初中數(shù)學競賽專題復習 第一篇 代數(shù) 第6章 函數(shù)試題3 新人教版

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1、 第6章 函數(shù) ． 令，則 ，． 當時，函數(shù)取最小值，此時有，得． 當時，函數(shù)取最大值 ， 此時，，． 所以，當時，取最小值；當時，取最大值5． 6.5.20★★★ 實數(shù)、、滿足，求的最小值． 解析 令，則 ， 整理得 ， 因為是實數(shù)，所以 ， 即． 所以． 因為是實數(shù)，所以 ， 所以，得． 當時，，，． 所以，的小最小值為（在，，時取到）． 評注 消去成為二元二次多項式，二次使用判別式再消去、，最后得到的范圍，反過來，若，則，所以不等式 有實數(shù)解（存在），所以，所以方程 有實數(shù)解（存在），所以也存在．至此，是的取值范圍． 6.5.

2、21★★ 求函數(shù) 在上的最小值、最大值． 解析 ． 所以（在，即時取到），（在，即時取到）． 評注 本題利用配方法、換元法將關于的四次函數(shù)式化為關于的二次函數(shù)式，代換時注意的范圍． 6.5.22★★★ (1)求函數(shù)的最小值和最大值； (2)求函數(shù)的最大值． 解析 （1） ，． 所以，（在或4時取到），（在時取到）． （2）設，則，所以 ． 所以，（在即時取到）． 6.5.23★★ 求函數(shù) 的最小值． 解析 易知定義域為或． 因為在上遞減，在上遞增，所以在上遞減，在上遞增． 所以， ． 所以，（在時取到）． 評注 本題的函數(shù)可看成兩

3、個函數(shù)的和．而這兩個函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性是一致的，利用“單調(diào)性一 致的兩個函數(shù)的和仍具有相同單調(diào)性”這一性質(zhì)求出各個單調(diào)區(qū)間上的最小值，再比較得出結(jié)論． 6.5.24★★ 求函數(shù) 的最小值和最大值． 解析 先求定義域．由 得． ，． 當，且增加時，增大，而減小，于是是隨著的增加而減小，即在區(qū)間上是減函數(shù)．所以 ， ． 6.5.25★★★ 已知實數(shù)、滿足，求 的最小值和最大值． 解析 因為，所以 ， 又當時，，故． 又因為 ， ① 所以，又當，時，．所以 評注 1．本題所用的方法是不等式法．先用不等式估計出的上、下界，再舉例說明所

4、得的上、下界是可以達到的，從而這就是所要求的最大值和最小值． 2．式①這個不等式大家經(jīng)常忽略，其實我們可以利用不等式 來解決與之間的上、下界關系． 6.5.26★★ 設是正實數(shù)，求函數(shù)的最小值． 解析 先估計的下界． ， 又當時，，所以，的最小值為1． 評注 在求最小(大)值，估計了下(上)界后，一定要舉例說明這個界是能取到的，才能說這就是最小(大)值，否則就不一定對了．例如，本題我們也可以這樣估計： ， 但無論取什么值時，取不到－3，即－3不能作為的最小值． 6.5.27★★ 設、是實數(shù)，求的最小值． 解析 先將看作是的二次函數(shù)(把看作常數(shù))，進行配方后，再

5、把余下的關于的代數(shù)式寫成的二次函數(shù)，再配方后，便可估計出下界來． ， 又當，時，，所以，的最小值為－1． 6.5.28★★ 對實數(shù)、，求代數(shù)式的最小值． 解析 因為 ， 當，時等號成立，故所求的最小值為． 6.5.29★★ 若是實數(shù)，求的最大值． 解析 由得，．設，則 ， ， ， 所以，，故，當時等號成立．所以，最大值為． 6.5.30★★ 已知實數(shù)、滿足等式，求的最大值和最小值． 解析 令，則，于是有 ． 因為，所以上述關于的二次方程有實數(shù)解，從而推知 ， 即． 當時，代入關于的方程得 ， 即，． 當時，得 ，． 所以當，時，取得最

