高一數(shù)學(xué)下第5章【向量的應(yīng)用】解析與答案解析

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1、 高一數(shù)學(xué)下第5章《向量的應(yīng)用》解析及答案 鞏固基礎(chǔ) 一、自主梳理 理解向量的幾何、代數(shù)、三角及物理方面的應(yīng)用,能將當(dāng)前的問題轉(zhuǎn)化為可用向量解決的問題,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和應(yīng)用能力. 二、點(diǎn)擊雙基 1.(理)(2005全國高考卷Ⅲ,理)已知雙曲線x2-=1的焦點(diǎn)F1、F2,點(diǎn)M在雙曲線上且·=0,則點(diǎn)M到x軸的距離為( ) A. B. C. D. 解析:如圖,不妨設(shè)M在右支上,則MF1⊥MF2. 設(shè)|MF1|=r1,|MF2|=r2,由定義r1-r2=2a=2.

2、 ① Rt△MF1F2中,r12+r22=(2c)2=12. ② ①式平方代入②后得r1r2=4, ∴S△MF1F2=r1r2=2=|F1F2|·h=×2h.∴h=. 答案:C (文)若O是△ABC內(nèi)一點(diǎn),++=0,則O是△ABC的( ) A.內(nèi)心B.外心C.垂心D.重心 解析:以、為鄰邊作平行四邊形OBDC,則=+. 又++=0, ∴+=-. ∴-=. ∴O為AD的中點(diǎn),且A、O、D共線. 又E為OD的中點(diǎn),∴O是中線AE的三等分點(diǎn),且OA

3、=AE. ∴O是△ABC的重心. 答案:D 2.(2006山東濰坊檢測)已知點(diǎn)A(,1)、B(0,0)、C(,0),設(shè)∠BAC的平分線AE與BC相交于E,若=λ,則λ等于 …( ) A.- B. C.-3 D.- 解析:由=λ,得λ=-=-=-1-=-1-=-1-=-.故選擇A. 答案:A 3.(2006湖北八校聯(lián)考)(理)已知向量a=(2cosα,2cosβ),b=(3cosβ,3sinβ),若a與b的夾角為60°,則直線xcosα-ysinα+=0與圓(x-cosβ)2+(y+si

4、nβ)2=的位置關(guān)系是( ) A.相交B.相交且過圓心C.相切D.相離 解析:由題意得=, ∴cosαcosβ+sinαsinβ=. 圓心為(cosβ,-sinβ). 設(shè)圓心到直線的距離為d,則 d==1>, ∴直線和圓相離.故選D. 答案:D (文)已知直線x+y=a與圓x2+y2=4交于A、B兩點(diǎn),且|+|=|-|,其中O為原點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的值為( ) A.2 B.-2 C.2或-2 D.6或-6 解析:由|+|=|-|,得·=0,∴OA⊥OB

5、. 聯(lián)立方程組整理得2x2-2ax+(a2-4)=0, 設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2), ∴x1+x2=a,x1·x2=. ∴y1·y2=(a-x1)·(a-x2)=a2-a(x1+x2)+x1x2=a2-2. ∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0. ∴+-2=0.∴a2=4.∴a=±2. 又∵Δ=(-2a)2-8(a2-4)>0, ∴a2<8.∴a∈(-2,2),而±2∈(-2,2).故選C. 答案:C 4.在四邊形ABCD中,·=0,=,則四邊形ABCD是______________________. 解析:由·=0知⊥.由=知BCAD.∴四邊

6、形ABCD是矩形. 答案:矩形 5.若a=(1,-1),b=(-1,3),c=(3,5),使c=xa+yb成立的實(shí)數(shù)x、y取值是_____________. 解析:依題意(3,5)=x(1,-1)+y(-1,3),解得 答案:7、4 訓(xùn)練思維 【例1】 已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及=+t,求: (1)t為何值時(shí),P在x軸上?P在y軸上?P在第二象限? (2)四邊形OABP能否成為平行四邊形?若能,求出相應(yīng)的t值;若不?,请说明来? 解:(1)=+t=(1+3t,2+3t). 若P在x軸上,則2+3t=0,∴t=-; 若P在y軸上,只需1+3t=0,∴

7、t=-; 若P在第二象限,則∴-

8、f(b)的坐標(biāo); (3)求使f(c)=(p、q)(p、q為常數(shù))的向量c的坐標(biāo). 解:(1)設(shè)a=(a1,a2),b=(b1,b2),則ma+nb=(ma1+nb1,ma2+nb2). ∴f(ma+nb)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1), mf(a)+nf(b)=m(a2,2a2-a1)+n(b2,2b2-b1)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1). ∴f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立. (2)f(a)=(1,2×1-1)=(1,1), f(b)=(0,2×0-1)=(0,-1).

