初中數(shù)學(xué)競賽專題復(fù)習(xí) 第一篇 代數(shù) 第3章 一元方程試題1 新人教版

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1、 第3章 一元方程 3.1一元一次方程 3.1.1★已知下面兩個方程 ，① ② 有相同的解，試求的值． 解析 本題解題思路是從方程①中求出的值，代入方程②，求出的值． 由方程①可求得，所以．由題設(shè)，也是方程②的解，根據(jù)方程解的定義，把代入方程②時，應(yīng)有 ， ， 所以，． 3.1.2★解方程： ． 解析 本題將方程中的括號去掉后產(chǎn)生，但整理化簡后可以消去，也就是說，原方程實際上仍然是一個一元次方程． 將原方程整理化簡得 ， 即． ⑴當(dāng)時，即時，方程有唯一解 ； ⑵當(dāng)時，即或．若，即，時，方程無解；若，即時，方程有無數(shù)多個解． 評注 含有字母系數(shù)的方程，一

2、定要注意字母的取值范圍，解這類方程時，需要從方程有唯一解、無解、無數(shù)多個解三種情況進行討論． 3.1.3★★若，解方程 ． 解析 因為，所以原方程可變形為 ． 化簡整理為 ， ， ， 所以，為原方程的解． 評注 像這種帶有附加條件的方程，求解時恰當(dāng)?shù)乩酶郊訔l件可使方程的求解過程大大簡化． 3.1.4★★已知關(guān)于的方程 ． 且為某些正整數(shù)時，方程的解為正整數(shù)，試求正整數(shù)的最小值． 解析 由原方程可解得 ． 因為為正整數(shù)，所以應(yīng)是大于的整數(shù)．所以，即． 又因為為正整數(shù)，要使為整數(shù)，必須是10的倍數(shù)，而且為使最小，所以應(yīng)?。? 所以 ． 所以滿足題設(shè)的正整數(shù)的

3、最小值為2． 評注 本題實際上是求的最小正整數(shù)解． 3.1.5★★已知關(guān)于的方程有兩個不同的解，求的值． 解析 一元一次方程或者有一個解，或者有無數(shù)個解，或者無解，本題中的一元一次方程有兩個解，所以我們可以證明它有無數(shù)個解，進而可以確定、． 設(shè)方程的兩個不同的解為、，則有 ， ① ， ② ②①，得． 因為，所以． 把代入①式，得． 所以，． 3.1.6★已知關(guān)于的方程無解，求的值． 解析 將原方程變形為．由已知該方程無解，所以 解得，所以即為所求． 3.1.7★★已知關(guān)于的方程有無限多個解，求、的值． 解析 原方程變形為 ． 解得，

4、． 3.1.8★為何正數(shù)時，方程的解是正數(shù)？ 解析 按未知數(shù)整理方程得．要使方程的解為正數(shù)，需要 ． 不等式的左端 ． 因為，所以只要或時上式大于零，所以當(dāng)或時，原方程的解是正數(shù)，所以或即為所求． 3.1.9★★若、、是正數(shù)，解方程 ． 解析 原方程兩邊乘以，得到方程 ． 移項、合并同類項得 ， 因此有 ． 因為，，，所以，于是 ， 即為原方程的解． 3.1.10★★★設(shè)為正整數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)，解方程 ． 解析 由于是整數(shù)，是整數(shù)，所以必為整數(shù)，故，所以原方程可化為 ， 合并同類項得 ， 故有 ． 所以，為原方程的解． 3.2 一元二

5、次方程 3.2.1★若方程與方程至少有一個相同的實數(shù)根，求實數(shù)的值． 解析 假定這個相同的實數(shù)根為，則將它代入兩個方程，得到兩個關(guān)于、的等式，視它們?yōu)殛P(guān)于、的方程組，即可求出的值． 設(shè)是兩個方程相同的根，則有 ，．① 兩式相減，得，即 ． 所以或． 當(dāng)時，兩個方程都是．這個方程無實根，故不合題意． 當(dāng)時，代入①式中任何一式，都可解得．所以所求的的值為2． 3.2.2★已知實數(shù)，且滿足，．求的值． 解析 、是關(guān)于的方程 的兩個根，整理此方程，得 ， 由于，，． 故、均為負(fù)數(shù)．因此 ． 3.2.3★★已知是方程的一個根，求的值． 解析 因為是所說方程的根

