中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練 旋轉(zhuǎn)模型幾何變換地三種模型手拉手、半角、對角互補

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1、word 幾何變換的三種模型手拉手、半角、對角互補 知識關(guān)聯(lián)圖 真題演練 【練1】 〔2013中考〕在中，，〔〕，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段． 〔1〕如圖1，直接寫出的大小〔用含的式子表示〕； 〔2〕如圖2，，判斷的形狀并加以證明； 〔3〕在〔2〕的條件下，連結(jié)，假如，求的值． 【練2】 〔2012年中考〕在中，，是的中點，是線段上的動點，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段． 〔1〕假如且點與點重合〔如圖1〕，線段的延長線交射線于點，請補全圖形，并寫出的度數(shù)； 〔2〕在圖2中，點不與點重合，線段的延長線與射線

2、交于點，猜測的大小〔用含的代數(shù)式表示〕，并加以證明； 〔3〕對于適當(dāng)大小的，當(dāng)點在線段上運動到某一位置〔不與點，重合〕時，能使得線段的延長線與射線交于點，且，請直接寫出的X圍． 例題精講 考點1：手拉手模型：全等和相似 包含：等腰三角形、等腰直角三角形〔正方形〕、等邊三角形伴隨旋轉(zhuǎn)出全等，處于各種位置的旋轉(zhuǎn)模型，與殘缺的旋轉(zhuǎn)模型都要能很快看出來 〔1〕等腰三角形旋轉(zhuǎn)模型圖〔共頂點旋轉(zhuǎn)等腰出伴隨全等〕 〔2〕等邊三角形旋轉(zhuǎn)模型圖〔共頂點旋轉(zhuǎn)等邊出伴隨全等〕 〔3〕等腰直角旋轉(zhuǎn)模型圖〔共頂點旋轉(zhuǎn)等腰直角出伴隨全等〕 〔4〕不等邊旋

3、轉(zhuǎn)模型圖〔共頂點旋轉(zhuǎn)不等腰出伴隨相似〕 【例1】 〔14年海淀期末〕四邊形和四邊形都是正方形 ，且． 〔1〕如圖，連接、．求證：； 〔2〕如圖，如果正方形的邊長為，將正方形繞著點旋轉(zhuǎn)到某一位置時恰好使得，． ①求的度數(shù)； ②請直接寫出正方形的邊長的值． 【題型總結(jié)】 手拉手模型是中考中最常見的模型，突破口常見的有哪些信息？常見的考試方法有哪些？ 【例2】 〔2014年西城一?！乘倪呅问钦叫?，是等腰直角三角形，，，連接，為的中點，連接，，。 〔1〕如圖24-1，假如

4、點在邊的延長線上，直接寫出與的位置關(guān)系與的值； 〔2〕將圖24-1中的繞點順時針旋轉(zhuǎn)至圖24-2所示位置，請問〔1〕中所得的結(jié)論是否仍然成立？假如成立，請寫出證明過程；假如不成立，請說明理由； A C D G E F B 圖111124-1 圖24-2 A C D G E F B 【題型總結(jié)】 此類型題目方法多樣，你還能找到其他的解題方法嗎？另外涉與到的中點輔助線你還能說出幾種？ 【例3】 〔2015年海淀九上期末〕如圖1，在中，，以線段為邊作，使得， 連接，再以為邊作，

5、使得，． 〔1〕如圖2 ，當(dāng)且時，用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系； 圖1 〔2〕將線段沿著射線的方向平移，得到線段，連接．假如 ，依題意補全圖3，求線段的長；請直接寫出線段的長〔用含的式子表示〕． 圖2 圖3 備用圖 【例4】 〔13年房山一模〕 〔1〕如圖1，和都是等邊三角形，且、、三點共線，聯(lián)結(jié)、相交于點，求證：． 〔2〕如圖2，在中，，分別以、和為邊在外部作等邊、等邊和等邊，聯(lián)結(jié)、和交于點，如下結(jié)論中正確的答案是_______〔只填序號

