初中數(shù)學(xué)競賽專題復(fù)習(xí) 第二篇 平面幾何 第11章 比例與相似試題1 新人教版

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1、 第11章 比例與相似 §11.1比例線段 11.1.1★在中，角平分線與交于，，，，求、之長度(用、、表示)． 解析 如圖，易知有，，故，． 11．1．2★已知：等腰梯形中，、分別是腰、的中點(diǎn)，，且交于，求證：． 解析 如圖，不妨設(shè)，則，，故，． 11．1．3★在中，，的平分線交于，過分別作、的平行線交、 于、，和的延長線交于，求證：． 解析 如圖，由，及平分，知，故，因此． 11．1．4★設(shè)為的邊的中點(diǎn)，過作一直線，交、或其延長線于、，又過作，交的延長線于，則． 解析 由平行知． 于是由第一式與最后一式，轉(zhuǎn)化為乘法，即可得結(jié)論． 11．1

2、．5★已知是平行四邊形內(nèi)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作，分別交、于、，又過作，分別交、于、；連結(jié)，交于；連結(jié)，交于．如果，求證：平行四邊形是菱形． 解析 如圖，易知，． 由于，，故，于是，四邊形是菱形． 11．1．6★中，．是的角平分線．是的中點(diǎn)，過作直線平行于交、或延長線于和．求證：． 解析 如圖，易知比靠近，在上，而在延長線上．易知，而，故，同理，也是此值． 評注 不用比例線段的方法是：延長一倍至，則，再證和均為等腰三角形． 11．1．7★凸四邊形中，，，平行于交延長線于點(diǎn)，平行于交延長線于點(diǎn)，連結(jié)、，證明：． 解析 如圖，設(shè)、交于，則由平行線性質(zhì)，知，，同理，，故，故．

3、 11．1．8★★如圖，在中．，、為的三等分角線，交的平分線于、，連結(jié)并延長交于，求證：． 解析 易知關(guān)于對稱． 又設(shè)，則，故，于是由角平分線之性質(zhì)，知，于是． 11．1．9★★梯形中，()，和交于，過作，交、于、，和交于，過作，交、于、．求證：． 解析 ，故，同理，故，同理，兩式相加并整理即得結(jié)論． 11．1．10★設(shè)、、分別是的三邊的長，且，求它的內(nèi)角、． 解析 由條件，得，即，所以． 如圖，延長至，使，于是．因此在與，，且為公共角，所以∽，．而，故． 11．1．11★設(shè)凸四邊形，對角線交于，過作直線與平行，交、及延長線于、、．若，，求．

4、 解析 延長與延長線交于，則有． 設(shè)，則，代人上式，便得．故． 11．1．12★★為等腰三角形底邊上的高，為的平分線，作于，又作與直線交于，求證：． 解析 如圖，設(shè)，，則由角平分線性質(zhì)知， 故． 又取中點(diǎn)，連結(jié)，，，故，，故，從而，故．于是． 11.1.13★★足球場四周有四盞很高的燈，在長方形的四角，且一樣高，求某一運(yùn)動(dòng)員任何時(shí)刻的四個(gè)影子長之間的關(guān)系．跳起來呢? 解析 設(shè)運(yùn)動(dòng)員在矩形球場內(nèi)，如圖(a)，過作，在上，在上，則，或． 又設(shè)燈高為，運(yùn)動(dòng)員身高為，點(diǎn)處的燈造成的影子長為′，如圖(b)，則，得，同理，故四個(gè)影子的關(guān)系是． 跳起來時(shí)，不妨設(shè)腳底離地

5、，此時(shí)點(diǎn)處的燈造成的影子長度為′″，如圖(c)，則 ，，于是 ， 同理，所以′+=仍舊成立． 11．1.14★★求日高公式． 解析 如圖所示，設(shè)太陽高度為，桿′=直立在地上，影子的長度分別為，′′，兩桿距離為．所謂日高公式就是用、、、表示，這里假定大地為平面，且、′′與在同一平面上． 易知，代入得，故；同理，′．由′′，代入得，由此解得． 11.1.15★★設(shè)梯形ABCD，E、F分別在AB、CD上，且，若，，，，梯形和梯形的周長相等，求． 解析 如圖，作平行四邊形，在上，則，．設(shè)與交于． 易知梯形的周長為的周長加上6，梯形的周長為梯形的周長加6，故的周長=梯形的周長

