初中數(shù)學(xué)競賽專題復(fù)習(xí) 第一篇 代數(shù) 第6章 函數(shù)試題2 新人教版

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1、 第6章 函數(shù) 6.3.35 ★★★ 已知點、的坐標(biāo)分別為、，點是拋物線上一個動點． （1）判斷以點為圓心，為半徑的圓與直線的位置關(guān)系； （2）設(shè)直線與拋物線的另一個交點為，連結(jié)、，求證：． 解析（1）設(shè)點的坐標(biāo)為，則 ， 而點到直線的距離為 ． 所以，以點為圓心，為半徑的圓與直線相切． （2）過點、分別作直線的垂線，垂足分別為、，由（1）知，，同理可得，． 因為，、、都垂直于直線，所以，，于是 ， 于是 ， 所以，，于是，從而 ． 6.3. 36 ★★★ 已知拋物線和拋物線相交于、兩點，是在拋物線上且位于和之間的一點，是在拋物線上且位于和之間的一點．

2、 （1）求線段的長； （2）當(dāng)軸時，求長度的最大值． 解析（1）解方程組 得 所以，點、的坐標(biāo)分別是、，于是 ． （2）當(dāng)軸時，可設(shè)點、的坐標(biāo)分別為、， ， 于是 ， 當(dāng)時等號成立．故的長的最大值為8． 6.3.37 ★★★★ 求使得不等式，當(dāng)時恒成立的實數(shù)對． 解析 令），此二次函數(shù)圖象的對稱軸為，開口向上． （1）當(dāng)時，有， 由②、③，得 ． 于是，，這與式①矛盾． （2）當(dāng)時，有 ， 由⑤、⑥，得 ． 于是，． 結(jié)合式④，得，從而，即為所求的實數(shù)對． （3）當(dāng)時，有 ， 即 由⑧、⑨，得 ，， 與式⑦矛盾． （4

3、）當(dāng)時，有 ， 即 由、，得 ，即， 與式⑩矛盾． 綜上得滿足題設(shè)條件的數(shù)對為． 6.3.38 ★★★ 設(shè)是正整數(shù)．如果二次函數(shù) 和反比例函數(shù)的圖象有公共整點（橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點），求的值和對應(yīng)的公共整點． 解析 聯(lián)立方程組 消去得 ， 即，分解因式得 ． ① 如果兩個函數(shù)的圖象有公共整點，則方程①必有整數(shù)根，從而關(guān)于的一元二次方程 ② 必有整數(shù)根，所以一元二次方程②的判別式應(yīng)該是一個完全平方數(shù)，而 ． 所以應(yīng)該是一個完全平方數(shù)，設(shè)（其中為非負(fù)整數(shù)），則 ． 即 ． 顯然與的奇偶性相同，且，而， 所以 或或 解得或或 而

4、是正整數(shù)，所以只可能或 當(dāng)時，方程②即，它的兩根分別為2和，易求得兩個函數(shù)的圖象有公共整點和． 當(dāng)時，方程②即，它的兩根分別為1和，易求得兩個函數(shù)的圖象有公共整點（1，-25）和（-25．1）． 6.3.39 ★★★ （1）證明：若二次函數(shù)的值當(dāng)，，時均是整數(shù)，則對任何整數(shù)、的值也是整數(shù)； （2）若對任何整數(shù)，的值是整數(shù)，、、是否必是整數(shù)？ 解析（1）由條件，、、都是整數(shù)，因此 與 是整數(shù)， ， ． 也是整數(shù)． 當(dāng)是偶數(shù)時，設(shè)，則 ， 因為、、、是整數(shù)，所以是整數(shù)． 當(dāng)為奇數(shù)時，設(shè)，則 仍是整數(shù)． （2）因為時，故必是整數(shù)，但、不一定是整數(shù)．例如

5、函數(shù) ． 由于對任何整數(shù)，與中必有一個是偶數(shù)，因此是整數(shù)，的值必是整數(shù)．但這個函數(shù)的系數(shù)不全是整數(shù)． 6.3. 40 ★★★★ 給定二次三項式．已知方程有四個不同實根，且其中兩個根的和等于．證明：． 解析 我們用、表示方程，的根，、表示方程的兩個和為的根．后一方程的根的集合等于方程與根的集合的并集．如果、同時是這兩個方程中的某一個的根，由韋達(dá)定理，．故．這推出．再利用方程的判別式非負(fù)，得，這推出． 現(xiàn)在考慮另一種情況，不失一般性可寫成，．將它們相加得 ． 由韋達(dá)定理和已知條件得，，故 ． 6．4含絕對值的函數(shù) 6.4.1 ★ 作函數(shù)的圖象． 解析 當(dāng)時， ； 當(dāng)時，