6、即可〕①；②；③； 〔3〕如圖2，在〔2〕的條件下，求證：． 圖1 圖2 【題型總結(jié)】 到三個定理的三條線段之和最小，夾角都為°．旋轉(zhuǎn)與最短路程問題主要是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短的問題，同時與旋轉(zhuǎn)有關(guān)路程最短的問題，比擬重要的就是費馬點問題 費爾馬問題告訴我們，存在這么一個點到三個定點的距離的和最小，解決問題的方法是運用旋轉(zhuǎn)變換． 考點2： 角含半角模型：全等 秘籍：角含半角要旋轉(zhuǎn)：構(gòu)造兩次全等 【例1】 〔2012年西城期末〕：如圖，正方形的邊長為a，，分別平分正方形的兩個外角，且滿

7、足，連結(jié)，，．猜測線段，和之間的等量關(guān)系并證明你的結(jié)論． 【例2】 〔2014年平谷一模〕 〔1〕如圖1，點分別是正方形的邊上的點，，連接， 如此之間的數(shù)量關(guān)系是：．連結(jié)，交于點，且 滿足，請證明這個等量關(guān)系； 〔2〕在中，，點分別為邊上的兩點． ①如圖2，當(dāng)，時，應(yīng)滿足的等量關(guān)系是__________________； ②如圖3，當(dāng)，，時，應(yīng)滿足的等量關(guān)系是____________________．【參考：】 【題型總結(jié)】 角含半角的特點有哪些，哪些是不變的量？由角含半

8、角產(chǎn)生的數(shù)量關(guān)系都是有哪些？如何描述這類題目的輔助線？ 考點3：對角互補模型 常和角平分線性質(zhì)一起考，一般有兩種解題方法 〔全等型—90°〕 〔全等型—120°〕〔全等型—任意角〕 【例1】 四邊形被對角線分為等腰直角三角形和直角三角形，其中和都是直角，另一條對角線的長度為，求四邊形的面積． 【例2】 ：點是的平分線上的一動點，射線交射線于點，將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)交射線于點，且使． 〔1〕利用圖1，求證：； 〔2〕如圖1，假如點是與的交點，當(dāng)時，求與的比值； 圖1

9、 圖2 【題型總結(jié)】 對角互補模型經(jīng)常在哪里題目里出現(xiàn)，題目中有哪些提示信息？經(jīng)常和哪種圖形同時出現(xiàn)？ 【例3】 (初二期末)：如圖，在中，，，且．為內(nèi)部一點，且，． 〔1〕用含的代數(shù)式表示，得 =_______________________； 〔2〕求證：； 〔3〕求的度數(shù)． 【題型總結(jié)】 一般涉與到線段的旋轉(zhuǎn)都可以和圓聯(lián)系起來，根據(jù)圓的相關(guān)性質(zhì)解題是一種比擬便捷

10、的方法。 〔 全能突破 【練1】 〔2015年昌平九上期末〕如圖，和都是等腰直角三角形，，，．連接交于,連接交于，與交點為，連接． 〔1〕如圖1，求證：； 〔2〕如圖1，求證：是的平分線； 〔3〕如圖2，當(dāng)，時，求的長. 【練2】 〔2014西城九上期末〕：，都是等邊三角形，是與的中點，連接，. 〔1〕如圖1，當(dāng)與在同一條直線上時，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系； 〔2〕固定不動，將圖1中的繞點順時針旋轉(zhuǎn)〔≤≤〕角，如圖2所示，判斷〔1〕中的結(jié)論是否仍然成立，假如成立，請加以證明；假如不成立，說明理由；

11、 〔3〕△ABC固定不動，將圖1中的繞點旋轉(zhuǎn)〔≤≤〕角，作于點．設(shè)，線段，，，所圍成的圖形面積為．當(dāng)，時，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的的取值X圍． 圖2 備用圖 圖1 【練3】 〔2014年某某一模24題〕在中，，在中，，點、分別在、上， 〔1〕圖①，假如，如此與的數(shù)量關(guān)系是______________； 〔2〕假如，將繞點旋轉(zhuǎn)至如圖②所示的位置，如此與的數(shù)量關(guān)系是______________； 〔3〕假如，將繞點旋轉(zhuǎn)至如圖③所示的位置，探究線段與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明〔用含的式子表示〕

