小學(xué)典型應(yīng)用題類型匯總情況 問題詳解

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1、word 小學(xué)數(shù)學(xué)典型應(yīng)用題 小學(xué)數(shù)學(xué)中把含有數(shù)量關(guān)系的實(shí)際問題用語言或文字表示出來，這樣所形成的題目叫做應(yīng)用題。任何一道應(yīng)用題都由兩局部構(gòu)成。第一局部是條件〔簡稱條件〕，第二局部是所求問題〔簡稱問題〕。應(yīng)用題的條件和問題，組成了應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)。 沒有特定的解答規(guī)律的兩步以上運(yùn)算的應(yīng)用題，叫做一般應(yīng)用題。 題目中有特殊的數(shù)量關(guān)系，可以用特定的步驟和方法來解答的應(yīng)用題，叫做典型應(yīng)用題。這本資料主要研究以下30類典型應(yīng)用題： ? 1、歸一問題 ? 2、歸總問題 ? 3、和差問題 ? 4、和倍問題 ? 5、差倍問題 ? 6、倍比問題 ? 7、相遇問題 ? 8、追與問題 ? 9

2、、植樹問題 ?10、年齡問題 11、行船問題 12、列車問題 13、時(shí)鐘問題 14、盈虧問題 15、工程問題 16、正反比例問題 17、按比例分配 18、百分?jǐn)?shù)問題 19、“牛吃草〞問題 20、雞兔同籠問題 21、方陣問題 22、商品利潤問題 23、存款利率問題 24、溶液濃度問題 25、構(gòu)圖布數(shù)問題 26、幻方問題 27、抽屜原如此問題 28、公約公倍問題 29、最值問題 30、列方程問題 1? 歸一問題 【含義】在解題時(shí)，先求出一份是多少〔即單一量〕，然后以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。這類應(yīng)用題叫做歸一問題。 【數(shù)量關(guān)系】總量÷份數(shù)＝

3、1份數(shù)量??? ????? 1份數(shù)量×所占份數(shù)＝所求幾份的數(shù)量 ??????另一總量÷〔總量÷份數(shù)〕＝所求份數(shù) 【解題思路和方法】先求出單一量，以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。? 〖例1〗、買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少錢？ ÷5＝0.12〔元〕 ?×16＝1.92〔元〕 列成綜合算式?÷5××16＝1.92〔元〕 〖例2〗 3臺(tái)拖拉機(jī)3天耕地90公頃，照這樣計(jì)算，5臺(tái)拖拉機(jī)6 天耕地多少公頃？ 解： 〔1〕1臺(tái)拖拉機(jī)1天耕地多少公頃？? 90÷3÷3＝10〔公頃〕 ? 〔2〕5臺(tái)拖拉機(jī)6天耕地多少公頃？ 10×5×6＝300〔公頃〕

4、 列成綜合算式： 90÷3÷3×5×6＝10×30＝300〔公頃〕 〖例3〗、 5輛汽車4次可以運(yùn)送100噸鋼材，如果用同樣的7輛汽車運(yùn)送105噸鋼材，需要運(yùn)幾次？ 解： 〔1〕1輛汽車1次能運(yùn)多少噸鋼材？? 100÷5÷4＝5〔噸〕 ? 〔2〕7輛汽車1次能運(yùn)多少噸鋼材？?? 5×7＝35〔噸〕 ? 〔3〕105噸鋼材7輛汽車需要運(yùn)幾次？ 105÷35＝3〔次〕 列成綜合算式? 105÷〔100÷5÷4×7〕＝3〔次〕 2? 歸總問題 【含義】解題時(shí)，常常先找出“總數(shù)量〞，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。所謂“總數(shù)量〞是指貨物的總價(jià)、幾小時(shí)〔幾天〕的

5、總工作量、幾公畝地上的總產(chǎn)量、幾小時(shí)行的總路程等。 【數(shù)量關(guān)系】? 1份數(shù)量×份數(shù)＝總量????? ?????總量÷1份數(shù)量＝份數(shù) ?????總量÷另一份數(shù)＝另一每份數(shù)量 【解題思路和方法】 先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。? 〖例1〗?服裝廠原來做一套衣服用布3.2米，改良裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原來做791套衣服的布，現(xiàn)在可以做多少套？ ×791＝2531.2〔米〕 〔2〕現(xiàn)在可以做多少套？?÷2.8＝904〔套〕 列成綜合算式?×791÷2.8＝904〔套〕 〖例2〗 小華每天讀24頁書，12天讀完了《紅巖》一書。小明每天讀36頁書，幾天可

6、以讀完《紅巖》？ 解：?〔1〕《紅巖》這本書總共多少頁？ 24×12＝288〔頁〕 〔2〕小明幾天可以讀完《紅巖》？ 288÷36＝8〔天〕 列成綜合算式? 24×12÷36＝8〔天〕 〖例3〗? 食堂運(yùn)來一批蔬菜，原計(jì)劃每天吃50千克，30天慢慢消費(fèi)完這批蔬菜。后來根據(jù)大家的意見，每天比原計(jì)劃多吃10千克，這批蔬菜可以吃多少天？ 解：?〔1〕這批蔬菜共有多少千克？? 50×30＝1500〔千克〕 〔2〕這批蔬菜可以吃多少天？? 1500÷〔50＋10〕＝25〔天〕 列成綜合算式??? 50×30÷〔50＋10〕＝1500÷60＝25〔天〕 3? 和差問題 【含義

7、】兩個(gè)數(shù)量的和與差，求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫和差問題。 【數(shù)量關(guān)系】?大數(shù)＝〔和＋差〕÷ 2??????? ?????小數(shù)＝〔和－差〕÷ 2 【解題思路和方法】 簡單的題可以直接套用公式；復(fù)雜的題變通后再用公式。 ? 〖例1〗? 甲乙兩班共有學(xué)生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人？ 解：? 甲班人數(shù)＝〔98＋6〕÷2＝52〔人〕 乙班人數(shù)＝〔98－6〕÷2＝46〔人〕 ????? 〖例2〗 長方形的長和寬之和為18厘米，長比寬多2厘米，求長方形的面積。 解：? 長＝〔18＋2〕÷2＝10〔厘米〕? 寬＝〔18－2〕÷2＝8〔厘米〕

8、 長方形的面積 ＝10×8＝80〔平方厘米〕 〖例3〗 有甲、乙、丙三袋化肥，甲、乙兩袋共重32千克，乙、丙兩袋共重30千克，甲、丙兩袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。 解： 甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以看出甲比丙多〔32－30〕＝2千克，且甲是大數(shù)，丙是小數(shù)。由此可知 ?甲袋化肥重量＝〔22＋2〕÷2＝12〔千克〕 ?丙袋化肥重量＝〔22－2〕÷2＝10〔千克〕 ?乙袋化肥重量＝32－12＝20〔千克〕 〖例4〗? 甲乙兩車原來共裝蘋果97筐，從甲車取下14筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多3筐，兩車原來各裝蘋果多少筐？ 解：?“從甲車取下14筐放到乙車上

