初中數(shù)學(xué)競賽專題復(fù)習(xí) 第一篇 代數(shù) 第3章 一元方程試題2 新人教版

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1、 一元方程 ⑵求的最在大值． 解析 因為方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以 ， 即． 結(jié)合題設(shè)知． ⑴因為 所以， 即， 解得． 由于，故． ⑵ ． 設(shè)，．因為在上是遞減的，所以當(dāng)時，的最大值為10． 故的最大值為10． 3.3.13★★★設(shè)、、為互不相等的實數(shù)，且滿足關(guān)系式 ， ① 及， ② 求的取值范圍． 解析1 由①②得 ， 所以． 當(dāng)時， ． 又當(dāng)時，由①、②得 ， ③ ， ④ 將④兩邊平方，結(jié)合③得 ，化簡得 ， 故， 解得，或． 所以，的取值范圍為且，． 解析2 因為

2、，，所以 ， 所以 ． 又，所以、為關(guān)于的一元二次方程 ⑤的兩個不相等實數(shù)根，故 ，所以． 當(dāng)時， ． 另外，當(dāng)是時，由⑤式有 ，即，或， 解得，或． 所以，的取值范圍為且，． 3.3.14★★求使得關(guān)于的方程恰有一個實數(shù)根的所有實數(shù)． 解析 原方程寫成關(guān)于的一元二次方程， ， 即， 所以， 所以無實數(shù)解，由判別式知． 3.3.15★★★已知實數(shù)、、滿足，及，求的最小值． 解析 已知，由題設(shè)知，且，所以、是如下關(guān)于的一元二次方程的兩個根： ， 故， ， 即，所以． 于是，，從而，故 ， 當(dāng)，，時等號成立． 所以，的最小值為3

3、0． 3.3.16★★已知實數(shù)、、滿足： 求證：． 解析 構(gòu)造以、為兩實根的一元二次方程，含在這個方程的系數(shù)里，利用可證得． 由題設(shè)條件知 ， ， 于是，、是關(guān)于的一元二次方程的兩個實根，所以 ， 得 ． 3.3.17★★★設(shè)實數(shù)、、滿足 ，． 求證：、、中必有一個大于． 解析 由及知，、、三個數(shù)中，一定是一正二負．不妨設(shè)，，． 由題設(shè)得 ，， 于是、是關(guān)于的一元二次方程的兩個實根， ， 因為，所以，故 ． 評注 利用韋達定理，結(jié)合判別式是初中階段處理不等式問題的常用技巧．請大家熟練掌握． 3.3.18★★滿足的所有實數(shù)對中，的最大值是多少？

4、 解析 設(shè)，則，代入已知等式得 ， 即， 將它看成關(guān)于的一元二次方程．因是實數(shù)，所以 ， 即． ① 令，得，所以①的解為 ， 即的最大值是，這時 ，． 3.3.19★★、為實數(shù)，且滿足，求的最大值和最小值． 解析 由于， 所以， 上式可以看成關(guān)于的一元二次方程．因為實數(shù)，所以 ， 即， ． 解得 ． 當(dāng)時，代入中，得 ，即時，有最小值． 當(dāng)時，代入，得，即時，有最大值． 3.3.20★★實數(shù)、、滿足，且對任何實數(shù)，都有不等式 ， 求證：，，． 解析 因為對任何實數(shù)，有 ， ， 當(dāng)時，便有 ， 所以． 由于，于是 ，于是、是一元二

5、次方程 所兩個實數(shù)根，所以 ， 即， 所以． 同理可證，，． 3.3.21★★實數(shù)、、滿足，，求的最大值． 解析 因為，，所以、是關(guān)于的一元二次方程 的兩實根． 故，即 ，． 所以，當(dāng)時，．故的最大值為． 3.4一元二次方程根的分布 3.4.1★若二次方程的兩個根都大于2，求實數(shù)的取值范圍． 解析1 作代換，則可把已知方程化成關(guān)于的二次方程，既然已知方程的兩個根都大于2，那么關(guān)于的方程都是正根． 令，則．代入已知方程，得 ， 即． 因為已知方程的兩個根都大于2，所以上面關(guān)于的二次方程的兩根都是正數(shù)，故 解方程組，得．這就是所求的的取值范圍． 解析