6、，也即周長的一半即． 又，故．，． 11．1．16★★如圖，已知中，、交于，、交于，過作，交于，交于，求證：． 解析 設(shè)與交于，與直線交于，則． 于是． 11.1.17★四邊形為正方形，、在延長線上，，，、分別是、與的交點(diǎn)．求證：為等腰三角形． 解析 如圖，不妨設(shè)正方形邊長為1，則，，． 作，交于．則． 于是，即為直角三角形斜邊之中點(diǎn)，于是． 11.1.18★★在中，，，，是內(nèi)一點(diǎn)，、、分別在、、上，且，，．若，求． 解析 如圖，延長交于′(同理定義′、′，圖中未畫出)，設(shè)，則，同理，，，由于，故，． 11.1.19★內(nèi)有一點(diǎn)，的延長線交邊于點(diǎn)′，的延長

7、線交邊于點(diǎn)′，的延長線交邊于點(diǎn)′．若，求的值(用表示)． 解析 如圖，設(shè)，，，則，而，即，展開得 ， 故． 11.1.20★已知的三邊長分別為、、，三角形中有一點(diǎn)，過作三邊的平行線，長度均為，試用、、來表示． 解析 設(shè)延長后與交于′(同理定義′與′)，則，同理， ，三式相加，得， 所以． 評注 存在的條件是，，，代人得：、、可組成三角形三邊之長． 11.1.21★已知、、分別是銳角三角形的三邊、、上的點(diǎn)，且、、相交于點(diǎn)，．設(shè)，，，，求的大小． 解析 由熟知結(jié)論，得，因此，即 =24． 11.1.22★如圖，正方形邊長為1，為延長線上一點(diǎn)，與、分別交于點(diǎn)、

8、，(點(diǎn)是與交點(diǎn))與交于點(diǎn)，若，求的長． 解析 連結(jié)，則由，得，于是，，為中點(diǎn)，所以． 11.1.23★★如圖，已知，、分別在、上，則下面任兩條可推出第三條： (1)、、共點(diǎn)；（2）；（3）． 解析 (1)，(2)(3)：，則，故． （2），（3）（1）：，故可設(shè)、延長后交于，、延長后交于，，與重合． (1)，(3)(2)：若與不平行，作，在上，在上，則有，得，即，矛盾． 11.1.24★中，為的平分線，在、上取，、分別為、的中點(diǎn)，則． 解析 如圖，連結(jié)，設(shè)中點(diǎn)為，連結(jié)、，則，所以，且． 取上的點(diǎn)，使，則等腰∽等腰，且對應(yīng)邊，，故第三邊也平行，即． 11.1

9、.25★★★已知：中，，為上一點(diǎn)，且非中點(diǎn)，，為中點(diǎn)，求證：，平分． 解析 如圖，作，與延長線交于，延長交于，則由，，有．又，故． 由條件，知，于是，，四邊形乃等腰梯形(若四邊形是菱形，則，為中點(diǎn)，與題設(shè)矛盾)，． 又為中點(diǎn)，顯然(比如由全等)有． 11．1．26★★★已知、分別為矩形的邊、的中點(diǎn)，延長線上有一點(diǎn)，延長后與交于．求證．平分． 解析 如圖，設(shè)與交于，則，過作，交于，則． 又，，故，于是，由于將垂直平分，于是． 11.1.27★★在中，，求證：，、、為的對應(yīng)邊長． 解析 如圖，延長至，使，于是，故，．中，，則．又由角平分線性質(zhì)，得，，代人前式，得，即得

10、結(jié)論． 評注 中，，證明如下：延長至，使，于是或． 11．1.28★★已知，、分別是、上任兩點(diǎn)，、延長后交于，、延長后交于，求證：若，則、、共點(diǎn)；若，則． 解析 如圖，設(shè)，，，，延長、分別與交于、，設(shè)．由知，同理，即，，于是，，或．若，則，又，做；，由，得、、共點(diǎn)（見題11.1.23）． 11.1.29★★正三角形，、、是、、的中點(diǎn)，、、分別在、、上，、、共線，、、共線，、、共線，求． 解析 如圖，不妨設(shè)邊長為2，，，，則，，． 由，得，同理，1，于是，，，． 所以，． 11．1．30★★任給銳角，問在、、上是否各存在一點(diǎn)、、，使，，? 解析 這樣的是

