過點(diǎn)B(2, -5). (1)求該函數(shù)的關(guān)系式; (2)求該函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo); (3)將該函數(shù)圖象向右平移,當(dāng)圖象經(jīng)過原點(diǎn)時(shí),A,B兩點(diǎn)隨圖象移至A′,B′,求△OA′B′的面積. 4.(2018·溫

3、州)如圖,拋物線y=ax2+bx(a≠0)交x軸正半軸于點(diǎn)A,直線y=2x經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)M.已知該拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2,交x軸于點(diǎn)B. (1)求a,b的值; (2)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn),且在對(duì)稱軸的右側(cè),連接OP,BP.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,△OBP的面積為S,記K=,求K關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式及K的范圍. 角度問題 5.(2018·廣東省卷)如圖,已知頂點(diǎn)為C(0,-3)的拋物線y=ax2+b(a≠0)與x軸交于A,B兩點(diǎn),直線y=x+m過頂點(diǎn)C和點(diǎn)B. (1)求m的值; (2)求函數(shù)y=ax2+b(a≠0)的

4、解析式; (3)拋物線上是否存在點(diǎn)M,使得∠MCB=15°?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由. 6.(2018·天津)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O(0,0),點(diǎn)A(1,0).已知拋物線y=x2+mx-2m(m是常數(shù)),頂點(diǎn)為P. (1)當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),求頂點(diǎn)P的坐標(biāo); (2)若點(diǎn)P在x軸下方,當(dāng)∠AOP=45°時(shí),求拋物線的解析式; (3)無論m取何值,該拋物線都經(jīng)過定點(diǎn)H.當(dāng)∠AHP=45°時(shí),求拋物線的解析式. 特殊圖形存在性問題 7.(2018

5、·山西)綜合與探究 如圖,拋物線y=x2-x-4與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,連接AC,BC.點(diǎn)P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,過點(diǎn)P作PM⊥x軸,垂足為點(diǎn)M,PM交BC于點(diǎn)Q,過點(diǎn)P作PE∥AC交x軸于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F. (1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo); (2)試探究在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中,是否存在這樣的點(diǎn)Q,使得以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.若存在,請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由; (3)請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示線段QF的長,并求出m為何值時(shí)QF有最大值. 8.(2018·臨沂)

6、如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,∠ACB=90°,OC=2OB,tan∠ABC=2,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A,B兩點(diǎn). (1)求拋物線的解析式; (2)點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一點(diǎn),過點(diǎn)P作PD垂直x軸于點(diǎn)D,交線段AB于點(diǎn)E,使PE=DE. ①求點(diǎn)P的坐標(biāo); ②在直線PD上是否存在點(diǎn)M,使△ABM為直角三角形?若存在,求出符合條件的所有點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在.請(qǐng)說明理由. 參考答案 1.解:(1)證明: 聯(lián)立 化簡可得x2-(4+k)x-1=0, ∴Δ=(4+k)2+4>0, 故直線l與該拋物線

7、總有兩個(gè)交點(diǎn); (2)解: 當(dāng)k=-2時(shí),y=-2x+1. 如解圖,過點(diǎn)A作AF⊥x軸于點(diǎn)F,過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E, ∴聯(lián)立解得或, ∴A(1-,2-1),B(1+,-1-2), ∴AF=2-1,BE=1+2. 易求得直線y=-2x+1與x軸的交點(diǎn)C為(,0), ∴OC=, ∴S△OAB=S△AOC+S△BOC=OC·AF+OC·BE=OC·(AF+BE)=××(2-1+1+2)=. 2.解:(1)令y=0,得x2+x-6=0, 解得x=-3或x=2, ∴A(-3,0),B(2,0). 令x=0,得y=-6, ∴C(0,-6), ∴AB=5,OC=6, ∴S△