6、，所以，故 ， 由此得到 ． ． 求也可用下面的方法：因，將兩邊同除以，易得到 ， 故． 3.2.4★★三個不同實數(shù)、、使得方程和有一個相同的實數(shù)根，且使得方程和也有一個相同的實數(shù)根，求的值． 解析 因為方程和有一個相同的實數(shù)根，所以 ， ， 兩式相減得． 又方程和也有一個相同的實數(shù)根，所以 ， ， 兩式相減得（顯然）． 于是，故也是方程的根，所以． 由和得，或者（此時，無實根，舍去），所以，，，于是． 3.2.5★★對于一切不小于2的整數(shù)，關(guān)于的一元二次方程的兩個根記作、，求的值． 解析 由根與系數(shù)的關(guān)系數(shù)得，，所 ， 則 ，

7、 ． 3.2.6★★已知互不相等的實數(shù)、、滿足，求的值． 解析 由得，代入得 ，整理得 ．① 又由可得，代入①式得 ，即，又，所以，所以． 驗證可知：，時，，時． 因此，． 3.2.7★如果、都是質(zhì)數(shù)，且，，求的值． 解析 當(dāng)時，； 當(dāng)時，、為方程的兩個根，所以．因為、都是質(zhì)數(shù)，故、的值只可能是和11，所以 ． 3.2.8★★已知三個關(guān)于的一元二次方程 ，， 恰有一個公共實數(shù)根，求的值． 解析 設(shè)是它們的公共實數(shù)根，則 ，，， 把上面三個式子相加，得 ， 因為，所以，，于是 ． 3.2.9★★設(shè)實數(shù)和滿足方程，，并且和的積不等于1，求的值． 解

8、析 因為，所以，第一人方程可以變形為： ． 又因為，所以，、是一元二次方程的兩個不同的實根，所以 ，， 即，． 所以． 3.2.10★★★已知方程的兩個根、也是方程的根，求、的值． 解析 利用一元二次方程根的概念，用、表示和，再結(jié)合、之間的關(guān)系（這里用到韋達(dá)定理），從而可解出、． 由條件，可知，即，于是 ． 結(jié)合可知， ．① 同理， ．② ①、②兩式相加，并利用，有 ． ①、②兩式相減，有 ． 注意到，，故，，進而，． 評注 運用根的概念解題這一方法是處理一元二次方程時容易忽視的技巧，這里巧妙利用根的概念，對與予以降次，將高次問題予以簡

9、化，題中、的求值問題迎刃而解． 3.2.11★已知方程的大根為，方程的小根為，求的值． 解析 先求出、的值． 由觀察知，是方程 的一個根，于是由韋達(dá)定理知，另一個根為，所以． 又從觀察知，是方程的根，從而由韋達(dá)定理知，方程的另一個根為，所以，．故 ． 評注 對于方程，若，則是方程的根；若，則是方程的根． 3.2.12★★設(shè)是給定的非零實數(shù)，解關(guān)于的方程 ． 解析 由觀察知，是方程的根．又原方程等價于 ． 由韋達(dá)定理知，，所以，方程和另一根為． 3.2.13★★已知、是方程的兩實根，求的值． 解析 不是、的對稱式，所以很難用乘法公式把它化為和的表達(dá)式．我們先把“降

10、次”． 因為是方程的根，所以，故．于是 ， ， 所以． 3.2.14★★設(shè)一元二次方程的兩個實根的和為，平方和為，立方和為，求的值． 解析 設(shè)、是方程的兩個實根，于是 ， 所以 ． 評注 本題是最“自然”的解法是分別用、、來表示、、，然后再求的值．當(dāng)然這樣做運算量很大，且容易出錯．下面我們再介紹一種更為“本質(zhì)”的解法． 因為、是方程的兩個實根，所以 ， 于是． ① 同理． ② 將①、②兩式相加便得 ． 一般地，記，則有 ． 證明方法同上，讀者不妨一試． 3.2.15★★★設(shè)拋物線的圖象與同只有一個交點，求的值． 解析1 由題設(shè) ， 即．

11、 所以 ， ， ， ． 又． 因為，所以，即，所以 ． 故 ． 解析2 由可得，所以，且，所以 ， ， ， ， 所以 ． 3.2.16★★若方程的兩個不相等的實數(shù)根、滿足，求實數(shù)的所有可能的值之和． 解析 由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得，，所以 ， ． 又由得，所以 ， 所以， 解得，，． 代入檢驗可知：，均滿足題意，不滿足題意． 因此，實數(shù)的所有可能的值之和為 ． 3.2.17★★★設(shè)、是方程的兩個根，、是方程的兩個根．記，用表示． 解析 由韋達(dá)定理，得，，，． 所以 ． 于是原式 ． 3.3