6、 ； 當(dāng)時， ． 所以 它的圖象如圖所示． 6.4.2 ★ 把一拋物線在軸上方的部分，改成它關(guān)于軸對稱的圖形，得到圖中實線表示的曲線，則該曲線是下列函數(shù)（ ）的圖象． A． B． C． D． 解析 先按圖象求出原拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)，然后根據(jù)實數(shù)絕對值的意義找出實線所表示的曲線是哪一個函數(shù)的圖象． 原拋物線的頂點為（2，4），開口向下，原拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)可寫成 ，． 圖中實線部分過點，故原拋物線過，于是有，．原拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)是， 即 ． 因此，實線部分是函數(shù)的圖象．選（ D）． 6.4.3 ★ 作函數(shù)的圖象． 解析 當(dāng)或3時，，

7、于是 ； 當(dāng)時，，于是 . 所以 于是，得圖象如圖所示． 6.4.4★★★求下列函數(shù)的最小值： （1）； （2）； （3）． 解析（1）按實數(shù)絕對值的意義 對）而言，的最小值為； 對而言，的最小值為. 由此可見，當(dāng)時，取最小值. （2）根據(jù)第（1）小題的結(jié)論，函數(shù)在時取最小值；又函數(shù)顯然在時取最小值0． 故在對取最小值． （3）根據(jù)第（1）小題的結(jié)論，函數(shù)在時取最小值；函數(shù)在時取最小值；函數(shù)在時取最小值.注意到，就知當(dāng)時 取最小值. 評注 第（1）小題中，為了應(yīng)用一次函數(shù)求最大（?。┲档姆椒ǎ炎兂煞侄魏瘮?shù)．如果把理解為數(shù)軸上點到點的距離，那么不

8、脫去絕對值號，也能分析得出，只有當(dāng)點在點，與之間（包括、）時，才能使點點和的距離和（即）最小，其最小值為與間的距離.通過第（2），（3）小題的解答，我們?nèi)菀装驯纠慕Y(jié)果推廣到一般情況．即對個實常數(shù)，求的最小值． 由于，，…，中有些允許相等，因此，我們應(yīng)該會求函數(shù) 的最小值，這里，，…，都是正整數(shù). 6.4.5 ★★ 點滿足方程 ， 求它的圖象所圍成區(qū)域的面積． 解析 當(dāng)，時，，即． 當(dāng)，時，，即． 當(dāng)，時，，即． 當(dāng)，時，，即． 于是，所得圖象如圖所示． 由此可知，的圖象是一個對角線長為4，邊長為的正方形，因此所求區(qū)域面積為． 6.4.6 ★★★ 是什么實數(shù)時，方程

9、有四個互不相等的實數(shù)根？ 解析1 將原方程變形為 ． 令，則 它的圖象如圖，而是一條與軸平行的直線．原方程有四個互不相等的實根，即直線應(yīng)與曲線有四個不同的交點，由圖象可知，當(dāng)，即時，直線與曲線有四個不同的交點，所以，當(dāng)時，方程有四個互不相等的實數(shù)根． 評注 本題是一個方程問題，我們利用圖形來研究，這是一種非常重要的思想方洼——數(shù)形結(jié)合法．當(dāng)然，本題不用圖象也是可以解的，下面給出解法，請讀者比較一下． 解析2 原方程變形為 所以， ， ， ，． 要使這4個數(shù)互不相等，必須，且，即． 6.4.7 ★★★ 如果滿足的實數(shù)恰有6個，求實數(shù)的值． 解析 本題先分

10、段討論脫去絕對號，再研究為何值時方程有6個實根，由于絕對號內(nèi)套絕對號，則相當(dāng)繁瑣．注意到方程的實根個數(shù)就是函數(shù) 的圖象與直線y-a的公共點的個數(shù)，因此只要設(shè)法畫出函數(shù) 的圖象． 為了作出函數(shù)的圖象，我們分兩步，先作出函數(shù)，即的圖象（圖（1）中的實線）． 接著將上述圖象向下移動10個單位，并將軸下方的部分改成它關(guān)于z軸對稱的圖形，這樣就得到函數(shù)圖象（圖（2））． 于是，由圖應(yīng)知與T軸平行的直線中只有直線與該函數(shù)圖象有6個公共點． 故． 6.4.8?★★ 已知，試確定關(guān)于的方程的解的個數(shù)． 解析 先畫出函數(shù)，即的圖象，再畫直線（如圖）．注意到該直線經(jīng)過定點，且在軸上的截