8、ABC=AB·OC=×5×6=15; (2)由題意,得A′B′=AB=5. 要使S△A′B′C′=S△ABC,只要拋物線L′與y軸交點(diǎn)為C′(0,-6)或C′(0,6)即可. 設(shè)所求拋物線L′:y=x2+mx+6,y=x2+nx-6. 又知,拋物線L′與拋物線L的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)相同, ∴=,=, 解得m=±7,n=±1(n=1舍去). ∴拋物線L′:y=x2+7x+6或y=x2-7x+6或y=x2-x-6.  3.解:(1)設(shè)函數(shù)的關(guān)系式為y=a(x+1)2+4, 將B(2,-5)代入得:a=-1, ∴該函數(shù)的關(guān)系式為y=-(x+1)2+4=-x2-2x+3; (2)令x=0

9、,得y=3,因此拋物線與y軸的交點(diǎn)為(0,3); 令y=0,-x2-2x+3=0,解得x1=-3,x2=1,即拋物線與x軸的交點(diǎn)為(-3,0),(1,0); (3)設(shè)拋物線與x軸的交點(diǎn)為M,N(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)),由(2)知:M(-3,0),N(1,0), 當(dāng)函數(shù)圖象向右平移經(jīng)過原點(diǎn)時(shí),點(diǎn)M與點(diǎn)O重合,因此拋物線向右平移了3個(gè)單位, 故A′(2,4),B′(5,-5), ∴S△OA′B′=×(2+5)×9-×2×4-×5×5=15. 4.解:(1)將x=2代入y=2x,得y=4, ∴M(2,4),由題意得∴ (2)如解圖,過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H. ∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,拋物線

10、的函數(shù)表達(dá)式為y=-x2+4x, ∴PH=-m2+4m. ∵B(2,0),∴OB=2, ∴S=OB·PH=×2×(-m2+4m)=-m2+4m, ∴K==-m+4. 由題意得A(4,0). ∵M(jìn)(2,4),∴2

11、30°, ∴OD=OC·tan 30°=,∴D(,0). 設(shè)DC的解析式為y=kx-3,將D(,0)代入得k=, 取立解得 ∴M(3,6); ②若點(diǎn)M在BC下方,設(shè)MC交x軸于點(diǎn)E,如解圖2, 則∠OCE=45°+15°=60°, ∴OE=OC·tan 60°=3, ∴E(3,0). 設(shè)EC的解析式為y=kx-3,將E(3,0)代入得k=, 聯(lián)立解得 ∴M(,-2). 綜上所述,存在點(diǎn)M,使得∠MCB=15°,此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(3,6)或(,-2). 6.解:(1)∵拋物線y=x2+mx-2m經(jīng)過點(diǎn)A(1,0), ∴0=1+m-2m,解得m=1. ∴拋物線的解析式

12、為y=x2+x-2. ∵y=x2+x-2=(x+)2-, ∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-,-); (2)拋物線y=x2+mx-2m的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-,-). 由點(diǎn)A(1,0)在x軸正半軸上,點(diǎn)P在x軸下方,∠AOP=45°,知點(diǎn)P在第四象限. 如解圖1,過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q,則∠POQ=∠OPQ=45°.  可知PQ=OQ,即=-,解得m1=0,m2=-10. 當(dāng)m=0時(shí),點(diǎn)P不在第四象限,舍去. ∴m=-10, ∴拋物線的解析式為y=x2-10x+20; (3)由y=x2+mx-2m=(x-2)m+x2可知,當(dāng)x=2時(shí),無論m取何值時(shí),y都等于4, ∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為(2,

13、4). 如解圖2,過點(diǎn)A作AD⊥AH,交射線HP于點(diǎn)D,分別過點(diǎn)D,H作x軸的垂線,垂足分別為E,G,則∠DEA=∠AGH=90°. ∵∠DAH=90°,∠AHD=45°, ∴∠ADH=45°,∴AH=AD. ∵∠DAE+∠HAG=∠AHG+∠HAG=90°, ∴∠DAE=∠AHG, ∴△ADE≌△HAG(AAS), ∴DE=AG=1,AE=HG=4, ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-3,1)或(5,-1). ①當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-3,1)時(shí), 可得直線DH的解析式為y=x+. ∵點(diǎn)P(-,-)在直線y=x+上, ∴-=×(-)+, 解得m1=-4,m2=-. 當(dāng)m=-4時(shí),點(diǎn)P與

