山東省棗莊市2018中考數(shù)學總復習 聚焦棗莊 專題三 圓的證明與計算試題

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1、 專題三 圓的證明與計算 類型一 切線的判定 判定某直線是圓的切線，首先看圓的半徑是否過直線與圓的交點，有半徑則證垂直；沒有半徑，則連接圓心與切點，構造半徑證垂直． (2016·黃石)如圖，⊙O的直徑為AB，點C在圓周上(異于A，B)，AD⊥CD. (1)若BC＝3，AB＝5，求AC的長； (2)若AC是∠DAB的平分線，求證：直線CD是⊙O的切線． 【分析】 (1)根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，利用勾股定理求AC的長；(2)連接OC，利用AC是∠DAB的平分線，證得∠OAC＝∠CAD，再結合半徑相等，可得OC∥AD，進而結論得證． 1．(2016·六盤水)如圖

2、，在⊙O中，AB為直徑，D，E為圓上兩點，C為圓外一點，且∠E＋∠C＝90°. (1)求證：BC為⊙O的切線； (2)若sin A＝，BC＝6，求⊙O的半徑． 2．(2017·濟寧)如圖，已知⊙O的直徑AB＝12，弦AC＝10，D是的中點，過點D作DE⊥AC，交AC的延長線于點E. (1)求證：DE是⊙O的切線； (2)求AE的長． 類型二 切線的性質 已知某條直線是圓的切線，當圓心與切點有線段連接時，直接利用切線的性質：圓的切線垂直于過切點的半徑；當圓心與切點沒有線段相連時，則作輔助線連接圓心與切點，再利用切線的性

3、質解題． (2016·資陽)如圖，在⊙O中，點C是直徑AB延長線上一點，過點C作⊙O的切線，切點為D，連接BD. (1)求證：∠A＝∠BDC； (2)若CM平分∠ACD，且分別交AD，BD于點M，N，當DM＝1時，求MN的長． 【分析】 (1)連接OD，由切線的性質可得∠CDB＋∠ODB＝90°，由AB是直徑，可得∠ADB＝90°，進而可得∠A＋∠ABD＝90°，從而證得∠A＝∠BDC；(2)由角平分線及三角形外角性質可得∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM，即∠DMN＝∠DNM，再根據(jù)勾股定理求得MN的長． 3．(2016·南平)如圖，PA，PB是⊙O切線，A，B為

4、切點，點C在PB上，OC∥AP，CD⊥AP于點D. (1)求證：OC＝AD； (2)若∠P＝50°，⊙O的半徑為4，求四邊形AOCD的周長．(精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：sin 50°≈0.766，cos 50°≈0.643，tan 50°≈1.92) 4．(2017·長沙)如圖，AB與⊙O相切于點C，OA，OB分別交⊙O于點D，E，＝. (1)求證：OA＝OB； (2)已知AB＝4，OA＝4，求陰影部分的面積． 類型三 圓與相似的綜合 圓與相似的綜合主要體現(xiàn)在圓與相似三角形的綜合，一般結合切線的性質及判定綜合考查，

5、求線段長或半徑．一般的解題思路是利用切線的性質構造角相等，進而構造相似三角形，利用相似三角形對應邊成比例求出所求線段或半徑． (2016·荊門)如圖，AB是⊙O的直徑，AD是⊙O的弦，點F是DA延長線的一點，AC平分∠FAB交⊙O于點C，過點C作CE⊥DF，垂足為點E. (1)求證：CE是⊙O的切線； (2)若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半徑． 【分析】 (1)連接CO，證得∠OCA＝∠CAE，由平行線的判定得到OC∥FD，再證得OC⊥CE即可；(2)連接BC，由圓周角定理得到∠BCA＝90°，再證得△ABC∽△ACE，根據(jù)相似三角形的性質即可求得半徑．

6、 5．(2017·德州)如圖，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D為BC的中點．以AC為直徑的⊙O交AB于點E. (1)求證：DE是⊙O的切線； (2)若AE∶EB＝1∶2，BC＝6，求AE的長． 6．(2017·黃岡)如圖，已知MN為⊙O的直徑，ME是⊙O的弦，MD垂直于過點E的直線DE，垂足為點D，且ME平分∠DMN. 求證：(1)DE是⊙O的切線； (2)ME2＝MD·MN. 參考答案 【聚焦棗莊】 【例

7、1】 (1)∵AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上， ∴∠ACB＝90°， ∴AC＝＝4. (2)如圖，連接OC， ∵AC平分∠DAB，∴∠OAC＝∠CAD. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠OCA＝∠CAD，∴OC∥AD. ∵AD⊥CD，∴OC⊥CD. ∵OC是⊙O的半徑，∴直線CD是⊙O的切線． 變式訓練 1．(1)證明：∵∠A與∠E所對的弧都是， ∴∠A＝∠E. ∵∠E＋∠C＝90°， ∴∠A＋∠C＝90°， ∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝90°，即AB⊥BC. ∵AB是直徑，∴BC為⊙O的切線． (2)解：∵sin A＝＝，BC＝6， ∴