11、距滿足． 易見，直線與函數(shù)圖象的公共點有3個，故原方程有3個解． 6.4.9 ★★★ 若函數(shù)與的圖象圍成一個平面區(qū)域，求實數(shù)的取值范圍及這個區(qū)域的面積． 解析 函數(shù)可化為 作出其圖象（如圖）． 若直線和曲線圍成平面區(qū)域，則要使直線與曲線有兩個交點． 故，即． 這時交點）、． 作軸于點，軸于點．則 ． 6.4.10 ★★ 求使方程 恰好有兩個解的所有實數(shù)． 解析 先作出的圖象．由 可得圖象如圖所示： 從圖中可知，當(dāng)且僅當(dāng)或時，的圖象與 有兩個不同的交點．所以，所求的為或． 評注 本題解答所用的方法是“數(shù)形結(jié)合法”，通過函數(shù)的圖象，

12、可以“直觀”地解決問題．本題也可以通過分類討論的方法解決，請讀者自己試一試． 6.4.11 ★★★★ 設(shè)，、為實數(shù)．若在時的最大值為，求的最小值． 解析 當(dāng)實數(shù)、在實數(shù)范圍內(nèi)變化時，在時的最小值當(dāng)然也在變化，要求在的這種變化中能達(dá)到的最小值．先借助絕對值不等式求出的下界．然后構(gòu)造一個例子證實這個下界能夠達(dá)到，從而判定這個下界即是所求的的最小值． 按的定義， ， ， ． 于是， ， 所以，． 若取，，則．的圖象如圖所示，此時． 所以，的最小值是． 6.4.12 ★★★ 設(shè)函數(shù)，的最大值是，求的解析式，并求出的最小值． 解析 時，；時，． （1）當(dāng)，在內(nèi)遞增，在

13、內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增． 當(dāng)，即時，最大值為； 當(dāng)，即時，最大值為 ； 當(dāng)時，最大值為，即 ． i）當(dāng)即時，最大值為； ii）當(dāng)即時，最大值為； （2）當(dāng)，，最大值為1． （3）當(dāng)，在內(nèi)遞增，最大值為． 所以的最小值（在時取到） 評注 將絕對值符號去掉后，化為定區(qū)間動對稱軸的二次函數(shù)最大值問題．是關(guān)于的一個分段函數(shù)，其最小值是各段的最小值之最小值． 6.4.13 ★★★★ 規(guī)定表示取、中的較大者，例如，． 求函數(shù)的最小值，并求當(dāng)取最小值時自變量的值． 解析 的含義是，對每一個實數(shù)，等于與中的較大者，因為與的圖象都能很容易作出，而的圖象由的圖象及的圖象中的上方部分

14、組成．因此）的圖象也可畫出． 在同一直角坐標(biāo)系中分別畫出與的圖像（如圖）．兩圖象有四個交點、、、，它們的橫坐標(biāo)可由方程 解得．去絕對值號，得 或， 解得，，，．由圖易見、、、的橫坐標(biāo)順次是、、、． 按的定義，它的圖象為圖中的實線部分所示，點的縱坐標(biāo)為函數(shù)的最小值，此最小值為． 6.4. 14 ★★★★ 設(shè)函數(shù)，對任意正實數(shù)，，且 ，． 求最小的實數(shù)，使得． 解析 先用遞推關(guān)系推出函數(shù)的解析式，然后再求解． 由已知條件得 當(dāng)時，令，則，此時 即得，． 當(dāng)時，令，則，于是 以此類推可得 所以． 由于，，而，所以，最小的滿足的實數(shù)． 6.5函數(shù)的最大值和

15、最小值 6.5.1 ★★ 設(shè)是大于零的常數(shù)，且， ，． 求的最大值與最小值． 解析 ．下面對一次項系數(shù)分兩種情況討論． （1）當(dāng)時，，于是函數(shù)的函數(shù)值是隨著的增加而增加的，所以當(dāng)時，取最小值；當(dāng)時，取最大值． （2）當(dāng)時，，于是函數(shù)的函數(shù)值是隨著的增加而減少的，所以當(dāng)時，取最大值；當(dāng)時，取最小值． 6. 5.2 ★ 已知、、是非負(fù)實數(shù)，且滿足條件 ，． 求的最大值和最小值． 解析 設(shè)條件給出兩個方程，三個未知數(shù)、、，當(dāng)然，、、的具體數(shù)值是不能求出的，但是，我們固定其中一個，不妨固定，那么、都可以用來表示，于是便是的函數(shù)了． 從已知條件可解得 ，． 所以 ．