6、小值；當，時，取得最大值． 6.5.31★★★ 求函數(shù)的最大值和最小值． 解析 由，得．由 ， 故，當時等號成立．故的最小值是． 又因為 ， 故，當時等號成立．故的最大值是． 評注 本題求最大值時用了一個不等式： ． 6.5.32★★ 若，求的最小值． 解析 設，則，，，于是，，，把它們相加得， 故，． ， 當，時，等號成立． 所以，的最小值為－19． 6.5.33★★ 已知，求的最大值和最小值． 解析 令，則，，于是 ，． 所以，當，即時，取最大值；當時，即時，取最小值2． 6.5.34★★ 已知邊長為4的正方形截去一個角后成為五邊

7、形(如圖)，其中，．試在上求一點，使矩形有最大面積． 解析 設矩形的邊，于是矩形的面積 ，． 易知，，且有 ， 即， 所以， ，． 二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為，故當時，函數(shù)值是隨的增加而增加，所 以，對滿足的來說，當時有最大值 ． 6.5.35★★★ 實數(shù)、、使得對于所有滿足的實數(shù)，都有，求的最大值． 解析 不妨設，用代替，得，不改變它的界和，故設． 令，由，，可得，． 若，則． 若，則 ， 故． 又當時，滿足題設條件，且．所以．所以，所求的最大值為300． 6.5.36★★★★ 某環(huán)形道路上順時針排列有4所中學、、、，它們順次有彩電15臺、8臺

8、、5臺、12臺，為使各校的彩電數(shù)相同，允許一些中學向相鄰中學調(diào)出彩電，問怎樣調(diào)配才能使調(diào)出的彩電總臺數(shù)最小?并求出調(diào)出彩電的最小總臺數(shù)． 解析 設中學調(diào)給中學臺彩電(若為負數(shù)，則認為是中學向中學調(diào)出臺彩電，下同)，中學凋給中學臺彩電，中學調(diào)給中學臺彩電，中學調(diào)給中學臺彩電． 因為共有40臺彩電，平均每校10臺，因此 ，， ，， 即 我們將、、都用來表示，即得 因此，本題要求的最小值，其中，且為整數(shù)，為方便起見，我們分情況討論如下： 的范圍 的表達式 最小值及 對應的值 當時 有最小值14 當時 有最小值0 10 當時 取最小值0

9、 無最小值 由上表可知，當時，取得最小值10． 又由于是正整數(shù)，即當，3，4，5時，有最小值10． 當時，，，； 當時，，，； 當時，，，； 當時，，，． 故有如下四個方案，且調(diào)出的彩電最小總數(shù)為10． 6.5.37★★ 某人租用一輛汽車由城前往城，沿途可能經(jīng)過的城市以及通過兩城市之間所需的時間 (單位：)如圖所示．若汽車行駛的平均速度為，而汽車每行駛需要的平均費用為1.2元，試指出此人從城出發(fā)到城的最短路線(要有推理過程)，并求出所需費用最少為多少元? 解析 從城出發(fā)到達城的路線分成兩類： (1)從城出發(fā)到達城，經(jīng)過城． 因為從城到城所需最短時間為，從城到

10、城所需最短時間，所以，此類路線所需最短時間為 ． (2)從城出發(fā)到達城，不經(jīng)過城． 這時從城到達城，必定經(jīng)過、、城或、、城，所需時間至少為． 綜上，從城到達城所需的最短時間為，所走的路線為 ． 所需費用最少為80×48×1.2=4608(元)． 6.5.38★★★ 市、市和市分別有某種機器10臺、10臺和8臺．現(xiàn)在決定把這些機器支援給市 18臺，市10臺．已知：從市調(diào)運一臺機器到市、市的運費分別為200元和800元；從市調(diào)運一臺機器到市、市的運費分別為300元和700元；從市調(diào)運一臺機器到市、市的運費分別為400元和500元． (1)設從市、市各調(diào)臺到市，當28臺機器全部調(diào)運