12、 【練4】 〔2015年燕山九上期末〕小輝遇到這樣一個問題：如圖1，在中，，點，在邊上，．假如，，求的長． 圖1 圖2 圖3 小輝發(fā)現(xiàn)，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90o，得到，連接〔如圖2〕，由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)以與，可證，得．解，可求得 (即)的長． 請回答：在圖中，的度數(shù)是__________，的長為___________． 參考小輝思考問題的方法，解決問題： 如圖3，在四邊形中，，．分別是邊上的點，且．猜測線段之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．

13、 【練5】 〔11年石景山一?！常喝鐖D，正方形中，,為對角線，將繞頂點逆時 針旋轉(zhuǎn)()，旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別交于點、點，交,于點、點，聯(lián)結(jié)、． 〔1〕在的旋轉(zhuǎn)過程中，的大小是否改變，假如不變寫出它的度數(shù)，假如改變，寫出它的變化X圍〔直接在答題卡上寫出結(jié)果，不必證明〕； 〔2〕探究與的面積的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并加以證明． 【練6】 〔2015年延慶九上期末〕：是的內(nèi)接三角形，，在所對弧上，任取一點，連接， 〔1〕如圖1，，直接寫出的大小〔用含的式子表示〕； 〔2〕如圖2，如果，求證：； 〔3〕如圖3，如果，那么與之間的數(shù)量關(guān)系是什么？

14、寫出猜測并加以證明； 〔4〕如果，直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系. 圖3 圖2 圖1 【練7】 〔1)如圖，在四邊形中，，分別是邊上的點， 且．求證：; (2) 如圖在四邊形中，，分別是邊上的點，且， (1)中的結(jié)論是否仍然成立？不用證明． (3) 如圖，在四邊形中，，，分別是邊延長線上的點，且， (1)中的結(jié)論是否仍然成立？假如成立，請證明；假如不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明． 【練8】 小華遇到這樣一個問題，如圖1, 中，3

15、0o，，在 內(nèi)部有一點，連接，求的最小值． 小華是這樣思考的：要解決這個問題，首先應(yīng)想方法將這三條端點重合于一點的線段別離，然后再將它們連接成一條折線，并讓折線的兩個端點為定點，這樣依據(jù)“兩點之間，線段最短〞，就可以求出這三條線段和的最小值了．他先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，發(fā)現(xiàn)通過旋轉(zhuǎn)可以解決這個問題．他的做法是，如圖2，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)60o，得到，連接，如此的長即為所求． 〔1〕請你寫出圖2中，的最小值為________； 〔2〕參考小華的思考問題的方法，解決如下問題： ①如圖3，菱形中，60o，在菱形內(nèi)部有一點，請在圖3中畫出并指明長度等于最小值的線段〔保存畫圖痕跡，畫出

16、一條即可〕； ②假如①中菱形的邊長為4，請直接寫出當(dāng)值最小時的長． 圖1 圖2 圖3 【練9】 〔2014年西城二?！吃冢瑸殇J角，，平分交于點． 〔1〕如圖1，假如是等腰直角三角形，直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系； 〔2〕的垂直平分線交延長線于點，交于點． ①如圖2，假如，判斷，，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系并加以證明； ②如圖3，假如，求的度數(shù)． 【練10】 (2014年1月西城八年級期末試題—附加題) ：如圖，為

17、銳角，平分，點，點分別在射線和上，. 〔1〕假如點在線段上，線段的垂直平分線交直線于點，直線交直線于點，求證：； 〔2〕假如〔1〕中的點運動到線段的延長線上，〔1〕中的其它條件不變，猜測與的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論. 備用圖1 備用圖2 【練11】 〔2014海淀一模〕在中，，將線段繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，旋轉(zhuǎn)角為，且，連接，． 〔1〕如圖，當(dāng)，時，的大小為__________； 〔2〕如圖2，當(dāng)，時，求的大??； 〔3〕的大小為〔〕，假如的大小與〔〕中的結(jié)果一樣，請直接寫出的大小． 圖1 圖2 小結(jié)與復(fù)習(xí) 1、旋轉(zhuǎn)的根本模型特征 2、費馬點問題 3、角平分線和垂直平分線輔助線，中點輔助線 4、線段旋轉(zhuǎn)的特點 40 / 40