16、 又、均為非負(fù)實數(shù)，所以 解得． 由于是隨著的增加而減小的，所以當(dāng)時，有最大值130；當(dāng)時，有最小值120． 6.5.3 ★★★ 實數(shù)、、、滿足，且，求的最大值和最小值． 解析 設(shè)，，，則，，且 ． 所以 ， 所以， 當(dāng)，時等號成立，故的最大值為25． 又 ， 所以， 當(dāng)，時等號成立，所以的最小值為20． 6.5.4 ★★ 設(shè)，求二次函數(shù)在時的最大值和最小值． 解析 因，故函數(shù)的對稱軸方程為．我們按是否滿足（即是否在自變量的取值范圍內(nèi)）分別討論． （1）當(dāng)滿足時，由于二次函數(shù)的二次項系數(shù)為負(fù)數(shù)，故函數(shù)在時取得最大值． 由于函數(shù)值在時隨增大而減小，而在時

17、隨增大而增大，故函數(shù)在時最小值在或處取得，在這兩點處的函數(shù)值的較小者就是最小值，注意，若點（0，0）到對稱軸的距離比點（1，0）到對稱軸的距離近，則函數(shù)在處的值便不小于在處的值．否則，函數(shù)在處的值就不大于在處的值，因此我們進(jìn)一步區(qū)分兩種情況： 若，如圖（1），函數(shù)在有最小值． 若，如圖（2），函數(shù)在處有最小值0． （2）當(dāng)時，如圖（3），函數(shù)在處有最大值，在處有最小值0． 綜上所述，當(dāng)時，最大值為，最小值為；當(dāng)時，最大值為，最小值為；當(dāng)時，最大值為，最小值為0． 6.5.5 ★★ 如果拋物線與軸的交點為、，頂點為，求三角形的面積的最小值． 解析 首先， ． 所以拋物線與軸總

18、有兩個交點，設(shè)拋物線與軸的交點為、，那么 ． 又拋物線的頂點坐標(biāo)是， 所以 ． 當(dāng)時等號成立． 所以，的面積的最小值為1． 6.5.6 ★★ 已知、是方程 （是實數(shù)）的兩個實數(shù)根，求最大值和最小值． 解析 由于二次方程有實根，所以 ， 解得． ． 由于在上是減函數(shù)，可見當(dāng)時，有最大值18，當(dāng)時，有最小值． 6.5.7 ★★ 已知二次函數(shù)及實數(shù)，求： （1）函數(shù)在時的最小值； （2）函數(shù)在時的最小值， 解析 由于自變量變化范圍內(nèi)含有參數(shù)，因此需分類討論． 的圖象是以為對稱軸，開口向上的拋物線（如圖）． （1）當(dāng)時，在對稱軸的左側(cè)，此時

19、的最小值在時取到，即為． 當(dāng)時，的最小值在時取到，即為． （2）因，故． 當(dāng)，且<時，即當(dāng)時，在對稱軸的左側(cè)．的最小值在時取到，即為 ． 當(dāng)，即時，的最小值在時取到，即為． 當(dāng)時，的最小值在時取到，即為． 6.5.8 ★★ 已知，，的最小值為，求表示的代數(shù)式． 解析，它的圖象是頂點在，開口向上，對稱軸為的拋物線． 當(dāng)拋物線的頂點的橫坐標(biāo)在左邊時，，即，這時拋物線在上是上升的，所以； 當(dāng)拋物線的頂點的橫坐標(biāo)在上時，，即，這時 ； 當(dāng)拋物線的頂點的橫坐標(biāo)在的右邊時，，即，這時拋物線在上是下降的，所以． 6.5.9 ★★★設(shè)為非零實數(shù)，求函數(shù)的最大值與最小值． 解析 當(dāng)時

20、，的圖象是開口向上的拋物線，其頂點的橫坐標(biāo)為．由于與中至少有一個不小于1，故．因此，的圖象是一段在對稱軸左側(cè)的拋物線?。ㄈ鐖D），此時的最大值為，最小值為． 當(dāng)時，的圖象是開口向下的拋物線，其頂點橫坐標(biāo)，故的圖象是一段在對稱軸右側(cè)拋物線弧，故的最大值還是，最小值還是． 綜上所述，的最大值為，最小值為． 6.5.10 ★★★ 已知、、都是正整數(shù)，且二次函數(shù)的圖象與軸有兩個不同的交點、，若、到原點的距離都小于1，求的最小值． 解析 設(shè)函數(shù)圖象與軸的兩個交點、坐標(biāo)為、，且，則有 ． 又、、為正整數(shù)，于是有 ， ， 從而推知、均為負(fù)數(shù)． 因為，，則， 因此，由圖，有 ，