11、完畢后，求總運費(元)關于(臺)的函數(shù)式，并求的最小值和最大值； (2)設從市調(diào)臺到市，市調(diào)臺到市，當28臺機器全部調(diào)運完畢后，用、表示總運費 (元)，并求的最小值和最大值． 解析 (1)由題設知，市、市、市發(fā)往市的機器臺數(shù)分別為、、，發(fā)往市的機器臺數(shù)分別為、、．于是 ． 又，所以所以 5≤≤9，所以 （5≤≤9，是整數(shù)）． 由上式可知，是隨著的增加而減少的，所以當時，取到最小值10 000元；當時，取到最大值13 200元． (2)由題設知，市、市、市發(fā)往市的機器臺數(shù)分別為、、，發(fā)往市的機器臺數(shù)分別為、、．于是 ． 又，所以 所以， 且 、為整數(shù)．

12、 ． 當，時，，所以的最小值為9800．又 ， 當，時，，所以的最小值為14200． 6.5.39★★★ 設，，…，是整數(shù)，并且滿足： （1），1，2，…，； （2）； （3）； 求的最大值和最小值． 解析 設，，…，中有個－1，個1，個2，由題設得 可得 所以 故． ， 所以． 又當，，時，；當，，時，，所以的最小值為19，最大值為133． 6.5.40★★★求函數(shù) 的最大值，并求此時的值，其中表示不超過的最大整數(shù)． 解析 設，，則 ， 這里是的小數(shù)部分，． ． 因為，所以．故當，即（是整數(shù)）時，取最大值． 6.5.41★★ 求的最小

13、值． 解析 在直角坐標系中，設、、，則 ，． 所以，． 當且僅當、、三點共線時等號成立． 即當且僅當、、三點共線時原式取最小值． 此時，如圖，易知，故有， 從而． 故當時，的最小值為10． 6.5.42★★★ 已知實數(shù)、、滿足，． （1）求、、中的最大者的最小值； （2）求的最小值． 解析 （1）不妨設．則由題設知，且 ，． 于是、是一元二次方程 的兩實根， ， ， ． 所以． 又，時，滿足題意．故、、中的最大者的最小值為4． （2）因為，所以、、為全大于0或一正二負． (i)若、、均大于0，則 ； （ii）若、、為一正二負，設，則、均小于0

14、． ， 由（1）知，，故．當，時，等號成立．故的最小值為6． 6.5.43★★★ 整數(shù)，，，…，，滿足條件：，，，…，，求的最小值． 解析 由已知可得， 于是 ， 又，則 ， 即 ． 由為整數(shù)可得是偶數(shù)，比較與的大小，可得 ． 當，，，，，…，時等號成立，所以的最小值為34． 6.5.44★★★ 設、、、、是正整數(shù)，且滿足 ， 求的最大值． 解析 由條件等式的對稱性，不妨設，由題設，有 ， 由此得， 即． 若，則，此時題設等式成為，矛盾． 若，則，即．當時，容易解得，，是滿足條件的解，即是能達到的． 所以，的最大值是5． 6.5.

15、45★★★ 實數(shù)、使得關于、的方程組 有實數(shù)解． （1）求證：， （2）求的最小值． 解析 （1）由方程①知，，且，所以，當時，，當時，，故． （2）將代入方程②，得 ， 所以． 因方程組有實數(shù)解，所以方程在或的范圍內(nèi)至少有一個實根． （i）當，有，或． 即，或． 若，即時，，由此得，所以 ． 當時，上述不等式等號成立，此時． 若，即時，對于滿足或的任意實數(shù)，均有． （ii）當時，則． 綜上，的最小值為． 6.5.46★★★★ 設函數(shù)定義為 求在區(qū)間上的最大值． 解析 因為， 即． 由定義知．下面證明 ，． （1）若，且是無理數(shù)，則

