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2.2.2 橢圓的幾何性質(zhì)
課時目標 1.掌握橢圓的范圍、對稱性、頂點、離心率等幾何性質(zhì).2.明確標準方程中a，b以及c，e的幾何意義，a、b、c、e之間的相互關(guān)系.3.能利用橢圓的幾何性質(zhì)解決橢圓的簡單問題．
1．若橢圓的標準方程為＋＝1 (a>b>0)．
(1)方程中x、y的取值范圍分別為______________．
(2)橢圓關(guān)于________、________和________都是對稱的，坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫做________________．
(3)橢圓的四個頂點坐標為________________________________________．長軸長為________，短軸長為________．
2．橢圓的焦距與長軸長的比e＝________，叫做橢圓的離心率，離心率e的范圍
________．當e越接近1，橢圓________，當e越接近于______，橢圓就越接近于圓．
一、填空題
1．橢圓x2＋my2＝1的焦點在y軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則m的值為________．
2．P是長軸在x軸上的橢圓＋＝1上的點，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的兩個焦點，橢圓的半焦距為c，則PF1PF2的最大值與最小值之差一定是________．
3.已知F1、F2是橢圓的兩個焦點.滿足＝0的點M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍為________．
4．設(shè)0
b>0)的頂點與焦點，若∠ABC＝90，則該橢圓的離心率為________．
6．已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，且過點P(－5,4)，則橢圓的方程為______________．
7．直線x＋2y－2＝0經(jīng)過橢圓＋＝1 (a>b>0)的一個焦點和一個頂點，則該橢圓的離心率為______．
8．橢圓上＋＝1上到兩個焦點F1，F(xiàn)2距離之積最大的點的坐標是________．
二、解答題
9.
如圖，已知P是橢圓＋＝1 (a>b>0)上且位于第一象限的一點，F(xiàn)是橢圓的右焦點，O 是橢圓中心，B是橢圓的上頂點，H是直線x＝－ (c是橢圓的半焦距)與x軸的交點，若PF⊥OF，HB∥OP，試求橢圓的離心率e.
10.已知橢圓4x2＋y2＝1及直線y＝x＋m.
(1)當直線和橢圓有公共點時，求實數(shù)m的取值范圍；
(2)求被橢圓截得的最長弦所在的直線方程．
能力提升
11．若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率為________．
12．已知在平面直角坐標系xOy中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為F1(－，0)，且右頂點為D(2,0)．設(shè)點A的坐標是.
(1)求該橢圓的標準方程；
(2)若P是橢圓上的動點，求線段PA的中點M的軌跡方程．
1．橢圓的范圍實質(zhì)就是橢圓上點的橫坐標和縱坐標的取值范圍，在求解一些存在性和判斷性問題中有著重要的應(yīng)用．
2．橢圓既是一個軸對稱圖形，又是一個中心對稱圖形．橢圓的對稱性在解決直線與橢圓的位置關(guān)系以及一些有關(guān)面積的計算問題時，往往能起到化繁為簡的作用．
3．橢圓的離心率是反映橢圓的扁平程度的一個量，通過解方程或不等式可以求得離心率的值或范圍．
4．在與橢圓有關(guān)的求軌跡方程的問題中要注意挖掘幾何中的等量關(guān)系．
2．2.2 橢圓的幾何性質(zhì)
知識梳理
1．(1)[－a，a]、[－b，b] (2)x軸 y軸 原點 橢圓的中心 (3)A1(－a,0)、A2(a,0)、B1(0，－b)、B2(0，b) 2a 2b
2. 0c恒成立，
由橢圓性質(zhì)知OP≥b，其中b為橢圓短半軸長，
∴b>c，∴c22c2，
∴2<，∴e＝<.
又∵0b>0)，將點(－5,4)代入得＋＝1，
又離心率e＝＝，即e2＝＝＝，解之得a2＝45，b2＝36，
故橢圓的方程為＋＝1.
7.
解析 由題意知橢圓的焦點在x軸上，又直線x＋2y－2＝0與x軸、y軸的交點分別為(2,0)、(0,1)，它們分別是橢圓的焦點與頂點，所以b＝1，c＝2，從而a＝，e＝＝.
8．(3,0)
解析 設(shè)橢圓上的動點為P，由橢圓定義可知
PF1＋PF2＝2a＝10，
所以PF1PF2≤2
＝2＝25，
當且僅當PF1＝PF2時取等號；
由
解得PF1＝PF2＝5＝a，此時點P恰好是橢圓短軸的兩個端點，即P(3,0)．
9．解 依題意知H，F(xiàn)(c,0)，B(0，b)．
設(shè)P(xP，yP)，且xP＝c，代入到橢圓的方程，
得yP＝.∴P.
∵HB∥OP，∴kHB＝kOP，即＝.∴ab＝c2.
∴e＝＝，∴e2＝＝e－2－1.
∴e4＋e2－1＝0.
∵0
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