21、① ， ② ， ③ ． ④ 因為、、為正整數(shù)，則④顯然成立． 由式③得，即 ． ⑤ 因為函數(shù)在時對應(yīng)的值為，故的最小值就是函數(shù)在處的最小值，而，結(jié)合圖象知當(dāng)時取最小值，此時由式⑤得 ． ⑥ 由式①、⑥得，則．所以，從而 ． 因此，當(dāng)，，時，取得最小值5+5+1=11． 6.5.11 ★★★ 已知函數(shù) 其中自變量為正整數(shù)，也是正整數(shù)，求為何值時，函數(shù)值最?。? 解析 函數(shù)整理為 ， 其對稱軸為 ． 因為為正整數(shù)，故 ，． 因此，函數(shù)的最小值只可能在取、、時達(dá)到． （1）當(dāng)時，，此時．由于是正整數(shù)，所以時使函數(shù)取得最小值； （2）當(dāng)，

22、即時，由于是正整數(shù)，而為小數(shù)，故不能在；達(dá)到最小值． 當(dāng)時， ； 當(dāng)時， ． 考查． （i）當(dāng)，即或3時，取，使為最小值； （ii）當(dāng)，即時，有，此時取2或3； （iii）當(dāng)，即且為整數(shù)時，取，使為最小值． 函數(shù)值最小． 6.5.12 ★★ 設(shè)，當(dāng)聲時，二次函數(shù)有最大值5；二次函數(shù)的最小值為，且；．求的解析式和的值． 解析 由題設(shè)知 ， ， 所以 ， ． 由于在時有最大值5，故設(shè) ， 所以 ． 由于的最小值是，于是 ． 解得，從而 6.5.13 ★★ 已知二次函數(shù)同時滿足： （1）； （2）當(dāng)時，； （3）當(dāng)時，有最大值2． 求

23、常數(shù)、、的值． 解析由（1）知為開口向上的拋物線，由（1）、（3）知 ． ① 由（2）知 ， ② ． ③ 由①、②知 ． ④ 由③、④得． 故時，達(dá)到最小值，因此， ． 由①得． 故 ，，． 6.5.14 ★★★ 設(shè)函數(shù)在的范圍內(nèi)的最小值為，最大值為，求實數(shù)對． 解析 由于二次函數(shù)，的對稱軸為，所以，就、與對稱軸的關(guān)系來討論． 分三種情況： （1）當(dāng)時，時單調(diào)遞減，所以，，，即 解得，． （2）當(dāng)時，在時單調(diào)遞增，所以，，，即 由于方程兩根異號，所以，滿足條件不存在． （3）當(dāng)時，此時，在處取最大值，即，故． 而在或處取最小值，

24、由于， ， 故，即，解得． 綜上，或． 6.5.15 ★★★ 已知，，，且，求的最小值． 解析 令，由，，，判別式，所以這個二次函數(shù)的圖象是一條開口向下的拋物線，且與軸有兩個不同的交點、，因為，不妨設(shè)設(shè)，則，對稱軸，于是， 所以 故 當(dāng)，，時，等號成立． 所以，的最小值為4． 6.5. 16 ★★ 求函數(shù)的最值． 解析 去分母、整理得 當(dāng)時，這是一個二次方程，因是實數(shù)，所以判別式，即 解得 ． 當(dāng)時，；當(dāng)時，．由此即知，當(dāng)時，取最小值，當(dāng) 時，取最大值1． 評注 本題求最值的方法叫作判別法，這也是一種常用的方法．但在用判別法求最值時，應(yīng)特別注意

25、這個最值能否取到，即是否有與最值相應(yīng)的值． 6.5.17 ★★ 設(shè)函數(shù)的最大值為4，最小值為，求、的值． 解析 將原函數(shù)去分母，并整理得 因式實數(shù)，故 即． ① 由題設(shè)知，的最大值為4，最小值為，所以 ， 即． ② 由①、②得 ，， 所以 所以， 6.5.18 ★★已知函數(shù)的最小值是2，最大值是6，求實數(shù)、的值． 解析 將原函數(shù)去分母，并整理得 ． 若，即是常數(shù)，就不可能有最小值2和最大值6了，所以，于是 ， 即． ① 由題設(shè)，的最小值為2，最大值為6，所以 ， 即． ② 比較①、②得 解得，． 6.5.19 ★★★ 求函數(shù)的最大值和最小值． 解析 由得 23