16、． （2）若，且是有理數(shù)，設，其中，．由于 ，所以 故， ， 所以， 因此 ． 綜上所述，在區(qū)間上的最大值為． 6.5.47★★★ 關于、、的方程組 有實數(shù)解(，，)，求正實數(shù)的最小值． 解析 由第一個方程得，進而由第二個方程得 ． 由得 ， 即． 由此可見，開口向上的拋物線 經(jīng)過不在軸上方的點（，），從而該拋物線與軸有公共點． 所以，，即，（因為）． 又當時，，，． 所以，的最小值為． 6.5.48★★★★ 設、、是正整數(shù)，關于的一元二次方程的兩實數(shù)根的絕對值均小于，求的最小值． 解析 設方程的兩實數(shù)根為、，由韋達定理知，、均為

17、負數(shù)．由，得，所以，得，故． 又，所以，，故． （1）當時，由，及知，或12，．但方程有根，不合題意；方程的兩根為、，也不合題意． （2）當時，由，及知，11，12，13，14，15，16，．故由 ， 得，易知 （11，12，…，16）為增函數(shù)，，而，故只能為16．此時 ， 而的兩根為滿足題意． （3）當時，，所以，于是 ． 若，只能，，，此時方程的兩根為，，不合題意，故此時． 綜上所述，的最小值為25． 6.5.49★★★★ 求滿足下述條件的最小正實數(shù)：對任意不小于的4個互不相同的實數(shù)、、、，都存在、、、的一個排列、、、，使得方程 有4個互不相同的實數(shù)根．

18、解析 所求最小正實數(shù)． 一方面，若，取、、、，使得，，，，則對（，，，）的任意排列（，，，），方程的判別式 ， 該方程無實數(shù)根．所以，． 另一方面，設、、、是不小于4的4個不同實數(shù)，不妨設，考察方程 , ① 和． ② 首先，，，故①、②都有兩個不同實根． 其次，若①與②有公共實根，則 兩式相減，得，這時，，矛盾．所以，①與②沒有公共實根，從而符合要求． 綜上，問題的答案為． 6.5.50★★★ 設、、、、是非負實數(shù)，使得 ， 是，，和中的最大值，求的最小值． 解析 由題設知 ,,, 所以， ， 所以． 又當，時， ． 所以

19、，的最小值為． 評注 欲求的最小值，先估計的下界，即找到一個常數(shù)，使，然后再具體構(gòu)造一個實例： ，，，，分別等于什么時，，這樣的最小值就是． 6.5.51★★★ 已知、、、是正數(shù)，滿足 ． 用表示，，，中的最大者，求的最小值． 解析 顯然， ． 另一方面，當時，．所以的最小值為3． 評注 本題利用了這樣一個事實：個正數(shù)的最大值不小于它們的算術平均． 6.5.52★★★★ 一幢33層的大樓有一部電梯停在第一層，它一次最多能容納32人，而且只能在第2層至第33層中的某一層停一次．對于每個人來說，他往下走一層樓梯感到1分不滿意，往上走一層樓梯感到3分不滿意．現(xiàn)在有32個人在

20、第一層，并且他們分別住在第2至第33層的每一層．問：電梯停在哪一層，可以使得這32個人不滿意的總分達到最小?最小值是多少?(有些人可以不乘電梯而直接從樓梯上樓) 解析 易知，這32個人恰好是第2至第33層各住1人．對于每個乘電梯上、下樓的人，他所住的層數(shù)一定不小于直接上樓的人所住的層數(shù)．事實上，設住層的人乘電梯，而住層的人直接上樓，．交換兩人的上樓方式，其余的人不變，則不滿意總分減少． 設電梯停在第層，在第一層有個人沒有乘電梯而直接上樓，那么不滿意總分為 ． 又當，時，． 故當電梯停在第27層時，不滿意總分最小，最小值為316分． 20