6、2 考察的圖象（如圖），因的兩根、都大于2，故它的對稱軸在直線的右側(cè)，頂點不在軸的上方，且當(dāng)時，，即 反過來，上面三個條件滿足后，的兩根必都大于2．解上述不等式組，得的取值范圍為． 3.4.2★設(shè)關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根、，且，求的取值范圍． 解析 由于方程有兩個不相等的實根，故，原方程可變形為 ． 記，則這個拋物線開口向上，因，故當(dāng)時，，即．解得． 3.4.3★★已知關(guān)于的實系數(shù)二次方程有兩個實數(shù)根、．證明：如果，，那么且． 解析 由韋達定理（根與系數(shù)的關(guān)系），有． 另一方面，由函數(shù)的圖象（如圖）易知函數(shù)在時均為正值，即 ， 從而 ． 3.4.4★★

7、已知、、、是實數(shù)，為了使二次方程 與 都有實根，并且其中任一方程的兩根被另一方程的根分隔開業(yè)，系數(shù)、、、應(yīng)滿足什么條件？ 解析 ，的圖象都是開口向上，且形狀大小相同的拋物線（如圖）． 因為的兩根被的兩根分隔開來，所以，兩條拋物線在軸下方有一個公共點．反過來，兩條拋物線在軸下方有一個公共點也能推知與都有實根，且其中任一方程的兩根被另一方程的根分隔開來． 由得．在的條件下，．這就是兩條拋物線公共點的橫坐標(biāo)．故 ， 即． 反之，當(dāng)上面不等式成立時，必有．故上面的不等式即是所求的條件． 3.4.5★★方程（是常數(shù)）有兩實根、，且，，那么的取值范圍是（ ）． A． B．

8、C．或 D．無解 解析 用根與系數(shù)關(guān)系． 設(shè)，則原方程變?yōu)? ，整理，得 ． 原方程兩根為、，所以上述方程的兩根為 ，， 又因為，，所以 ，， 即，， ① 所以， ② 解得． ③ 又 ， ④ 即， 亦即， 解得 或． ⑤ 又由 ⑥ 得， 即， 解得或． ⑦ 可證明，滿足②、④、⑥的、必滿足①，所以的范圍是③、⑤、⑦的公共部分，即 或． 故應(yīng)選． 3.4.6★★已知方程有一個根小于，另一個根大于0，求的取值范圍． 解析 設(shè)，則的圖象為開口向上的拋物線，該拋物線與軸的一個交點在左側(cè)，另一個交點在0右側(cè)的位置，如圖所示．

9、 因此，一個根小于，另一個根大于0的等價條件是 ．故的取值范圍為． 3.4.7★設(shè)二次方程的系數(shù)、、都是奇數(shù)．它的兩個實根、滿足，．若，求、． 解析 設(shè)，，則有 從而 因為，，，，那么，． 因為是奇數(shù)，得，從而．又因為，且是奇數(shù)，則，．因此．方程的根 ，滿足要求． 當(dāng)時，二次方程的系數(shù)仍是奇數(shù)，判別式，且兩個實根與的相同．因為它的二次項系數(shù)，故應(yīng)用上一段的結(jié)果，的兩個實根是，．這也就是所求的的根． 3.4.8★★★設(shè)二次函數(shù)，方程的根為、，且，當(dāng)時，試比較與的大小關(guān)系． 解析1 已知方程，整理為 ． 由韋達定理得 根據(jù)題意，則 ， 所以， 得到．