9、(3)設(shè)c=(x,y),則f(c)=(y,2y-x)=(p,q).∴y=p,2y-x=q. ∴x=2p-q,即向量c=(2p-q,p). 講評(píng):要利用題設(shè)條件,必須將向量用坐標(biāo)表示,通過坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算,從而解決問題,這也是向量運(yùn)算中比較常用的方法. 【例3】 已知m、n、p、q∈R,求證:mp+nq≤·. 剖析:本題若采用平方法,則需對(duì)mp+nq的符號(hào)進(jìn)行討論,然后再平方,若能把握其結(jié)構(gòu)特點(diǎn),聯(lián)想到平面向量的數(shù)量積性質(zhì),則問題容易解決. 證明:設(shè)a=(m,n),b=(p,q), 度 ∵|a·b|≤|a||b|, ∴|mp+nq|≤·. ∴mp+nq≤·.

10、 狀元訓(xùn)練 復(fù)習(xí)篇 1.(2004遼寧高考)已知點(diǎn)A(-2,0)、B(3,0),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足·=x2,則點(diǎn)P的軌跡是( ) A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線 解析:=(-2-x,-y),=(3-x,-y),·=(-2-x)(3-x)+(-y)2=x2,整理得y2=x+6.∴P點(diǎn)的軌跡為拋物線. 答案:D 2.臺(tái)風(fēng)中心從A地以20 km/h的速度向東北方向移動(dòng),離臺(tái)風(fēng)中心30 km內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū),城市B在A的正東40 km處,B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為( ) A.0.5 h B.1 h C.1.

11、5 h D.2 h 解析:臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)t h,城市B處在危險(xiǎn)區(qū),則(20t)2+402-2×20t×40×cos45°≤900. ∴-≤t≤+.∴B城市處在危險(xiǎn)區(qū)的時(shí)間為1 h. 答案:B 3.已知向量集合M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R},N={a|a=(-2,-2)+λ(4,5),λ∈R},則M∩N等于( ) A.{(1,1)} B.{(1,1),(-2,-2)} C.{(-2,-2)} D. 解析:∴(注意λ不一定相等).∴M∩

12、N={(-2,2)}. 答案:C 4.在一座20 m高的觀測臺(tái)頂測得地面一水塔塔頂仰角為60°,塔底俯角為45°,那么這座塔的高為_______________________. 解析:如圖,AD=DC=20. ∴BD=ADtan60°=20. ∴塔高為20(1+) m. 答案:20(1+) m 5.有一兩岸平行的河流,水速為1,小船的速度為,為使所走路程最短,小船應(yīng)朝_____方向行駛. 解析:如右圖,為使小船所走路程最短,v水+v船應(yīng)與岸垂直.又v水==1,v船==,∠ADC=90°, ∴∠CAD=45°. 答案:與水速成135°角的 6.平面

13、內(nèi)有向量=(1,7),=(5,1),=(2,1),點(diǎn)X為直線OP上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn). (1)當(dāng)·取最小值時(shí),求的坐標(biāo); (2)當(dāng)點(diǎn)X滿足(1)的條件和結(jié)論時(shí),求cos∠AXB的值. 解:(1)設(shè)=(x,y),∵點(diǎn)X在直線OP上, ∴向量與共線. 又=(2,1),∵x·1-y·2=0,即x=2y,∴=(2y,y). 又=-=(1,7)-(2y,y), ∴=(1-2y,7-y). 同理,=-=(5-2y,1-y). 于是,·=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=4y2-12y+5+y2-8y+7=5y2-20y+12 =5(y-2)2-8. 由二次函數(shù)的