11、存在的．作法如下：在上任取一點(diǎn)′，作′′于′，分別過′、′作、的垂直線交于點(diǎn)′． 若′恰在上，則′、′、′，即為滿足條件的三點(diǎn)、、；若，′不在上，設(shè)、′，所在直線與交點(diǎn)為(因?yàn)槭卿J角三角形，所以交點(diǎn)必在上)，過分別作、的垂線交、于、，則，，連結(jié)，易知，得′′，由作法′′，所以，、、滿足條件． 11.1.31★★★已知凸四邊形內(nèi)有一點(diǎn)，、、、的平分線分別交、、 、于、、、，求證：四邊形為平行四邊形的充要條件是為、的中垂線的交點(diǎn)． 解析 若為、的中垂線之交點(diǎn)，則，，于是，于是，同理，又同理，故四邊形為平行四邊形． 反之，若四邊形為平行四邊形，由于，故由梅氏定理，若、不與平行

12、，它們將與交于同一點(diǎn)，這與矛盾，因此，，同理，故在、的中垂線上． 11．1．32★★★已知梯形中，，、分別在、上，求證：若，則．又此時(shí)若、交于，、交于，問三直線、、共點(diǎn)的條件． 解析 如圖(a)，不妨議、延長后交于，于是有，． 于是，由此可得，故． 因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危^的中點(diǎn)，若、、共線，則由塞瓦定理，有．下面刻畫或的位置，如圖(b)，設(shè)與交于，，則由，，而，，故，此即． 11.1.33★★如圖，已知中，、、交于，，延長后與的延長線交于，求證：． 解析 作，與交于，與交于，則由平行，知，故，于是． 11.1.34★★★已知，、、是角平分線，、在上，且，求

13、證：平分． 解析1 設(shè)內(nèi)心為，與交于，與交于，連結(jié)，交于．由角平分線及平行性質(zhì)，有，故有，又，故∽，于是，于是平分． 解析2 由角平分線性質(zhì)，知，，于是．又易見，，故，于是，以下同解析1． 評注 注意解析1更好些，因?yàn)橹灰笃椒郑灰笫莾?nèi)心，本題結(jié)論也成立．于是本題的逆命題是，由平分得出平分，而不能證明是內(nèi)心．這個(gè)逆命題也是正確的，讀詩者不妨一試． 11．1．35★★為內(nèi)一點(diǎn)，、在上，、在上，線段、交于．若，則平分，反之亦然． 解析 如圖，作平行四邊形，、分別在、上．設(shè)，． 此時(shí)易得，因此，于是．但，故．所以平行四邊形是菱形，為之平分線． 反之，可設(shè)所作平行四邊

14、形為菱形．設(shè)菱形邊長為，則，即得．同理，，于是命題得證． 11．1．36★★已知，三邊分別為、、，是角平分線．求之長(用、，表示) 解析 如圖，延長至，使，于是、、、共圓，又∽，故==． 設(shè)，，則，，故 ． 11．1．37★★在中，、三等分，且2，3，6，求的長． 解析 如圖，設(shè)，，則由角平分線性質(zhì)知，． 由于，即，同理， 消去，得． 11．1．38★★★已知平行四邊形，點(diǎn)是點(diǎn)在上的垂足，點(diǎn)在上，，，點(diǎn)在上，點(diǎn)是與的交點(diǎn)，又延長后與的延長線交于點(diǎn)，求證：． 解析 如圖，作．對與來說，，，而，如果能證明兩三角形(順向)相似，那么第三組對應(yīng)邊與就垂直了，于是只需證

15、明或．事實(shí)上設(shè)、延長后交于點(diǎn)，且設(shè)，則易知，，于是，又，故，于是，代人上式，即得． §11.2相似三角形 11．2．1★已知，是中點(diǎn)，、在的同側(cè)，且，，證明：． 解析 如圖，易知． 又∽，故，于是∽，故． 11．2．2★已知=′+′，，則′，． 解析 如圖，作與′′′，使，′′，，′，則由條件′，且，故∽′′′，從而′，′．此即′，′． 評注 這個(gè)結(jié)果用途極廣． 11．2．3★線段分為兩個(gè)相似的三角形，相似系數(shù)等于，求的各內(nèi)角． 解析 如圖，不妨設(shè)∽，比較“大”． 由于>及，故只能有，于是． 不可能(否則≌)，故，，，，因此三內(nèi)角為：、、． 11．2．4★★設(shè)中，在在上，且，求證：∽． 解析 過作，是是一點(diǎn)．于是，代入條件并整理，即得． 又，于是∽，于是，故∽． 19