10、 ① 又是方程的根，則 ， 由①可知． 又因為開口向上，在時是單調(diào)遞減的，且由題意 ， 因此． 解析2 由已知方程的兩根為、，則有 ， 即． 因為 ， 由題意， 得． ② 又由 ， 可得， ， ， ． ③ 綜合②、③，有，所以． 評注 題目要求比較與的大小，解析1是去比較與的大小關(guān)系，利用不等式得到，從而解決此題．而解析是利用已知二次方程的兩根，把函數(shù)寫成的形式，通過作差比較來解決此題的． 3.4.9★★若關(guān)于的方程至少有一個實根大于0且小于1，求實數(shù)的取值范圍． 解析 設(shè)方程的兩根為、且，那么由根與系數(shù)的關(guān)系得，故 ．

11、 由此可知，或，，或，． 記，則的圖象如圖1或圖2所示．故方程至少有一個實根大于0且小于1等價于（注意：在第二種情況中由可推出）： 或或或，． 故的取值范圍為． 評注 ⑴不等式組中，表示拋物線的頂點在軸下方或在軸上，這個不等式也可用代替； ⑵分類討論是數(shù)學(xué)解題的一種重要方法，我們要留意這方面的培養(yǎng)和訓(xùn)練； ⑶本題也可不求另一根的取值范圍，直接對拋物線的對稱軸的位置進行分類討論．即分，，，四種情況分別求出方程至少有一個實根大于0且小于1的的取值范圍，然后合并得解． 3.4.10★★★若關(guān)于的方程的所有根都是比1小的正實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍． 解析 首先，題目沒有指明已知方

12、程為二次方程，因此對二次項系數(shù)應(yīng)分等于零不等于零兩種情況討論．對的情況，再借助于二次函數(shù)的圖象及不等式求出的取值范圍． ． 當(dāng)時，原方程為，，滿足條件． 當(dāng)時，原方程為，，不滿足條件． 當(dāng)時，已知方程為二次方程，且可化成 ． 設(shè)，則二次方程的兩實根都是比1小的正數(shù)，等價于該拋物線與軸的兩個公共點（包括兩個公共點重合）都在大于0且小于1的范圍內(nèi)（如圖），由此得 ． 綜上所述，所求的的取值范圍為或． 3.4.11★★★使關(guān)于的不等式 成立的的最小值為，試求的值． 解析 已知不等式即．按題設(shè)是它最小的解，因而該不等式的解必成的形狀，其中和都不等式相應(yīng)的二次方程的實根

13、（這里能允許，即二次方程有兩個相等實根，由已知不等式得） ， 是這個不等式的最小解，故上列不等式的解是，這里、都是二次方程的根．于是有 ， 即． 解之，得或． 當(dāng)時，已知不等式即，它的解為，滿足題意． 當(dāng)時，已知不等式即，它的解為，滿足題意． 綜上所述，的值為或． 評注 解得或后，檢驗6或是否滿足題意是必須的．這是因為當(dāng)時僅知當(dāng)或時，方程有一個根為，而不知道另一實根是否不小于． 3.4.12★★設(shè)、是整數(shù)，且方程 的兩個不同的正數(shù)根都小于1，求的最小值． 解析 已知方程有兩個不同正數(shù)根，又，已知方程可化成 ． 記，則的兩個不同正數(shù)根都小于1等價于 為整數(shù)，

14、，故為正整數(shù)，，于是 ． 于是 當(dāng)時，，不存在；當(dāng)時，，整數(shù)不存在；當(dāng)時，，整數(shù)可?。畵Q句話說，方程符合題目要求，故的最小值為3． 3.4.13★★★★設(shè)實數(shù)、、、滿足條件 ， 且，，求證：方程有一根，滿足． 解析 當(dāng)時，若，方程的根為，又，則，即；若，則，那么任何實數(shù)都是原方程的根，因此必有一根使得． 當(dāng)時，令，則有．若，則，所以必有一根滿足；若，則，所以必有一根滿足． 3.4.14★★★已知、、為實數(shù)，，并且．證明：一元二次方程有一個介于與1之間． 解析 由題意，可以不妨設(shè)（否則多項式乘以，并用、、代替、、即可），則由得． 考慮運用二次函數(shù)圖象特點轉(zhuǎn)化問題為證明函