14、知識(shí),可知當(dāng)y=2時(shí),·=5(y-2)2-8有最小值-8,此時(shí)=(4,2). (2)當(dāng)=(4,2),即y=2時(shí),有=(-3,5),=(1,-1),||=,||=, ·=(-3)×1+5×(-1)=-8,∴cos∠AXB===-. 講評(píng):向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算可以大大簡化數(shù)量積的運(yùn)算,由于有關(guān)長度、角度和垂直問題可以利用向量的數(shù)量積來解決,因此,我們可以利用向量的直角坐標(biāo)去研究有關(guān)長度、角度和垂直問題. 7.已知向量a=(cosx,sinx),b=(cos,-sin),且x∈[0,].求: (1)a·b及|a+b|; (2)若f(x)=a·b-2λ|a+b|的最小值是-,求λ的

15、值. 解:(1)a·b=cosx·cos-sinx·sin=cos2x, |a+b|= ==2. ∵x∈[0,],∴cosx>0. ∴|a+b|=2cosx. (2)f(x)=cos2x-4λcosx,即f(x)=2(cosx-λ)2-1-2λ2. ∵x∈[0,],∴0≤cosx≤1. ①當(dāng)λ<0時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)cosx=0時(shí),f(x)取得最小值-1,這與已知矛盾. ②當(dāng)0≤λ≤1時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)cosx=λ時(shí),f(x)取得最小值-1-2λ2,由已知得-1-2λ2=-,解得λ=. ③當(dāng)λ>1時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)cosx=1時(shí),f(x)取得最小

16、值1-4λ.由已知得1-4λ=-,解得λ=.這與λ>1相矛盾.綜上所述,λ=為所求. 加強(qiáng)篇 8.(2006北京海淀模擬)設(shè)a=(1+cosα,sinα),b=(1-cosβ,sinβ),c=(1,0),其中α∈(0,π),β∈(π,2π),a與c的夾角為θ1,b與c的夾角為θ2,且θ1-θ2=,求sin的值. 解:a=(2cos2,2sincos) =2cos(cos,sin), b=(2sin2,2sincos) =2sin(sin,cos), ∵α∈(0,π),β∈(π,2π), ∴∈(0,),∈(,π). 故|a|=2cos

17、,|b|=2sin, cosθ1===cos, cosθ2===sin=cos(-).∴θ1=. ∵0<-<,∴θ2=-.又θ1-θ2=,∴-+=. 故=-,∴sin=sin(-)=-. 講評(píng):本題考查向量的坐標(biāo)表示及其運(yùn)算,向量數(shù)量積的夾角公式的運(yùn)用,注意角度范圍的變化應(yīng)用,結(jié)合三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求值. 9.(全新創(chuàng)編題)如圖所示,點(diǎn)F(a,0)(a>0),點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng),M在x軸上,N為動(dòng)點(diǎn),且·=0,+=0. (1)求點(diǎn)N的軌跡C的方程; (2)過點(diǎn)F(a,0)的直線l(不與x軸垂直)與曲線C交于A、B兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)K(-a,0),與的夾角為θ,

18、求證:0<θ<. 解:(1)設(shè)N(x,y)、M(x0,0)、P(0,y0), 則=(x0,-y0),=(a,-y0),=(x,y-y0). 由·=0,得ax0+y02=0. ① 由+=0,得(x+x0,y-2y0)=0,即所以 代入①,得y2=4ax即為所求. (2)設(shè)l的方程為y=k(x-a),由消去x,得y2-y-4a2=0. 設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則y1y2=-4a2,=(x1+a,y1),=(x2+a,y2), ·=(x1+a)(x2+a)+y1y2=x1x2+a(x1+x2)+a2+y1y2=+a·(+)+a

19、2-4a2 =(y12+y22)-2a2>(2|y1y2|)-2a2=×4a2-2a2=0,所以cosθ=>0.所以0<θ<. 講評(píng):向量及其運(yùn)算是新課程的新增內(nèi)容,由于向量融數(shù)、形于一體,具有代數(shù)形式和幾何形式的雙重身份,使它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn),成為聯(lián)系多項(xiàng)內(nèi)容的媒介.本題是將向量與解析幾何、方程、不等式以及三角函數(shù)等知識(shí)有機(jī)結(jié)合,體現(xiàn)了《考試大綱》要求的“在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)處命題”的精神,我們預(yù)測今年的向量高考題的難度可能上升到壓軸題水平. 一、教學(xué)思路 向量兼具代數(shù)的抽象與嚴(yán)謹(jǐn)和幾何的直觀,向量本身是一個(gè)數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物,因此在向量的復(fù)習(xí)中要注意數(shù)與形的結(jié)合