9、，結(jié)果甲車比乙車還多3筐〞，這說明 甲車是大數(shù)，乙車是小數(shù)，甲與乙的差是〔14×2＋3〕，甲與乙的和是97，因此甲車筐數(shù)＝〔97＋14×2＋3〕÷2＝64〔筐〕 ???? 乙車筐數(shù)＝97－64＝33〔筐〕 4? 和倍問題 【含義】?兩個(gè)數(shù)的和與大數(shù)是小數(shù)的幾倍〔或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾〕，要求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做和倍問題。 【數(shù)量關(guān)系】? 總和 ÷〔幾倍＋1〕＝較小的數(shù)?? ??????總和 － 較小的數(shù) ＝ 較大的數(shù) ??????較小的數(shù) ×幾倍 ＝ 較大的數(shù) 【解題思路和方法】? 簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。 ? 〖例1〗 果園里有杏樹

10、和桃樹共248棵，桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，求杏樹、桃樹各多少棵？ 解：? 〔1〕杏樹有多少棵？? 248÷〔3＋1〕＝62〔棵〕 ? 〔2〕桃樹有多少棵？?? 62×3＝186〔棵〕? 〖例2〗? 東西兩個(gè)倉庫共存糧480噸，東庫存糧數(shù)是西庫存糧數(shù)的1.4倍，求兩庫各存糧多少噸？ 解：? 〔1〕西庫存糧數(shù)＝480÷〔1.4＋1〕＝200〔噸〕 ? 〔2〕東庫存糧數(shù)＝480－200＝280〔噸〕? 〖例3〗 甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，假如每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，幾天后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍？ 解：? 每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，

11、相當(dāng)于每天從甲站開往乙站〔28－24〕輛。把幾天以后甲站的車輛數(shù)當(dāng)作1倍量，這時(shí)乙站的車輛數(shù)就是2倍量，兩站的車輛總數(shù)〔52＋32〕就相當(dāng)于〔2＋1〕倍，那么，幾天以后甲站的車輛數(shù)減少為???? ? 〔52＋32〕÷〔2＋1〕＝28〔輛〕 所求天數(shù)為? 〔52－28〕÷〔28－24〕＝6〔天〕 〖例4〗?甲乙丙三數(shù)之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三數(shù)各是多少？ 解：? 乙丙兩數(shù)都與甲數(shù)有直接關(guān)系，因此把甲數(shù)作為1倍量。 ? 因?yàn)橐冶燃椎?倍少4，所以給乙加上4，乙數(shù)就變成甲數(shù)的2倍； ? 又因?yàn)楸燃椎?倍多6，所以丙數(shù)減去6就變?yōu)榧讛?shù)的3倍

12、； ?這時(shí)〔170＋4－6〕就相當(dāng)于〔1＋2＋3〕倍。那么， ? 甲數(shù)＝〔170＋4－6〕÷〔1＋2＋3〕＝28 ???乙數(shù)＝28×2－4＝52 ???丙數(shù)＝28×3＋6＝90 5? 差倍問題 【含義】 兩個(gè)數(shù)的差與大數(shù)是小數(shù)的幾倍〔或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾〕，要求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做差倍問題。 【數(shù)量關(guān)系】??兩個(gè)數(shù)的差÷〔幾倍－1〕＝較小的數(shù) ??????較小的數(shù)×幾倍＝較大的數(shù) ? 【解題思路和方法】? 簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。 ? 〖例1〗??果園里桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、桃樹各

13、多少棵？ 解:? 〔1〕杏樹有多少棵？??? 124÷〔3－1〕＝62〔棵〕 ?〔2〕桃樹有多少棵？???? 62×3＝186〔棵〕 〖例2〗? 爸爸比兒子大27歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡的4倍，求父子二人今年各是多少歲？ 解:? 〔1〕兒子年齡＝27÷〔4－1〕＝9〔歲〕 ?〔2〕爸爸年齡＝9×4＝36〔歲〕 〖例3〗? 商場改革經(jīng)營管理方法后，本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬元，又知本月盈利比上月盈利多30萬元，求這兩個(gè)月盈利各是多少萬元？ 解: 如果把上月盈利作為1倍量，如此〔30－12〕萬元就相當(dāng)于上月盈利的〔2－1〕倍，因此???? ?上月盈利＝〔30－12〕÷

14、〔2－1〕＝18〔萬元〕 ?本月盈利＝18＋30＝48〔萬元〕 〖例4〗? 糧庫有94噸小麥和138噸玉米，如果每天運(yùn)出小麥和玉米各是9噸，問幾天后剩下的玉米是小麥的3倍？ 解:? 由于每天運(yùn)出的小麥和玉米的數(shù)量相等，所以剩下的數(shù)量差等于原來的數(shù)量差〔138－94〕。把幾天后剩下的小麥看作1倍量，如此幾天后剩下的玉米就是3倍量，那么，〔138－94〕就相當(dāng)于〔3－1〕倍，因此 ?剩下的小麥數(shù)量＝〔138－94〕÷〔3－1〕＝22〔噸〕 ?運(yùn)出的小麥數(shù)量＝94－22＝72〔噸〕 ?運(yùn)糧的天數(shù)＝72÷9＝8〔天〕 6? 倍比問題 【含義】 有兩個(gè)的同類量，其中一個(gè)量是

15、另一個(gè)量的假如干倍，解題時(shí)先求出這個(gè)倍數(shù)，再用倍比的方法算出要求的數(shù)，這類應(yīng)用題叫做倍比問題。 【數(shù)量關(guān)系】?總量÷一個(gè)數(shù)量＝倍數(shù)??? ?????另一個(gè)數(shù)量×倍數(shù)＝另一總量 【解題思路和方法】? 先求出倍數(shù)，再用倍比關(guān)系求出要求的數(shù)。 〖例1〗? 100千克油菜籽可以榨油40千克，現(xiàn)在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？ 解: ?〔1〕3700千克是100千克的多少倍？? 3700÷100＝37〔倍〕 ?〔2〕可以榨油多少千克？????40×37＝1480〔千克〕 列成綜合算式??? 40×〔3700÷100〕＝1480〔千克〕? 〖例2〗? 今年植樹節(jié)這天，某小學(xué)300名師

16、生共植樹400棵，照這樣計(jì)算，全縣48000名師生共植樹多少棵？ 解:? 〔1〕48000名是300名的多少倍？? 48000÷300＝160〔倍〕 ?〔2〕共植樹多少棵？???????400×160＝64000〔棵〕 列成綜合算式??? 400×〔48000÷300〕＝64000〔棵〕 〖例3〗? 鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收入11111元，照這樣計(jì)算，全鄉(xiāng)800畝果園共收入多少元？全縣16000畝果園共收入多少元？ 解:? 〔1〕800畝是4畝的幾倍？??800÷4＝200〔倍〕 〔2〕800畝收入多少元？?? 11111×200＝2222200〔元〕