15、數(shù)有，． 由 可得， 即有， ． 又由 可得， 即有． 因此，函數(shù)的圖象與軸必有一個交點，它的橫坐標(biāo)在與1之間，即方程必有一根介于與1之間． 3.5一元二次方程的整數(shù)根 3.5.1★★設(shè)、為質(zhì)數(shù)，且方程 有整數(shù)解，求、的值． 解析 設(shè)是方程的整數(shù)解，是方程的另一個解．則 由為整數(shù)及①知，也是整數(shù)，且，，故、都是負整數(shù)． 利用②及為質(zhì)數(shù)，可知，和及對稱的情形，于是，或．由①及為質(zhì)數(shù)，可知只能是．如果為奇數(shù)，則為偶數(shù)，結(jié)合為質(zhì)數(shù)知，導(dǎo)致，矛盾．所以為偶數(shù)，故，． 3.5.2★★已知是質(zhì)數(shù)，使得關(guān)于的二次方程的兩根都是整數(shù)，求出所有可能的的值． 解析 因為

16、這是一個系數(shù)一元二次方程，它有整數(shù)根，所以 為完全平方數(shù)，從而為完全平方數(shù)． 令，由于，所以． ， 因為為質(zhì)數(shù)，且，故只可能 或 解得或 當(dāng)時，原方程為，，； 當(dāng)時，原方程為，，． 故和都滿足條件．于是所有可能的值為或． 評注 利用是完全平方數(shù)，進而解一個不定方程是求解一元二次方程整數(shù)根的常用方法． 3.5.3★★已知、、都是整數(shù)，且對一切實數(shù)，都成立，求所有這樣的有序數(shù)組． 解析 恒成立，即恒成立，這說明有兩個整數(shù)根、．所以 是一個完全平方數(shù)，令其為，是正整數(shù)，則 ． 由于與同奇偶，且均大于0，所以 或 解得或 當(dāng)時，方程的兩根為，，；當(dāng)時，，

17、． 所以，滿足條件的有序組共有如下組：，，，． 3.5.4★★★求所有的有理數(shù)，使得關(guān)于的方程 的所有根是整數(shù)． 解析 首先對和進行討論．當(dāng)時，是關(guān)于的一次方程；當(dāng)時，是關(guān)于的二次方程，由于是有理數(shù)，用直接求根的方法或用判別式來解，都有些困難，故可考慮用韋達定理，先把消去． 當(dāng)時，原方程為，所以． 當(dāng)時，原方程是關(guān)于的一元二次方程，設(shè)它的兩個整數(shù)根為、，且，則 消去，得 ， ， 所以或 解得或 所以，或1． 綜上所述，當(dāng)，，時，方程的所有根都是整數(shù)． 3.5.5★★已知是正整數(shù)，且使得關(guān)于的一元二次方程 至少有一個整數(shù)根，求的值． 解析 將原方程變形為 ， 顯然，于是． 由于是正整數(shù)，所以，即 ， ， ， 所以． 當(dāng)，，，0，1，2時，得的值為1、6、10、3、、1． 所以，的值為1、3、6、10． 評注 從解題過程中知，當(dāng)時，有兩個整數(shù)根、；當(dāng)，，10時，方程只有一個整數(shù)根．有時候，在關(guān)于的一元二次方程中，如果參數(shù)是一次的，可以先對這個參數(shù)來求解．本題利用判別式也是可以求解的． 是完全平方數(shù)，故是平方數(shù)，且為奇數(shù)的平方， 令，是正整數(shù)，則． 原方程可化為 ， ， ，． 所以，或，故，，或，． ，，或，． 所以，的值為、、、． 3.5.6★★★關(guān)于的二次方程 19