20、、代數(shù)與幾何的結(jié)合、形象思維與邏輯思維的結(jié)合.應(yīng)用向量可以解決平面幾何中的一些問題,在物理和工程技術(shù)中應(yīng)用也很廣泛,教學(xué)要結(jié)合實(shí)例,引導(dǎo)學(xué)生把向量的相關(guān)知識(shí)和實(shí)際問題相結(jié)合,滲透向量解決問題的高效性. 二、注意問題 與向量相關(guān)的綜合應(yīng)用問題類型較多,往往都和幾何圖形或某種類型曲線相關(guān)聯(lián),這就要求在轉(zhuǎn)化成向量方法或抽象為確定的數(shù)學(xué)模型時(shí),一定要注意和題意等價(jià),善于綜合全局,把握轉(zhuǎn)化合理性. 三、參考資料 【例1】 已知a=(x2,x),b=(x,x-3),x∈[-4,4]. (1)求f(x)=a·b的表達(dá)式; (2)求f(x)的最小值,并求此時(shí)a與b的夾角. 解:(1)f(x)

21、=a·b=x2·x+x·(x-3)=x3+x2-3x,x∈[-4,4]. (2)f′(x)=x2+2x-3=(x+3)(x-1). 列表: x -4 (-4,-3) -3 (-3,1) 1 (1,4) 4 f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 極大值9 ↘ 極小值- ↗ 故當(dāng)x=1時(shí),f(x)有最小值為-. 此時(shí)a=(,1),b=(1,-2). 設(shè)θ為a與b的夾角,則cosθ==-. 又由θ∈[0,π],得θ=. 【例2】 如圖所示,對(duì)于同一高度(足夠高)的兩個(gè)定滑輪,用一條(足夠長)繩子跨過它們,并

22、在兩端分別掛有4 kg和2 kg的物體,另在兩個(gè)滑輪中間的一段繩子懸掛另一物體,為使系統(tǒng)保持平衡狀態(tài),此物體的質(zhì)量應(yīng)是多少?(忽略滑輪半徑、繩子的重量) 剖析:先進(jìn)行受力分析,列出平衡方程,然后用數(shù)學(xué)方法求解. 解:設(shè)所求物體質(zhì)量為m kg時(shí),系統(tǒng)保持平衡,再設(shè)F1與豎直方向的夾角為θ1,F2與豎直方向的夾角為θ2,則有 (其中g(shù)為重力加速度) 由①式和②式消去θ2,得 m2-8mcosθ1+12=0, 即m=4cosθ1±2.③ ∵cosθ2>0,由②式知,③式中m=4cosθ1-2不合題意,舍去. 又∵4cos2θ1-3≥0,解得≤cosθ1≤1. 經(jīng)檢驗(yàn)

23、,當(dāng)cosθ1=時(shí),cosθ2=0,不合題意,舍去. ∴2<m<6. 綜上,所求物體的質(zhì)量在2kg到6 kg之間變動(dòng)時(shí),系統(tǒng)可保持平衡. 講評(píng):(1)m的范圍是通過函數(shù)y=4x+2的單調(diào)性求得的.(2)實(shí)際問題的處理要注意變量的實(shí)際意義,本題容易忽略cosθ2>0的實(shí)際限制. 優(yōu)化測控 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分) 1.(2006江蘇南京期末)已知向量a=(1,0),b=(1,1),c=(-1,0),若c=λa+μb(λ,μ∈R),則λ,μ的值分別為( ) A.1,0 B.1,1

24、C.0,1 D.-1,0 解析:∵c=λa+μb=λ(1,0)+μ(1,1)=(λ+μ,μ),而c=(-1,0),∴ ∴故選擇D. 答案:D 2.有三個(gè)命題:①向量與是共線向量,則A、B、C、D必在同一直線上;②向量a與向量b平行,則a與b的方向相同或相反;③四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件是=.其中正確的是( ) A.②B.③C.①③D.②③ 解析:①與共線,AB與CD也可以平行.②中a與b也可能有0. 答案:B 3.(2006四川成都檢測)設(shè)向量a=(cos25°,sin25°),b=(sin20°,cos20°),若t是實(shí)數(shù),且

25、u=a+t b,則|u|的最小值為( ) A. B.1 C. D. 解析:|a|=|b|=1,a·b=sin20°cos25°+cos20°sin25°=sin45°=, ∴|u|2=|a+t b|2=a2+2t a·b+t2b2=t2+t+1=(t+)2+≥. ∴|u|≥.選C. 答案:C 4.已知|a|=4,|b|=8,且a與2b-a互相垂直,則向量a與b的夾角是( ) A.arccosB.π-arccosC.D. 解析:由a⊥(2b-a),得a·(2b-a)=0.