17、?〔3〕16000畝是800畝的幾倍？??? 16000÷800＝20〔倍〕 ?〔4〕16000畝收入多少元？??? 2222200×20＝44444000〔元〕 7? 相遇問題 【含義】?兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體同時(shí)由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類應(yīng)用題叫做相遇問題。 【數(shù)量關(guān)系】? 相遇時(shí)間＝總路程÷〔甲速＋乙速〕 ?????? 總路程＝〔甲速＋乙速〕×相遇時(shí)間 【解題思路和方法】 簡單的題可直接利用公式，復(fù)雜的題變通后再利用公式。 〖例1〗? 某某到某某的水路長392千米，同時(shí)從兩港各開出一艘輪船相對而行，從某某開出的船每小時(shí)行28千米，從某某開出的船每小時(shí)行21千米，經(jīng)

18、過幾小時(shí)兩船相遇？ 解:??? 392÷〔28＋21〕＝8〔小時(shí)〕? 〖例2〗? 小李和小X在周長為400米的環(huán)形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小X每秒鐘跑3米，他們從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，反向而跑，那么，二人從出發(fā)到第二次相遇需多長時(shí)間？ 解:?“第二次相遇〞可以理解為二人跑了兩圈,因此總路程為400×2 ?相遇時(shí)間＝〔400×2〕÷〔5＋3〕＝100〔秒〕? 〖例3〗?甲乙二人同時(shí)從兩地騎自行車相向而行，甲每小時(shí)行15千米，乙每小時(shí)行13千米，兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇，求兩地的距離。 解:?“兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇〞是正確理解此題題意的關(guān)鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲

19、過了中點(diǎn)3千米，乙距中點(diǎn)3千米，就是說甲比乙多走的路程是〔3×2〕千米，因此， ?相遇時(shí)間＝〔3×2〕÷〔15－13〕＝3〔小時(shí)〕 ?兩地距離＝〔15＋13〕×3＝84〔千米〕 8? 追與問題 【含義】??? 兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體在不同地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)〔或者在同一地點(diǎn)而不是同時(shí)出發(fā)，或者在不同地點(diǎn)又不是同時(shí)出發(fā)〕作同向運(yùn)動(dòng)，在后面的，行進(jìn)速度要快些，在前面的，行進(jìn)速度較慢些，在一定時(shí)間之內(nèi)，后面的追上前面的物體。這類應(yīng)用題就叫做追與問題。 【數(shù)量關(guān)系】?? 追與時(shí)間＝追與路程÷〔快速－慢速〕 ?????? 追與路程＝〔快速－慢速〕×追與時(shí)間 【解題思路和方法】? 簡單的題目直

20、接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。 〖例1〗 好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？ 解:? 〔1〕劣馬先走12天能走多少千米？? 75×12＝900〔千米〕 ?〔2〕好馬幾天追上劣馬？?? 900÷〔120－75〕＝20〔天〕 列成綜合算式?? 75×12÷〔120－75〕＝900÷45＝20〔天〕 〖例2〗?小明和小亮在200米環(huán)形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他們從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，同向而跑。小明第一次追上小亮?xí)r跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。 解:? 小明第一次追上小亮?xí)r比小亮多跑一圈，即200米，此時(shí)小亮跑了〔5

21、00－200〕米，要知小亮的速度，須知追與時(shí)間，即小明跑500米所用的時(shí)間。又知小明跑200米用40秒，如此跑500米用［40×〔500÷200〕］秒，所以小亮的速度是:〔500－200〕÷［40×〔500÷200〕］＝300÷100＝3〔米〕? 〖例3〗? 我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午16點(diǎn)開始從甲地以每小時(shí)10千米的速度逃跑，解放軍在晚上22點(diǎn)接到命令，以每小時(shí)30千米的速度開始從乙地追擊。甲乙兩地相距60千米，問解放軍幾個(gè)小時(shí)可以追上敵人？ 解:? 敵人逃跑時(shí)間與解放軍追擊時(shí)間的時(shí)差是〔22－16〕小時(shí)，這段時(shí)間敵人逃跑的路程是［10×〔22－6〕］千米，甲乙兩地相

22、距60千米。由此推知: ?追與時(shí)間＝［10×〔22－6〕＋60］÷〔30－10〕 ?????＝220÷20＝11〔小時(shí)〕? 〖例4〗? 一輛客車從甲站開往乙站，每小時(shí)行48千米；一輛貨車同時(shí)從乙站開往甲站，每小時(shí)行40千米，兩車在距兩站中點(diǎn)16千米處相遇，求甲乙兩站的距離。 解:? 這道題可以由相遇問題轉(zhuǎn)化為追與問題來解決。從題中可知客車落后于貨車〔16×2〕千米，客車追上貨車的時(shí)間就是前面所說的相遇時(shí)間，這個(gè)時(shí)間為 ??16×2÷〔48－40〕＝4〔小時(shí)〕 所以兩站間的距離為?〔48＋40〕×4＝352〔千米〕 列成綜合算式?? 〔48＋40〕×［16×2÷〔48－40〕］＝8

23、8×4＝352〔千米〕 〖例5〗? 兄妹二人同時(shí)由家上學(xué)，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米。哥哥到校門口時(shí)發(fā)現(xiàn)忘記帶課本，立即沿原路回家去取，行至離校180米處和妹妹相遇。問他們家離學(xué)校有多遠(yuǎn)？ 解:? 要求距離，速度，所以關(guān)鍵是求出相遇時(shí)間。從題中可知，在一樣時(shí)間〔從出發(fā)到相遇〕內(nèi)哥哥比妹妹多走〔180×2〕米，這是因?yàn)楦绺绫让妹妹糠昼姸嘧摺?0－60〕米，那么，二人從家出走到相遇所用時(shí)間為 ?180×2÷〔90－60〕＝12〔分鐘〕 家離學(xué)校的距離為????? 90×12－180＝900〔米〕 〖例6〗?孫亮打算上課前5分鐘到學(xué)校，他以每小時(shí)4千米的速度從家步行去學(xué)校，當(dāng)他

24、走了1千米時(shí)，發(fā)現(xiàn)手表慢了10分鐘，因此立即跑步前進(jìn)，到學(xué)校恰好準(zhǔn)時(shí)上課。后來算了一下，如果孫亮從家一開始就跑步，可比原來步行早9分鐘到學(xué)校。求孫亮跑步的速度。 解:? 手表慢了10分鐘，就等于晚出發(fā)10分鐘，如果按原速走下去，就要遲到〔10－5〕分鐘，后段路程跑步恰準(zhǔn)時(shí)到學(xué)校，說明后段路程跑比走少用了〔10－5〕分鐘。如果從家一開始就跑步，可比步行少9分鐘，由此可知，行1千米，跑步比步行少用［9－〔10－5〕］分鐘。所以 步行1千米所用時(shí)間為? 1÷［9－〔10－5〕］＝0.25〔小時(shí)〕＝15〔分鐘〕 跑步1千米所用時(shí)間為??? 15－［9－〔10－5〕］＝11〔分鐘〕 跑步速度為每