14、點(diǎn)H重合,不符合題意, ∴m=-; ②當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(5,-1)時(shí), 可得直線DH的解析式為y=-x+. ∵點(diǎn)P(-,-)在直線y=-x+上, ∴-=-×(-)+, 解得m1=-4(舍去),m2=-. ∴m=-. 綜上可得,m=-或m=-. 故拋物線的解析式為y=x2-x+或y=x2-x+. 7.解:(1)令y=0得x2-x-4=0, 解得x1=-3,x2=4, ∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A(-3,0),B(4,0), 令x=0得y=-4, ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-4); (2)存在,Q1(,-4),Q2(1,-3); (3)如解圖,過點(diǎn)F作FG⊥PM于點(diǎn)G. ∵B

15、(4,0),C(0,-4), ∴△OBC為等腰直角三角形, ∴∠OBC=45°,即QM=BM. ∵B(4,0),點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m, ∴QM=BM=4-m. ∵PM⊥x軸,F(xiàn)G⊥PM, ∴FG∥x軸, ∴∠QFG=∠OBC=45°,即FG=QG,QG=QF. ∵PE∥AC,F(xiàn)G∥x軸, ∴∠PFG=∠CAO. 又∵∠AOC=90°,F(xiàn)G⊥PM, ∴△PFG∽△CAO, ∴=,即=, ∴PG=FG. 又∵FG=QG, ∴PG=QG=QF, 由圖可知:PQ=QG+PG=QF+QF=QF, ∴QF=PQ. ∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m, ∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m2-m-4,即PM

16、=-(m2-m-4). 又由圖可知: PQ=PM-QM =-(m2-m-4)-(4-m) =-m2+m+4-4+m =-m2+m, ∴QF=PQ =(-m2+m) =-m2+m =-(m2-4m) =-(m2-4m+4-4)=-(m-2)2+. ∵-<0, ∴當(dāng)m=2時(shí),QF有最大值. 8.解:(1)在Rt△ABC中,由點(diǎn)B的坐標(biāo)可知OB=1. ∵OC=2OB, ∴OC=2,則BC=3. 又∵tan∠ABC=2, ∴AC=2BC=6,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,6). 把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式y(tǒng)=-x2+bx+c中,得 解得 故該拋物線的解析式為

17、y=-x2-3x+4; (2)①由點(diǎn)A(-2,6)和點(diǎn)B(1,0)的坐標(biāo)求得直線AB的解析式為y=-2x+2. 如解圖1,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,-m2-3m+4), 則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m,-2m+2),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,0), 則PE=-m2-m+2,DE=-2m+2, 由PE=DE,得-m2-m+2=(-2m+2), 解得m=±1. 又∵-2<m<1,∴m=-1, ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,6); ②如解圖2,以AB為直角邊,分別以A,B為直角頂點(diǎn)作直角三角形ABM交PD于點(diǎn)M1,M2,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-1,n). 當(dāng)點(diǎn)M位于直線AB上方時(shí),由BM2=AM2+AB2,得 (-1

18、-1)2+n2=(-2+1)2+(6-n)2+(-2-1)2+(6-0)2, 解得n=. 故此時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-1,). 當(dāng)點(diǎn)M位于直線AB下方時(shí),由AM2=BM2+AB2,得(-2+1)2+(6-n)2=(-1-1)2+n2+(-2-1)2+(6-0)2, 解得n=-1. 故此時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-1,-1). 如解圖3,以AB為直徑作圓交直線PD于點(diǎn)M3,M4,此時(shí)△ABM為直角三角形. 由AB2=AM2+BM2,得(-2-1)2+(6-0)2=(-2+1)2+(6-n)2+(-1-1)2+n2, 解得n=3±. 故此時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-1,+3)或(-1,-+3). 綜上所述,符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-1,)或(-1,-1)或(-1,+3)或(-1,-+3). 14

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