26、 ∴2|a||b|cosθ-|a|2=0. ∴cosθ=,θ=arccos. 答案:A 5.(2006北京西城模擬)向量=(1,),=(0,1),若動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足條件則P(x,y)的變動(dòng)范圍(不含邊界的陰影部分)是( ) 解析:=(1,),=(0,1). 設(shè)P(x,y),則=(x,y), ∵即 經(jīng)分析,選A. 答案:A 6.已知向量=(1,1),=(1,a),其中a為實(shí)數(shù),O為原點(diǎn),當(dāng)這兩向量的夾角在(0,)變動(dòng)時(shí),a的取值范圍是( ) A.(0,1) B.(,) C.(,1)∪(1,)

27、 D.(1,) 解析:只需保證直線AO和OB的夾角為此范圍就行,顯然kOA=1,kOB=a.應(yīng)用夾角公式tanθ=||<,可得選項(xiàng)C. 答案:C 7.已知向量m與向量n互相垂直且|m|=|n|,若m=(2,1),則n等于( ) A.(1,-2) B.(-2,1) C.(-2,1)或(2,-1) D.(1,-2)或(-1,2) 解析:設(shè)n=(x,y),由題意設(shè)解得或 ∴n=(1,-2)或(-1,2). 答案:D 8.已知四邊形ABCD是菱形,點(diǎn)P在對(duì)角線AC上

28、(不包括端點(diǎn)A、C),則等于( ) A.λ(+),λ∈(0,1) B.λ(+),λ∈(0,) C.λ(-),λ∈(0,1) D.λ(-),λ∈(0,) 解析:由平行四邊形法則及共線的充要條件容易得到選項(xiàng)A. 答案:A 9.(2006西安五校聯(lián)考)已知向量a=(3,4),b=(2,-1),如果向量a+λb與向量-b互相垂直,則實(shí)數(shù)λ的值為( ) A. B. C.2 D.- 解析:a+λb=(3,4)+λ(2,-1)=(3+2λ,4-λ),-

29、b=(-2,1),若(a+λb)⊥(-b),則-2(3+2λ)+4-λ=0.∴λ=-.故選D. 答案:D 10.若a與b的夾角為60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,則向量a的模是( ) A.2 B.4 C.6 D.12 解析:由題意知a2-a·b-6b2=-7a,把|b|=4,cos60°=代入得|a|2-2|a|-24=0.∴|a|=6或|a|=-4(舍). 答案:C 11.命題p:△ABC及點(diǎn)G滿足++=0;命題q:G是△ABC的重心,則p

30、是q的( ) A.充分不必要條件B.必要不充分條件 C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件 解析:若G是△ABC的重心,由課本例題可知,++=0成立.若++=0,則+=-,可證CG必經(jīng)過AB的中點(diǎn). 答案:C 12.在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),=a,=b,對(duì)任意一點(diǎn)M,它關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn)為S,S關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為N,則用a、b表示為( ) A.2(b-a) B.(a-b) C.a+b D.(a+b) 解析:=+=2+2=2-2(四邊形OASB是平行四邊形). 答案:A 二、填空題(本大題共4小題,每小題4

31、分,共16分) 13.=3e1,=3e2,且=,則=__________________________. 解析:=3e2-3e1,==e2-e1,=+=2e1+e2. 答案:2e1+e2 14.(2006北京海淀模擬)若向量a=(3,2),b=(0,-1),則向量2a-b的坐標(biāo)是_______________;a·b=_______________________. 解析:a=(3,2),b=(0,-1),∴2a-b=(6,4)-(0,-1)=(6,5),a·b=3×0+2×(-1)=-2. 答案:(6,5) -2 15.若對(duì)n個(gè)向量a1,a2,…,an存在n個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)