25、小時(shí)?????1÷11／60＝5.5〔千米〕 9? 植樹問題 【含義】?按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數(shù)這三個(gè)量之間，其中的兩個(gè)量，要求第三個(gè)量，這類應(yīng)用題叫做植樹問題。 【數(shù)量關(guān)系】?線形植樹???? 棵數(shù)＝距離÷棵距＋1 ?????環(huán)形植樹???? 棵數(shù)＝距離÷棵距 ?????方形植樹???? 棵數(shù)＝距離÷棵距－4 ?????三角形植樹???? 棵數(shù)＝距離÷棵距－3 ?????面積植樹???? 棵數(shù)＝面積÷〔棵距×行距〕 【解題思路和方法】? 先弄清楚植樹問題的類型，然后可以利用公式。 ? 〖例1〗?一條河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多

26、少棵垂柳？ 解:?? 136÷2＋1＝68＋1＝69〔棵〕? 〖例2〗? 一個(gè)圓形池塘周長為400米，在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹？ 解:?? 400÷4＝100〔棵〕???? 〖例3〗? 一個(gè)正方形的運(yùn)動(dòng)場，每邊長220米，每隔8米安裝一個(gè)照明燈，一共可以安裝多少個(gè)照明燈？ 解:?? 220×4÷8－4＝110－4＝106〔個(gè)〕? 〖例4〗? 給一個(gè)面積為96平方米的住宅鋪設(shè)地板磚，所用地板磚的長和寬分別是60厘米和40厘米，問至少需要多少塊地板磚？ 解:? 96÷×0.4〕＝96÷0.24＝400〔塊〕? 〖例5〗? 一座大橋長500米，給橋兩邊的電

27、桿上安裝路燈，假如每隔50米有一個(gè)電桿，每個(gè)電桿上安裝2盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？ 解:? 〔1〕橋的一邊有多少個(gè)電桿？? 500÷50＋1＝11〔個(gè)〕 ?〔2〕橋的兩邊有多少個(gè)電桿？? 11×2＝22〔個(gè)〕 ?〔3〕大橋兩邊可安裝多少盞路燈？ 22×2＝44〔盞〕 10? 年齡問題 【含義】?這類問題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名，它的主要特點(diǎn)是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長在發(fā)生變化。 【數(shù)量關(guān)系】 年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯(lián)系，尤其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變〞這個(gè)特點(diǎn)。 【解

28、題思路和方法】? 可以利用“差倍問題〞的解題思路和方法。 〖例1〗? 爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？ 解:?? 35÷5＝7〔倍〕?? ??〔35+1〕÷〔5+1〕＝6〔倍〕? 〖例2〗? 母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年后母親的年齡是女兒的4倍？ 解: 〔1〕母親比女兒的年齡大多少歲？??? 37－7＝30〔歲〕 〔2〕幾年后母親的年齡是女兒的4倍？ 30÷〔4－1〕－7＝3〔年〕 列成綜合算式? 〔37－7〕÷〔4－1〕－7＝3〔年〕 〖例3〗? 3年前父子的年齡和是49歲，今年父親的年齡是兒子年齡的4倍，父子今年各多少歲？

29、 解:? 今年父子的年齡和應(yīng)該比3年前增加〔3×2〕歲， 今年二人的年齡和為??49＋3×2＝55〔歲〕 ?把今年兒子年齡作為1倍量，如此今年父子年齡和相當(dāng)于〔4＋1〕倍，因此，今年兒子年齡為????? 55÷〔4＋1〕＝11〔歲〕 ?今年父親年齡為????? 11×4＝44〔歲〕? 〖例4〗? 甲對乙說：“當(dāng)我的歲數(shù)曾經(jīng)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你才4歲〞。乙對甲說：“當(dāng)我的歲數(shù)將來是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你將61歲〞。求甲乙現(xiàn)在的歲數(shù)各是多少？ 解: 這里涉與到三個(gè)年份：過去某一年、今年、將來某一年。列表分析： ?????????????? 過去某一年 今? 年

30、 將來某一年 ?? 甲 ??□歲 ?△歲 ??? 61歲 ?? 乙 ?? 4歲 ?□歲 ???△歲 ???? 表中兩個(gè)“□〞表示同一個(gè)數(shù)，兩個(gè)“△〞表示同一個(gè)數(shù)。 因?yàn)閮蓚€(gè)人的年齡差總相等：□－4＝△－□＝61－△，也就是4，□，△，61成等差數(shù)列，所以，61應(yīng)該比4大3個(gè)年齡差， ??因此二人年齡差為???〔61－4〕÷3＝19〔歲〕 ???甲今年的歲數(shù)為??△＝61－19＝42〔歲〕 ???乙今年的歲數(shù)為?□＝42－19＝23〔歲〕 11? 行船問題 【含義】? 行船問題也就是與航行有關(guān)的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身

31、航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只順?biāo)叫械乃俣?順?biāo)俣?是船速與水速之和；船只逆水航行的速度〔逆水速度〕是船速與水速之差。 【數(shù)量關(guān)系】? 〔順?biāo)俣龋嫠俣取场?＝船速 ????? 〔順?biāo)俣龋嫠俣取场?＝水速 ?????? 順?biāo)伲酱佟?－逆水速＝逆水速＋水速×2 ?????? 逆水速＝船速×2－順?biāo)伲巾標(biāo)伲佟? 【解題思路和方法】? 大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。 〖例1〗? 一只船順?biāo)?20千米需用8小時(shí)，水流速度為每小時(shí)15千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時(shí)？ 解:? 由條件知，順?biāo)伲酱伲伲?20÷8

32、，而水速為每小時(shí)15千米，所以，船速為每小時(shí)?? 320÷8－15＝25〔千米〕 船的逆水速為????? 25－15＝10〔千米〕 船逆水行這段路程的時(shí)間為?? 320÷10＝32〔小時(shí)〕? 〖例2〗? 甲船逆水行360千米需18小時(shí)，返回原地需10小時(shí)；乙船逆水行同樣一段距離需15小時(shí)，返回原地需多少時(shí)間？ 解:??甲船速＋水速＝360÷10＝36 ? 甲船速－水速＝360÷18＝20 可見?? 〔36－20〕相當(dāng)于水速的2倍， 所以，水速為每小時(shí)??? 〔36－20〕÷2＝8〔千米〕 又因?yàn)椋? 乙船速－水速＝360÷15， 所以，乙船速

33、為? 360÷15＋8＝32〔千米〕 乙船順?biāo)贋?? 32＋8＝40〔千米〕所以，? 乙船順?biāo)叫?60千米需要? ??????360÷40＝9〔小時(shí)〕 〖例3〗?? 一架飛機(jī)飛行在兩個(gè)城市之間，飛機(jī)的速度是每小時(shí)576千米，風(fēng)速為每小時(shí)24千米，飛機(jī)逆風(fēng)飛行3小時(shí)到達(dá)，順風(fēng)飛回需要幾小時(shí)？ 解:? 這道題可以按照流水問題來解答。 〔1〕兩城相距多少千米？ 〔576－24〕×3＝1656〔千米〕 〔2〕順風(fēng)飛回需要多少小時(shí)？ 1656÷〔576＋24〕＝2.76〔小時(shí)〕 列成綜合算式 ［〔576－24〕×3］÷〔576＋24〕＝2.76〔小時(shí)〕

