初中數(shù)學(xué)競賽專題復(fù)習(xí) 第二篇 平面幾何 第13章 正弦定理與余弦定理試題 新人教版

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1、 第13章 正弦定理與余弦定理 13.1.1★★ 已知點是內(nèi)一點，使得. 求證：. 解析 如圖，設(shè)的三邊為、、，對應(yīng)角分別為、、，，同理，. 由正弦定理，，故，同理，， . 于是. 13.1.2★★在的及邊上分別取點、，使，，，求的所有內(nèi)角. 解析 如圖，易知，故. 又由正弦定理，. 于是（易見），故，. 于是為正三角形，各內(nèi)角均為. 13.13 ★★★已知凸四邊形，，、、、上分別有點、、、，，，，，求證：、、共點. 解析 如圖，設(shè)、垂心分別為、，與交于，與交于. 由正弦定理及四點共圓，有 ， ， 于是. 同理，得與重合，即、、共點

2、. 13.1.4 ★★★已知，在上，、延長后交于，是的外心（在內(nèi)），若、、、共圓，則. 解析 如圖，設(shè)，，.作，，、分別是、之中點. 易知， 此即，于是. 又由正弦定理，于是，，≌，故. 13.1.5★★有一個凸四邊形，頂點均在一圓周上，且，，，，求的值. 解析 由正弦定理知，其中、、為三邊長，為外接圓半徑.于是由，并考慮個三角形有共同的外接圓，故有 . 代入數(shù)字，得，于是. 13.1.6★★★已知凸四邊形，對角線交于，，過的一條直線分別交、于、，過的另一條直線分別交、于、，、分別交于、， 求證：. 解析 如圖，設(shè)好各角.由知，故 ， 由正弦不定理，知

3、止式可改為，于是 ，此即，兩邊同時除去，即得，此即，故. 13.1.7★★證明余弦定理的一種四邊形推廣：即設(shè)凸四邊形的對角線交于，又設(shè)，則 . 解析 如圖，由余弦定理，， ， 又， ， 所以 . 因此結(jié)論成立. 13.1.8★★梯形，，上底，下底，，、延長后交于，，試用、、表示梯形的高. 解析 如圖，設(shè)，，則由，有. 又在上找一點，使.則由余弦定理，， 于是. 設(shè)梯形的高為，則由，有，故. 13.1.9★★銳角三角形中，為邊上的高，為上一點，，，，求證：. 解析 如圖，由及得.因此 ， 即 ， 故 . 不妨設(shè)

4、，則，，. 設(shè)，由，利用余弦定理得： ， 解得 或. 當(dāng)時，，故 . 當(dāng)時，在中， . 與為銳角三角形矛盾，故舍去. 13.1.10★ 試用身影定理推導(dǎo)余弦定理. 解析 如圖，對于，作，注意可在外，則有（、、為的三對應(yīng)邊長），則理有，，三個方程聯(lián)立，即解得等三個式子，這就是余弦定理. 13.1.11★★已知關(guān)于的方程，四邊形中，，，且（如圖所示）. （1）當(dāng)方程有兩個相等實數(shù)根時，求及此方程的根； （2）若此實根等于、之和，求之長. 解析 （1）因方程有兩個相等實數(shù)根，故 ， 解得或. 因，故不符合題意，應(yīng)舍去，從而，所以. 此時原

5、方程可化為：，解得. （2）因，從而 . 又 ， 故 . 即 . 因，，故由正弦定理得. 13.1.12★★設(shè)是正方形內(nèi)部一點，到頂點、、的距離分別是、2、3，求正方形的面積. 解析 如圖所示，設(shè)，則在中，；在中， .于是，解得.注意到，故應(yīng)舍去. 從而，即正方形面積為. 13.1.13★★已知中，，是高，是中點，求證：.并由此證明，若，是角平分線，在上，，則. 解析 如圖， ，注意其中可取負值. 又中點也是，故 ， 而 ， 于是 評注 本題亦可先用余弦定理求出. 13.1.14★★2已知中，，延長到點，連結(jié)，

6、若，且，求之長. 解析 如圖，設(shè)，，則 . 又由余弦定理， ， 此即 . 化簡并整理，得 ， 解得 （舍），. 所以 . 13.1.15★★已知正方形，、分別在、上，與分別交于、，若，求證：以、、為邊的三角形有一內(nèi)角是. 解析 設(shè)，，，則，且，， . 于是由比例及余弦定理知只需證明 ， 即. 而右式左式，證畢. 13.1.16★★有一個等腰三角形，底邊上的高是，，是上一動點，關(guān)于、的對稱點分別是、，四邊形是平行四邊形，則至的距離. 解析 如圖，由于、互相平分，故、至距離之和 . 13.1.17★在中，點、分別是、的中點

7、，點是重心，對的每一個值，有多少互不相似的，滿足點、、、共圓？ 解析 如圖，由、、、共圓，得. 若設(shè)對應(yīng)邊為、、，對應(yīng)中線為、、，則上式變?yōu)? 又由中線長公式知，消去，得.又由余弦定理，，再將抵消，得 . 若設(shè)，則，這個方程的，于是當(dāng)時，方程無解；又當(dāng)時，兩邊之比為負數(shù)，也不符合要求. 除了以上兩種情況，剩下來的便是時，此時有互為倒數(shù)或相同的解，因此合乎要求的三角形恰有一個. 13.1.18★在中，，化簡. 解析 由余弦定理，，故 . 同理 ， ， 三式相加，即得. 13.1.19★證明余弦定理的另一種形式； . 解析 如圖，不妨設(shè)（即），則在上取

8、一點，使，又作于，于，則在延長線上. 于是平分，且，，兩式相加，得 . 又，由勾股定理，，此即 . 13.1.20★★已知中，的平分線、上的中線、上的高共點，且，求. 解析 如圖，由于中線和角平分線均在內(nèi)，故與均為銳角. 設(shè)的三條對應(yīng)邊長為、、.由塞瓦定理，有，即，故 ，由余弦定理知 .① 由于，有，代入式①，化簡有，解得，于是，. 13.1.21★★證明斯圖沃特定理：為上一點，則. 解析 如圖，由于，故，分別在、用余弦定理代、，整理即得斯圖沃特定理. 評注 斯圖沃特定理的一個著名的推論是中線長公式：若為之中線，則 . 13.1.22★★★以點為

9、旋轉(zhuǎn)中心，將逆時針旋轉(zhuǎn)為，設(shè)線段、、的中點分別為、、，若，且，求. 解析 首先，反復(fù)利用中線長公式得， ，由得.由∽知上式兩端只能為零，否則相似比為，有，與題設(shè)矛盾.因此由可知與均為正三角形. 如圖，設(shè)中點為，連結(jié)、、.若設(shè)（注意可負），則，又，，故≌，于是，因此為正三角形，. 評注 中線長公式正是余弦定理的推論. 13.1.23★★★如圖，在中，，是上一點，，作于，且，若，求的平分線之長. 解析 設(shè)，，則，，. 由于，，故 . 由，得 ，解得或. 因，而，故，從而，所以應(yīng)舍去，即. 于是，，. 由角平分線定理知.故，. 由斯圖沃特定理知.所以. 評注 當(dāng)為直角時，還有簡單的表達式 . 11