32、k1,k2,…,kn,使得k1a1+k2a2+…+knan=0成立,則稱向量a1,a2,…,an為“線性相關(guān)”.依此規(guī)定,能說明a1=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2,2)“線性相關(guān)”的實(shí)數(shù)k1、k2、k3依次可以取_____________________________(寫出一組數(shù)值即可,不必考慮所有情況). 解析:設(shè)k1a1+k2a2+k3a3=0, 即k1(1,0)+k2(1,-1)+k3(2,2)=(0,0). ∴ ∴k1=-4k3,k2=2k3. 取k3=1得一組k1、k2、k3依次為-4、2、1. 答案:-4、2、1 16.(2006江蘇南

33、京期末)若|a|=1,|b|=2,c=a-b,且c⊥a,則向量a與b的夾角為__________. 解析:∵c=a-b且c⊥a,∴c·a=0,即(a-b)·a=0,a2=a·b=1,cos〈a,b〉==.∴〈a,b〉=. 答案: 三、解答題(本大題共6小題,共74分) 17.(本小題滿分12分)已知向量a=(3,-4),求: (1)與a平行的單位向量b; (2)與a垂直的單位向量c; (3)將a繞原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到的向量e的坐標(biāo). 解:(1)設(shè)b=λa,則|b|=1,b=(,-)或b=(-,). (2)由a⊥c,a=(3,-4),可設(shè)c=λ(4,3),求得c

34、=(,)或c=(-,-). (3)設(shè)e=(x,y),則x2+y2=25. 又a·e=3x-4y=|a|·|e|cos45°,即3x-4y=,由上面關(guān)系求得e=(,-)或e=(-,-). 而向量e由a繞原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到,故e=(,-). 18.(本小題滿分12分)已知a、b、c分別是△ABC三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊, (1)若△ABC面積為,c=2,A=60°,求a、b的值; (2)若acosA=bcosB,試判斷△ABC的形狀,證明你的結(jié)論. 解:(1)由已知得=bcsinA=bsin60°, ∴b=1. 由余弦定理a2=b

35、2+c2-2bccosA=3, ∴a=. (2)由正弦定理得2RsinA=a,2RsinB=b, ∴2RsinAcosA=2RsinBcosB,即sin2A=sin2B. 由已知A、B為三角形內(nèi)角,∴A+B=90°或A=B. 故△ABC為直角三角形或等腰三角形. 19.(本小題滿分12分)向量a=(1,cos2θ),b=(2,1),c=(4sinθ,1),d=(sinθ,1),其中θ∈(0,). (1)求a·b-c·d的取值范圍; (2)若函數(shù)f(x)=|x-1|,判斷f(a·b)與f(c·d)的大小,并說明理由. 解:(1)a·b=2+cos2θ,c·

36、d=2sin2θ+1=2-cos2θ, ∵a·b-c·d=2cos2θ, ∴0<θ<.∴0<2θ<. ∴00. ∴f(a·b

37、)>f(c·d). 20.(本小題滿分12分)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足下列條件:(1)A

38、c=AD+DB=4+4. 21.(本小題滿分12分)已知a=(cosθ,sinθ),b=(cosβ,sinβ),a與b之間有關(guān)系式|ka+b|=|a-kb|(k>0). (1)用k表示a·b; (2)求a·b的最小值,并求此時(shí)a與b夾角的大小. 解:(1)將|ka+b|=|a-kb|兩邊平方得 a·b==. (2)∵(k-1)2≥0,又k>0,∴≥=,即a·b≥,cosα=.又0°≤α≤180°,故a與b的夾角為60°. 22.(本小題滿分14分)已知平面向量a=(,-1),b=(,), (1)證明a⊥b; (2)若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k和t,使x=a+(t2

39、-3)b,y=-ka+tb,且x⊥y,試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t); (3)據(jù)(2)的結(jié)論,確定函數(shù)k=f(t)的單調(diào)區(qū)間. (1)證明:a·b=(,-1)·(,)=-=0,∴a⊥b. (2)解:∵x⊥y,∴x·y=0且a·b=0,a2=4,b2=1. 整理得-4k+t(t2-3)=0. ∴k=t(t2-3). (3)解:記f(t)=(t3-3t), ∴f′(t)=t2-. 令f′(t)>0,得t<-1或t>1. 因此,當(dāng)t∈(-∞,-1)時(shí),f(t)是增函數(shù); 當(dāng)t∈(1,+∞)時(shí),f(t)也是增函數(shù). 再令f′(t)<0得-1

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