34、 12? 列車問題 【含義】?這是與列車行駛有關(guān)的一些問題，解答時(shí)要注意列車車身的長度。 【數(shù)量關(guān)系】?火車過橋： 過橋時(shí)間＝〔車長＋橋長〕÷車速 火車追與： 追與時(shí)間＝〔甲車長＋乙車長＋距離÷〔甲車速－乙車速〕 ? 火車相遇： 相遇時(shí)間＝〔甲車長＋乙車長＋距離〕÷〔甲車速＋乙車速〕 【解題思路和方法】? 大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。 〖例1〗? 一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多少米？ 解:? 火車3分鐘所行的路程，就是橋長與火車車身長度的和。 〔1〕火車3分鐘行多少米？? 900

35、×3＝2700〔米〕 〔2〕這列火車長多少米？??? 2700－2400＝300〔米〕 列成綜合算式??? 900×3－2400＝300〔米〕? 〖例2〗? 一列長200米的火車以每秒8米的速度通過一座大橋，用了2分5秒鐘時(shí)間，求大橋的長度是多少米？ 解:? 火車過橋所用的時(shí)間是2分5秒＝125秒，所走的路程是〔8×125〕米，這段路程就是〔200米＋橋長〕，所以，橋長為 8×125－200＝800〔米〕 〖例3〗? 一列長225米的慢車以每秒17米的速度行駛，一列長140米的快車以每秒22米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過慢車需要多長時(shí)間？ 解:? 從追上到追過，快車

36、比慢車要多行〔225＋140〕米，而快車比慢車每秒多行〔22－17〕米，因此，所求的時(shí)間為〔225＋140〕÷〔22－17〕＝73〔秒〕? 〖例4〗? 一列長150米的列車以每秒22米的速度行駛，有一個(gè)扳道工人以每秒3米的速度迎面走來，那么，火車從工人身旁駛過需要多少時(shí)間？ 解:? 如果把人看作一列長度為零的火車，原題就相當(dāng)于火車相遇問題。 ?150÷〔22＋3〕＝6〔秒〕? 〖例5〗? 一列火車穿越一條長2000米的隧道用了88秒，以同樣的速度通過一條長1250米的大橋用了58秒。求這列火車的車速和車身長度各是多少？ 解:? 車速和車長都沒有變，但通過隧道和大橋所用的時(shí)間不同，

37、是因?yàn)樗淼辣却髽蜷L?？芍疖囋凇?8－58〕秒的時(shí)間內(nèi)行駛了〔2000－1250〕米的路程，因此，火車的車速為每秒 〔2000－1250〕÷〔88－58〕＝25〔米〕 進(jìn)而可知，車長和橋長的和為〔25×58〕米， 因此，車長為???25×58－1250＝200〔米〕 13? 時(shí)鐘問題 【含義】? 就是研究鐘面上時(shí)針與分針關(guān)系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時(shí)鐘問題可與追與問題相類比。 【數(shù)量關(guān)系】? 分針的速度是時(shí)針的12倍，二者的速度差為11/12。 ?????通常按追與問題來對待，也可以按差倍問題來計(jì)算。 【解題思路和方法】 變通

38、為“追與問題〞后可以直接利用公式。 〖例1〗? 從時(shí)針指向4點(diǎn)開始，再經(jīng)過多少分鐘時(shí)針正好與分針重合？ 解:? 鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時(shí)走60格；時(shí)針每小時(shí)走5格，每分鐘走5/60＝1/12格。每分鐘分針比時(shí)針多走〔1－1/12〕＝11/12格。4點(diǎn)整，時(shí)針在前，分針在后，兩針相距20格。所以 分針追上時(shí)針的時(shí)間為??? 20÷〔1－1/12〕≈ 22〔分〕 答：再經(jīng)過22分鐘時(shí)針正好與分針重合。 ? 〖例2〗? 四點(diǎn)和五點(diǎn)之間，時(shí)針和分針在什么時(shí)候成直角？ 解:? 鐘面上有60格，它的1/4是15格，因而兩針成直角的時(shí)候相差15格〔包括分針在時(shí)針的前或

39、后15格兩種情況〕。四點(diǎn)整的時(shí)候，分針在時(shí)針后〔5×4〕格，如果分針在時(shí)針后與它成直角，那么分針就要比時(shí)針多走〔5×4－15〕格，如果分針在時(shí)針前與它成直角，那么分針就要比時(shí)針多走〔5×4＋15〕格。再根據(jù)1分鐘分針比時(shí)針多走〔1－1/12〕格就可以求出二針成直角的時(shí)間。? 〔5×4－15〕÷〔1－1/12〕≈ 6〔分〕 〔5×4＋15〕÷〔1－1/12〕≈ 38〔分〕 答：4點(diǎn)06分與4點(diǎn)38分時(shí)兩針成直角。 ? 〖例3〗? 六點(diǎn)與七點(diǎn)之間什么時(shí)候時(shí)針與分針重合？ 解:? 六點(diǎn)整的時(shí)候，分針在時(shí)針后〔5×6〕格，分針要與時(shí)針重合，就得追上時(shí)針。這實(shí)際上是一個(gè)追與問題。 〔

40、5×6〕÷〔1－1/12〕≈ 33〔分〕 答：6點(diǎn)33分的時(shí)候分針與時(shí)針重合。 14? 盈虧問題 【含義】? 根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余〔盈〕，一次不足〔虧〕，或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應(yīng)用題叫做盈虧問題。 【數(shù)量關(guān)系】 一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，如此有： ????? 參加分配總?cè)藬?shù)＝〔盈＋虧〕÷分配差 如果兩次都盈或都虧，如此有： ????? 參加分配總?cè)藬?shù)＝〔大盈－小盈〕÷分配差 ????? 參加分配總?cè)藬?shù)＝〔大虧－小虧〕÷分配差 【解題思路和方法】? 大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式

41、。 〖例1〗? 給幼兒園小朋友分蘋果，假如每人分3個(gè)就余11個(gè)；假如每人分4個(gè)就少1個(gè)。問有多少小朋友？有多少個(gè)蘋果？ 解:?? 按照“參加分配的總?cè)藬?shù)＝〔盈＋虧〕÷分配差〞的數(shù)量關(guān)系： ?〔1〕有小朋友多少人？? 〔11＋1〕÷〔4－3〕＝12〔人〕 ?〔2〕有多少個(gè)蘋果？???? 3×12＋11＝47〔個(gè)〕? 〖例2〗?? 修一條公路，如果每天修260米，修完全長就得延長8天；如果每天修300米，修完全長仍得延長4天。這條路全長多少米？ 解:? 題中原定完成任務(wù)的天數(shù)，就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)〞，按照“參加分配的總?cè)藬?shù)＝〔大虧－小虧〕÷分配差〞的數(shù)量關(guān)系，可以得

42、知 原定完成任務(wù)的天數(shù)為? 〔260×8－300×4〕÷〔300－260〕＝22〔天〕 這條路全長為?????? 300×〔22＋4〕＝7800〔米〕? 〖例3〗? 學(xué)校組織春游，如果每輛車坐40人，就余下30人；如果每輛車坐45人，就剛好坐完。問有多少車？多少人？ 解:? 此題中的車輛數(shù)就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)〞，于是就有 〔1〕有多少車？? 〔30－0〕÷〔45－40〕＝6〔輛〕 〔2〕有多少人？?? 40×6＋30＝270〔人〕 15? 工程問題 【含義】? 工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時(shí)間三者之間的關(guān)系。這類問題在條件中，常常不給出