8、AC＝10. 在Rt△ABC中，AB＝＝8， ∴AO＝AB＝4，即⊙O的半徑是4. 2．(1)證明：如圖，連接OD. ∵D是的中點，∴＝， ∴∠BOD＝∠BAE， ∴OD∥AE. ∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°. ∴OD⊥DE，∴DE是⊙O 的切線． (2)解：如圖，過點O作OF⊥AC于點F. ∵AC＝10， ∴AF＝CF＝AC＝×10＝5. ∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°， ∴四邊形OFED是矩形， ∴FE＝OD＝AB＝6， ∴AE＝AF＋FE＝5＋6＝11. 【例2】 (1)如圖，連接OD， ∵CD是⊙O的切線， ∴

9、∠ODC＝90°， ∴∠BDC＋∠ODB＝90°. ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB＝90°， ∴∠A＋∠ABD＝90°. ∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB， ∴∠A＋∠ODB＝90°， ∴∠A＝∠BDC. (2)∵CM平分∠ACD，∴∠DCM＝∠ACM. ∵∠A＝∠BDC， ∴∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM， 即∠DMN＝∠DNM. ∵∠ADB＝90°，DM＝1，∴DN＝DM＝1， ∴MN＝＝. 變式訓練 3．(1)證明：∵PA是⊙O的切線，A為切點， ∴OA⊥PA，即∠OAD＝90°. ∵OC∥AP， ∴∠COA＝180°－∠OAD＝180°－90

10、°＝90°. ∵CD⊥PA，∴∠CDA＝∠OAD＝∠COA＝90°， ∴四邊形AOCD是矩形，∴OC＝AD. (2)解：∵PB切⊙O于點B，∴∠OBP＝90°. ∵OC∥AP，∴∠BCO＝∠P＝50°. 在Rt△OBC中，sin∠BCO＝，OB＝4， ∴OC＝≈5.22， ∴矩形OADC的周長為2(OA＋OC)＝2×(4＋5.22)≈18.4. 4．(1)證明：如圖，連接OC. ∵AB與⊙O相切于點C，∴∠ACO＝90°. ∵＝，∴∠AOC＝∠BOC，∴∠A＝∠B， ∴OA＝OB. (2)解：由(1)可知△OAB是等腰三角形， ∴BC＝AB＝2，∴sin∠COB＝

11、＝， ∴∠COB＝60°，∴∠B＝30°， ∴OC＝OB＝2，∴S扇形OCE＝＝， S△OCB＝×2×2＝2， ∴S陰影＝S△OCB－S扇形OCE＝2－. 【例3】 (1)如圖，連接CO， ∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC. ∵AC平分∠FAB，∴∠OAC＝∠FAC， ∴∠OCA＝∠FAC，∴OC∥FD. ∵CE⊥FD，∴CE⊥OC. ∵OC是⊙O的半徑，∴CE是⊙O的切線． (2)如圖，連接BC， 在Rt△ACE中，AC＝＝. ∵AB是⊙O的直徑，∴∠BCA＝90°， ∴∠BCA＝∠CEA. ∵∠CAE＝∠BAC，∴△ACE∽△ABC， ∴＝，即＝，∴A

12、B＝5， ∴AO＝AB＝2.5， 即⊙O的半徑是2.5. 變式訓練 5．(1)證明：如圖，連接OE，CE. ∵AC是⊙O的直徑，∴∠AEC＝∠BEC＝90°. ∵D是BC的中點， ∴ED＝BC＝DC，∴∠1＝∠2. ∵OE＝OC，∴∠3＝∠4， ∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠OED＝∠ACD. ∵∠ACD＝90°，∴∠OED＝90°，即OE⊥DE. 又∵E是⊙O上一點，∴DE是⊙O的切線． (2)解：由(1)知∠BEC＝90°. 在Rt△BEC與Rt△BCA中，∠B為公共角， ∴△BEC∽△BCA，∴＝， 即BC2＝BE·BA. ∵AE∶EB＝1∶2，設AE＝x，則BE＝2x，BA＝3x. 又∵BC＝6，∴62＝2x·3x， ∴x＝，即AE＝. 6．證明：(1)∵ME平分∠DMN，∴∠OME＝∠DME. ∵OM＝OE，∴∠OME＝∠OEM， ∴∠DME＝∠OEM，∴OE∥DM. ∵DM⊥DE，∴OE⊥DE. ∵OE是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線． (2)如圖，連接EN， ∵DM⊥DE，MN為⊙O的直徑， ∴∠MDE＝∠MEN＝90°， ∵∠NME＝∠DME，∴△MDE∽△MEN， ∴＝，∴ME2＝MD·MN. 8