12、判別式及其應(yīng)用 3.3.1★已知方程沒有實數(shù)根，其中是實數(shù)．試判定方程有無實數(shù)根． 解析 因為方程無實數(shù)根，所以 ， 即． 則 ， 所以方程有兩個不相等的實根． 3.3.2★★已知常數(shù)為實數(shù)，討論關(guān)于的方程 的實數(shù)根的個數(shù)情況． 解析 當(dāng)時，原方程為，，即此時方程積有一個實根． 當(dāng)時，原方程為一元二次方程，其判別式 ，所以，當(dāng)且時，原方程有兩個不同的實數(shù)根；當(dāng)時，原方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，原方程沒有實數(shù)根． 評注 對于一個二次項系數(shù)含參數(shù)的方程，要按照二次項系數(shù)為零或不為零來討論根的情況，前者為一次方程，后者為二次方程，不能一上來就用判別式． 3.3.3★

13、★若對任何實數(shù)，關(guān)于的方程 都有實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍． 解析 根據(jù)判別式容易寫出關(guān)于、的不等式．為了求出的取值范圍，可以分離、，寫成或的形式，那么不大于的最小值，或不小于的最大值． 按題意， 對一切實數(shù)成立．即 對一切實數(shù)成立． 顯然，當(dāng)時取最小值，故，． 所以的取值范圍為． 3.3.4★★已知關(guān)于的二次方程無實根，其中為實數(shù)，試判斷二次方程 的實根情況． 解析 因為無實根，即無實根，所以，故． 方程， 即． 因為，所以，，上述方程是實系數(shù)二次方程，它的判別式 ． 由，得，，，，從而，故無實根． 3.3.5★★、、是不全相等且都不為零的實數(shù)，

14、求證：，，這三個一元二次方程中，至少有一個方程有兩個不相等的實數(shù)根． 解析 本例即要證明三個方程的判別式至少有一個大于零．但由于、、不是具體數(shù)值，很難確定哪一個方程的判別式大于零，因此可考慮三個判別式的和． 因為、、都不是零，所以三個方程都是實系數(shù)一元二次方程，它們的判別式順次記為、、，則 ． 因為、、不全相等，所以，從而、、中至少有一個大于零，即三個二次方程中至少有一個方程兩個不相等的實數(shù)根． 3.3.6★對于實數(shù)、，定義一種運算“*”為：*． 若關(guān)于的方程*有兩個不同的實數(shù)根，求滿足條件的實數(shù)的取值范圍． 解析 由*（*），得 ， 依題意有 解得，，或．

15、 3.3.7★若方程 有實根，求、的值． 解析 因為方程有實根，所以它的判別式 ，化簡后得 ， 所以， 從而 解得，． 評注 在本題中，只有一個不等式而要求兩個值，通常是通過配方把這個不等式變形為“若干個非負(fù)數(shù)之和小于等于零”，從而可以得到一個方程組，進而求出要求的值． 3.3.8★的一邊長為，另兩邊長恰是方程 的兩個根，求的取值范圍． 解析 設(shè)的三邊長分別為、、，且，由 得．此時由韋達(dá)定理，，，即，并且不等式 ， 即． 綜上可知，． 3.3.9★求方程的實數(shù)解． 解析 先把看作是常數(shù)，把原方程看成是關(guān)于的一元二次方程，即 ． 因為是實數(shù)，所以判

16、別式 ，化簡后整理得 ， 即，從而，將代入原方程，得 ， 故．所以，原方程的實數(shù)解為，． 評注 ⑴本題也可以把看作常數(shù)，把方程寫成關(guān)于的一元二次方程，再用判別式業(yè)求解． ⑵本題還可以用配方的方法，把原方程變形為 ，從而，． 3.3.10★★解方程組 解析 引入待定系數(shù)，由①②得 ，或?qū)懗? ． ③ 如果③式左端是一個關(guān)于和的完全平方式，則 ． 由此解得，．將值代回③式得 ， ， 即，． 由于，，由上兩式開方后，就可以求出方程組的唯一解： 3.3.11★★設(shè)為實常數(shù)，方程有兩個不同的實數(shù)根、． ⑴證明：； ⑵求的最小可能值，并求取最小值時的值． 解析 由條件可知， ，故或． ⑴利用條件為方程的根，可知，于是，結(jié)合，有 ． ⑵與⑴作類似處理，可得 ． 等號成立的條件是：，這時，或，結(jié)合，可知應(yīng)舍去． 綜上可知，的最小值為2，并且取最小值時，． 評注 本題中，用到了一個基本不等式：若、為正實數(shù)，則．這一點由展開后移項可得． 3.3.12★★★設(shè)不小于的實數(shù)，使得關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根、． ⑴若，求的值； 17