43、工作量的具體數(shù)量，只提出“一項(xiàng)工程〞、“一塊土地〞、“一條水渠〞、“一件工作〞等，在解題時(shí)，常常用單位“1〞表示工作總量。 【數(shù)量關(guān)系】?解答工程問題的關(guān)鍵是把工作總量看作“1〞，這樣，工作效率就是工作時(shí)間的倒數(shù)〔它表示單位時(shí)間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾〕，進(jìn)而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時(shí)間三者之間的關(guān)系列出算式。 ??? 工作量＝工作效率×工作時(shí)間???? ???? 工作時(shí)間＝工作量÷工作效率 ???? 工作時(shí)間＝總工作量÷〔甲工作效率＋乙工作效率〕 【解題思路和方法】? 變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式。 ?〖例1〗? 一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需要10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需要

44、15天完成，現(xiàn)在兩隊(duì)合作，需要幾天完成？ 解:? 題中的“一項(xiàng)工程〞是工作總量，由于沒有給出這項(xiàng)工程的具體數(shù)量，因此，把此項(xiàng)工程看作單位“1〞。由于甲隊(duì)獨(dú)做需10天完成，那么每天完成這項(xiàng)工程的1/10；乙隊(duì)單獨(dú)做需15天完成，每天完成這項(xiàng)工程的1/15；兩隊(duì)合做，每天可以完成這項(xiàng)工程的〔1/10＋1/15〕。 由此可以列出算式：???1÷〔1/10＋1/15〕＝1÷1/6＝6〔天〕 答：兩隊(duì)合做需要6天完成。 ? 〖例2〗? 一批零件，甲獨(dú)做6小時(shí)完成，乙獨(dú)做8小時(shí)完成?，F(xiàn)在兩人合做，完成任務(wù)時(shí)甲比乙多做24個(gè)，求這批零件共有多少個(gè)？ 解一:? 設(shè)總工作量為1，如此甲每小時(shí)完成1/

45、6，乙每小時(shí)完成1/8，甲比乙每小時(shí)多完成〔1/6－1/8〕，二人合做時(shí)每小時(shí)完成〔1/6＋1/8〕。因?yàn)槎撕献鲂枰?÷〔1/6＋1/8〕］小時(shí)，這個(gè)時(shí)間內(nèi)，甲比乙多做24個(gè)零件，所以 〔1〕每小時(shí)甲比乙多做多少零件？ 24÷［1÷〔1/6＋1/8〕］＝7〔個(gè)〕 〔2〕這批零件共有多少個(gè)？?????7÷〔1/6－1/8〕＝168〔個(gè)〕 解二：? 上面這道題還可以用另一種方法計(jì)算： 兩人合做，完成任務(wù)時(shí)甲乙的工作量之比為? 1/6∶1/8＝4∶3 由此可知，甲比乙多完成總工作量的? 4－3? /? 4＋3? ＝1/7 所以，這批零件共有???

46、 24÷1/7＝168〔個(gè)〕 ? 〖例3〗? 一件工作，甲獨(dú)做12小時(shí)完成，乙獨(dú)做10小時(shí)完成，丙獨(dú)做15小時(shí)完成。現(xiàn)在甲先做2小時(shí)，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時(shí)才能完成？ 解：? 必須先求出各人每小時(shí)的工作效率。如果能把效率用整數(shù)表示，就會(huì)給計(jì)算帶來方便，因此，我們設(shè)總工作量為12、10、和15的某一公倍數(shù)，例如最小公倍數(shù)60，如此甲乙丙三人的工作效率分別是 甲： 60÷12＝5? 乙：? 60÷10＝6?丙： 60÷15＝4?????????? 因此余下的工作量由乙丙合做還需要?????? ??????〔60－5×2〕÷〔6＋4〕＝5〔小時(shí)〕? 〖例4〗? 一個(gè)水池，

47、底部裝有一個(gè)常開的排水管，上部裝有假如干個(gè)同樣粗細(xì)的進(jìn)水管。當(dāng)打開4個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要5小時(shí)才能注滿水池；當(dāng)打開2個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要15小時(shí)才能注滿水池；現(xiàn)在要用2小時(shí)將水池注滿，至少要打開多少個(gè)進(jìn)水管？ 解：?注〔排〕水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當(dāng)于一項(xiàng)工程，水的流量就是工作量，單位時(shí)間內(nèi)水的流量就是工作效率。 要2小時(shí)內(nèi)將水池注滿，即要使2小時(shí)內(nèi)的進(jìn)水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進(jìn)水管、排水管的工作效率與總工作量〔一池水〕。只要設(shè)某一個(gè)量為單位1，其余兩個(gè)量便可由條件推出。我們設(shè)每個(gè)同樣的進(jìn)水管每小時(shí)注水量為1，如此4個(gè)進(jìn)水管5小時(shí)注水量為〔1×4×5〕

48、，2個(gè)進(jìn)水管15小時(shí)注水量為〔1×2×15〕，從而可知 每小時(shí)的排水量為??? 〔1×2×15－1×4×5〕÷〔15－5〕＝1 即一個(gè)排水管與每個(gè)進(jìn)水管的工作效率一樣。由此可知 一池水的總工作量為?? 1×4×5－1×5＝15?? 又因?yàn)樵?小時(shí)內(nèi)，每個(gè)進(jìn)水管的注水量為? 1×2，所以，2小時(shí)內(nèi)注滿一池水至少需要多少個(gè)進(jìn)水管？? 〔15＋1×2〕÷〔1×≈9〔個(gè)〕 16? 正反比例問題 【含義】? 兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比的比值一定〔即商一定〕，那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。 兩種相關(guān)聯(lián)

49、的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。 【數(shù)量關(guān)系】?判斷正比例或反比例關(guān)系是解這類應(yīng)用題的關(guān)鍵。許多典型應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問題去解決，而且比擬簡捷。 【解題思路和方法】? 解決這類問題的重要方法是：把分率〔倍數(shù)〕轉(zhuǎn)化為比，應(yīng)用比和比例的性質(zhì)去解應(yīng)用題。正反比例問題與前面講過的倍比問題根本類似。 〖例1〗? 修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長是多少米？ 解：? 由條件知，公路總長不變。 ? 原已修長度∶總長度＝1∶〔1＋3〕＝1∶4

50、＝3∶12 ? 現(xiàn)已修長度∶總長度＝1∶〔1＋2〕＝1∶3＝4∶12 比擬以上兩式可知，把總長度當(dāng)作12份，如此300米相當(dāng)于〔4－3〕份，從而知公路總長為??? 300÷〔4－3〕×12＝3600〔米〕 答： 這條公路總長3600米。 〖例2〗? X晗做4道應(yīng)用題用28分鐘，照這樣計(jì)算，91分鐘能做幾道應(yīng)用題？ 解： 做題效率一定，做題數(shù)量與做題時(shí)間成正比例關(guān)系 設(shè)91分鐘可以做X應(yīng)用題? 如此有? 28∶4＝91∶X ?????? 28X＝91×4??? X＝91×4÷28???? X＝13 〖例3〗? 孫

51、亮看《十萬個(gè)為什么》這本書，每天看24頁，15天看完，如果每天看36頁，幾天就可以看完？ 解：? 書的頁數(shù)一定，每天看的頁數(shù)與需要的天數(shù)成反比例關(guān)系設(shè)X天可以看完，就有? 24∶36＝X∶15?? ????????36X＝24×15?? X＝10 〖例4〗? 一個(gè)大矩形被分成六個(gè)小矩形，其中四個(gè)小矩形的面積如下列圖，求大矩形的面積。 A???????????????????????????????????????????????? 25 20 36 B 16 解：? 由面積÷寬＝長可知，當(dāng)長一定時(shí)，面積與寬成正比，所以每

52、一上下兩個(gè)小矩形面積之比就等于它們的寬的正比。又因?yàn)榈谝恍腥齻€(gè)小矩形的寬相等，第二行三個(gè)小矩形的寬也相等。因此， ???????A∶36＝20∶16???25∶B＝20∶16?? ?解這兩個(gè)比例，得? A＝45? B＝20 所以，大矩形面積為? 45＋36＋25＋20＋20＋16＝162 17? 按比例分配問題 【含義】? 所謂按比例分配，就是把一個(gè)數(shù)按照一定的比分成假如干份。這類題的條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各局部占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出份數(shù)。 【數(shù)量關(guān)系】? 從條件看，總量和幾個(gè)局部量的比；從問題看，求幾個(gè)局部量各是多少。? 總份數(shù)＝比的前后項(xiàng)之和

53、【解題思路和方法】? 先把各局部量的比轉(zhuǎn)化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項(xiàng)相加求出總份數(shù)，再求各局部占總量的幾分之幾〔以總份數(shù)作分母，比的前后項(xiàng)分別作分子〕，再按照求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少的計(jì)算方法，分別求出各局部量的值。 ? 〖例1〗? 學(xué)校把植樹560棵的任務(wù)按人數(shù)分配給五年級(jí)三個(gè)班，一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個(gè)班各植樹多少棵？ 解：? 總份數(shù)為? 47＋48＋45＝140 ? 一班植樹??? 560×47/140＝188〔棵〕 ? 二班植樹??? 560×48/140＝192〔棵〕 ? 三班植樹??? 560×45/140＝180〔棵〕 〖例2〗? 用

54、60厘米長的鐵絲圍成一個(gè)三角形，三角形三條邊的比是3∶4∶5。三條邊的長各是多少厘米？ 解：? 3＋4＋5＝12??? 60×3/12＝15〔厘米〕? 60×4/12＝20〔厘米〕 60×5/12＝25〔厘米〕 〖例3〗? 從前有個(gè)牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個(gè)兒子，大兒子分總數(shù)的1/2，二兒子分總數(shù)的1/3，三兒子分總數(shù)的1/9，并規(guī)定不許把羊宰割分，求三個(gè)兒子各分多少只羊。 解：? 如果用總數(shù)乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數(shù)解。如果用按比例分配的方法解，如此很容易得到??1/2∶1/3∶1/9＝9∶6

55、∶2 ?總份數(shù)：9＋6＋2＝17??? 大兒子：17×9/17＝9?? ?二兒子：17×6/17＝6??? 小兒子：17×2/17＝2? 〖例4〗? 某工廠第一、二、三車間人數(shù)之比為8∶12∶21，第一車間比第二車間少80人，三個(gè)車間共多少人？ 人? 數(shù) 80人 一共多少人？ 對應(yīng)的份數(shù) 12－8 8＋12＋21 解：? 80÷〔12－8〕×〔8＋12＋21〕＝820〔人〕 18? 百分?jǐn)?shù)問題 【含義】? 百分?jǐn)?shù)是表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分?jǐn)?shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)常常可以通分、約分，而百分?jǐn)?shù)如此無需；分?jǐn)?shù)既可以表示“

56、率〞，也可以表示“量〞，而百分?jǐn)?shù)只能表示“率〞；分?jǐn)?shù)的分子、分母必須是自然數(shù)，而百分?jǐn)?shù)的分子可以是小數(shù)；百分?jǐn)?shù)有一個(gè)專門的記號(hào)“%〞。在實(shí)際中和常用到“百分點(diǎn)〞這個(gè)概念，一個(gè)百分點(diǎn)就是1%，兩個(gè)百分點(diǎn)就是2%。 【數(shù)量關(guān)系】?掌握“百分?jǐn)?shù)〞、“標(biāo)準(zhǔn)量〞“比擬量〞三者之間的數(shù)量關(guān)系： ???? 百分?jǐn)?shù)＝比擬量÷標(biāo)準(zhǔn)量??? ?????標(biāo)準(zhǔn)量＝比擬量÷百分?jǐn)?shù) 【解題思路和方法】?? 一般有三種根本類型： 〔1〕求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾； 〔2〕一個(gè)數(shù)，求它的百分之幾是多少； 〔3〕一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)。 〖例1〗? 倉庫里有一批化肥，用去720千克，剩下64

57、80千克，用去的與剩下的各占原重量的百分之幾？ 解:? 〔1〕用去的占??? 720÷〔720＋6480〕＝10% ?〔2〕剩下的占??? 6480÷〔720＋6480〕＝90%? 〖例2〗? 紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，男職工人數(shù)比女職工少百分之幾？?? 解:?此題中女職工為標(biāo)準(zhǔn)量，男職工比女職工少的是比賽所以??? 〔525－420〕÷525＝0.2＝20%? 或者? 1－420÷525＝0.2＝20% 答：男職工人數(shù)比女職工少20%。 〖例3〗? 紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，女職工比男職工人數(shù)多百分之幾？?? 解

58、:? 此題中以男職工為標(biāo)準(zhǔn)量，女職工比男職工多的為比擬量，因此??? 〔525－420〕÷420＝0.25＝25%? 或者? 525÷420－1＝0.25＝25% 答：女職工人數(shù)比男職工多25%。 〖例4〗? 紅旗化工廠有男職工420人，有女職工525人，男、女職工各占全廠職工總數(shù)的百分之幾？ 解:? 〔1〕男職工占? 420÷〔420＋525〕＝0.444＝44.4% ?〔2〕女職工占? 525÷〔420＋525〕＝0.556＝55.6% 答：男職工占全廠職工總數(shù)的44.4%，女職工占55.6%。 〖例5〗? 百分?jǐn)?shù)又叫百分率，在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中應(yīng)用很廣，常見的

59、百分率有： 增長率＝增長數(shù)÷原來基數(shù)×100% 合格率＝合格產(chǎn)品數(shù)÷產(chǎn)品總數(shù)×100% 出勤率＝實(shí)際出勤人數(shù)÷應(yīng)出勤人數(shù)×100% 出勤率＝實(shí)際出勤天數(shù)÷應(yīng)出勤天數(shù)×100% 缺席率＝缺席人數(shù)÷實(shí)有總?cè)藬?shù)×100% 發(fā)芽率＝發(fā)芽種子數(shù)÷試驗(yàn)種子總數(shù)×100% 成活率＝成活棵數(shù)÷種植總棵數(shù)×100% 出粉率＝面粉重量÷小麥重量×100% 出油率＝油的重量÷油料重量×100% 廢品率＝廢品數(shù)量÷全部產(chǎn)品數(shù)量×100% 命中率＝命中次數(shù)÷總次數(shù)×100% 烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100% 與格率＝與格人數(shù)÷參加考試人數(shù)×100% 19 “牛吃

60、草〞問題 【含義】 “牛吃草〞問題是大科學(xué)家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題〞。這類問題的特點(diǎn)在于要考慮草邊吃邊長這個(gè)因素。 【數(shù)量關(guān)系】? 草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數(shù) 【解題思路和方法】? 解這類題的關(guān)鍵是求出草每天的生長量。 〖例1〗? 一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完？ 解:? 草是均勻生長的，所以，草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數(shù)。求“多少頭牛5天可以把草吃完〞，就是說5 天內(nèi)的草總量要5 天吃完的話，得有多少頭牛？設(shè)每頭牛每天吃草量為1，按以下步驟解答： 〔1〕求草每天的生長量 因?yàn)?，一方?0天內(nèi)

61、的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即〔1×10×20〕；另一方面，20天內(nèi)的草總量又等于原有草量加上20天內(nèi)的生長量，所以 ???? 1×10×20＝原有草量＋20天內(nèi)生長量 同理??? 1×15×10＝原有草量＋10天內(nèi)生長量 由此可知? 〔20－10〕天內(nèi)草的生長量為: 1×10×20－1×15×10＝50 因此，草每天的生長量為:? 50÷〔20－10〕＝5 〔2〕求原有草量 原有草量＝10天內(nèi)總草量－10內(nèi)生長量＝1×15×10－5×10＝100 〔3〕求5 天內(nèi)草總量 5 天內(nèi)草總量＝原有草量＋5天內(nèi)生長量＝100＋5×5＝

62、125 〔4〕求多少頭牛5 天吃完草 ?因?yàn)槊款^牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。 ?因此5天吃完草需要牛的頭數(shù)??? 125÷5＝25〔頭〕 答：需要5頭牛5天可以把草吃完。 〖例2〗? 一只船有一個(gè)漏洞，水以均勻速度進(jìn)入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時(shí)已經(jīng)進(jìn)了一些水。如果有12個(gè)人淘水，3小時(shí)可以淘完；如果只有5人淘水，要10小時(shí)才能淘完。求17人幾小時(shí)可以淘完？ 解:? 這是一道變相的“牛吃草〞問題。與上題不同的是，最后一問給出了人數(shù)〔相當(dāng)于“牛數(shù)〞〕，求時(shí)間。設(shè)每人每小時(shí)淘水量為1，按以下步驟計(jì)算： 〔1〕求每小時(shí)進(jìn)水量 ? 因?yàn)椋?小時(shí)內(nèi)的總水量＝1×12×3

63、＝原有水量＋3小時(shí)進(jìn)水量 ? 10小時(shí)內(nèi)的總水量＝1×5×10＝原有水量＋10小時(shí)進(jìn)水量 所以， 〔10－3〕小時(shí)內(nèi)的進(jìn)水量為:??1×5×10－1×12×3＝14 因此， 每小時(shí)的進(jìn)水量為:??? 14÷〔10－3〕＝2 〔2〕求淘水前原有水量 ? 原有水量＝1×12×3－3小時(shí)進(jìn)水量＝36－2×3＝30 〔3〕求17人幾小時(shí)淘完 ? 17人每小時(shí)淘水量為17，因?yàn)槊啃r(shí)漏進(jìn)水為2，所以實(shí)際上船中每小 時(shí)減少的水量為〔17－2〕，所以17人淘完水的時(shí)間是??? ?? 30÷〔17－2〕＝2〔小時(shí)〕 答：17人2小時(shí)可以淘完水。 20? 雞兔同籠問題 【含義】? 這

64、是古典的算術(shù)問題?；\子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。雞兔的總數(shù)和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題。 【數(shù)量關(guān)系】 第一雞兔同籠問題：假設(shè)全都是雞，如此有? ????? 兔數(shù)＝〔實(shí)際腳數(shù)－2×雞兔總數(shù)〕÷〔4－2〕 ? 假設(shè)全都是兔，如此有? ????? 雞數(shù)＝〔4×雞兔總數(shù)－實(shí)際腳數(shù)〕÷〔4－2〕 ? 第二雞兔同籠問題：假設(shè)全都是雞，如此有 ????????兔數(shù)＝〔2×雞兔總數(shù)－雞與兔腳之差〕÷〔4＋2〕 ?

65、 假設(shè)全都是兔，如此有 ????????雞數(shù)＝〔4×雞兔總數(shù)＋雞與兔腳之差〕÷〔4＋2〕 【解題思路和方法】? 解答此類題目一般都用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，也可以假設(shè)都是兔。如果先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；如果先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設(shè)，再置換，使問題得到解決。 〖例1〗? 長毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。數(shù)數(shù)頭有三十五，腳數(shù)共有九十四。請你仔細(xì)算一算，多少兔子多少雞？ 解:? 假設(shè)35只全為兔，如此? ?雞數(shù)＝〔4×35－94〕÷〔4－2〕＝23〔只〕 ?兔數(shù)＝35－23＝12〔只〕 ?也可以先

66、假設(shè)35只全為雞，? 〖例2〗? 2畝菠菜要施肥1千克，5畝白菜要施肥3千克，兩種菜共16畝，施肥9千克，求白菜有多少畝？ 解:? 此題實(shí)際上是改頭換面的“雞兔同籠〞問題。“每畝菠菜施肥〔1÷2〕千克〞與“每只雞有兩個(gè)腳〞相對應(yīng)，“每畝白菜施肥〔3÷5〕千克〞與“每只兔有4只腳〞相對應(yīng)，“16畝〞與“雞兔總數(shù)〞相對應(yīng)，“9千克〞與“雞兔總腳數(shù)〞相對應(yīng)。假設(shè)16畝全都是菠菜，如此有 ?白菜畝數(shù)＝〔9－1÷2×16〕÷〔3÷5－1÷2〕＝10〔畝〕 〖例3〗? 李教師用69元給學(xué)校買作業(yè)本和日記本共45本，作業(yè)本每本 3 .20元，日記本每本0.70元。問作業(yè)本和日記本各買了多少本？ 解:? 此題可以變通為“雞兔同籠〞問題。假設(shè)45本全都是日記本，如此有 ?×45〕÷〔3.20－0.70〕＝15〔本〕 ?日記本數(shù)＝45－15＝30〔本〕 答：作業(yè)本有15本，日記本有30本。 〖例4〗? 〔第二雞兔同籠問題〕雞兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問雞與兔各多少只？ 解:? 假設(shè)100只全都是雞，如此有 兔數(shù)＝〔2×100－80〕÷〔4＋2〕＝20〔只