數(shù)學物理方程問題詳解谷超豪

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1、word 第一章． 波動方程 §1 方程的導出。定解條件 1．細桿〔或彈簧〕受某種外界原因而產(chǎn)生縱向振動，以u(x,t)表示靜止時在x點處的點在時刻t離開原來位置的偏移，假設振動過程發(fā)生的X力服從虎克定律，試證明滿足方程 其中為桿的密度，為楊氏模量。 證：在桿上任取一段，其中兩端于靜止時的坐標分別為 與?，F(xiàn)在計算這段桿在時刻的相對伸長。在時刻這段桿兩端的坐標分別為： 其相對伸長等于 令，取極限得在點的相對伸長為。由虎克定律，X力等于 其中是在點的楊氏模量。 設桿的橫截面面積為如此作用在桿段兩端的力分別為 于是得運動方程 利用微分中值定理，

2、消去，再令得 假如常量，如此得 = 即得所證。 2．在桿縱向振動時，假設(1)端點固定，(2)端點自由，(3)端點固定在彈性支承上，試分別導出這三種情況下所對應的邊界條件。 解：(1)桿的兩端被固定在兩點如此相應的邊界條件為 (2)假如為自由端，如此桿在的X力|等于零，因此相應的邊界條件為 |=0 同理，假如為自由端，如此相應的邊界條件為 ∣ (3)假如端固定在彈性支承上，而彈性支承固定于某點，且該點離開原來位置的偏移由函數(shù)給出，如此在端支承的伸長為。由虎克定律有 ∣ 其中為支承的剛度系數(shù)。由此得邊界條件 ∣ 其中 特別地，假如支承固定于一定點上，如此

3、得邊界條件 ∣。 同理，假如端固定在彈性支承上，如此得邊界條件 ∣ 即 ∣ 3. 試證：圓錐形樞軸的縱振動方程為 其中為圓錐的高(如圖1) 證：如圖，不妨設樞軸底面的半徑為1，如此 點處截面的半徑為： 所以截面積。利用第1題，得 假如為常量，如此得 4. 絕對柔軟逐條而均勻的弦線有一端固定，在它本身重力作用下，此線處于鉛垂平衡位置，試導出此線的微小橫振動方程。 解：如圖2，設弦長為，弦的線密度為，如此點處的X力為 且的方向總是沿著弦在點處的切線方向。仍以表示弦上各點在時刻沿垂直于軸方向的位移，取弦段如此弦段兩端X力在軸方向的投影分別為 其

4、中表示方向與軸的夾角 又 于是得運動方程 ∣∣ 利用微分中值定理，消去，再令得 。 5. 驗證 在錐>0中都滿足波動方程 證：函數(shù)在錐>0內對變量有 二階連續(xù)偏導數(shù)。且 同理 所以 即得所證。 6. 在單性桿縱振動時,假如考慮摩阻的影響,并設摩阻力密度涵數(shù)(即單位質量所受的摩阻力) 與桿件在該點的速度大小成正比(比例系數(shù)設為b), 但方向相反,試導出這時位移函數(shù)所滿足的微分方程. 解: 利用第1題的推導,由題意知此時尚須考慮桿段上所受的摩阻力.由題設,單位質量所受摩阻力為,

5、故上所受摩阻力為 運動方程為: 利用微分中值定理，消去,再令得 假如常數(shù)，如此得 假如 §2 達朗貝爾公式、 波的傳抪 1. 證明方程 的通解可以寫成 其中F,G為任意的單變量可微函數(shù),并由此求解它的初值問題: 解：令如此 又 代入原方程，得 即 由波動方程通解表達式得 所以 為原方程的通解。 由初始條件得 所

6、以 由兩式解出 所以 + 即為初值問題的解散。 ２．問初始條件與滿足怎樣的條件時，齊次波動方程初值問題的解僅由右傳播波組成？ 解：波動方程的通解為 u=F(x-at)+G(x+at) 其中F，G由初始條件與決定。初值問題的解僅由右傳播組成，必須且只須對 于任何有 G(x+at)常數(shù). 即對任何x, G(x)C 又 G〔x〕= 所以應滿足 〔常數(shù)〕 或 (x)+=0 3.利用傳播波法，求解波動方程的特征問題〔又稱古爾沙問題〕 解：u(x,t)=F(x

7、-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 =F〔0〕+G〔2x〕 令 x+at=0 得 =F〔2x〕+G(0) 所以 F(x)=-G(0). G〔x〕=-F(0). 且 F〔0〕+G(0)= 所以 u(x,t)=+- 即為古爾沙問題的解。 4．對非齊次波動方程的初值問題 證明： （1） 如果初始條件在x軸的區(qū)間[x,x]上發(fā)生變化，那末對應的解在區(qū)間[， ]的影響區(qū)域以外不發(fā)生變化； （2） 在x軸區(qū)間[]上所給的初始條件唯一地確定區(qū)間[]的決定區(qū) 域中解的數(shù)值。 證：〔1〕

8、 非齊次方程初值問題的解為 u(x,t)= + 當初始條件發(fā)生變化時，僅僅引起以上表達式的前兩項發(fā)生變化，即僅僅影晌到相應齊 次方程初值的解。 當在[]上發(fā)生變化，假如對任何t>0,有x+atx,如此區(qū)間[x-at,x+at]整個落在區(qū)間[]之外，由解的表達式知u(x,t)不發(fā)生變化，即對t>0,當xx+at,也就是〔x,t〕落在區(qū)間[]的影響域 之外，解u(x,t)不發(fā)生變化。 〔1〕得證。 (2). 區(qū)間[]的決定區(qū)域為 在其中任給〔x,t〕,如此 故區(qū)間[x-at,x+at]完全落在

9、區(qū)間[]中。因此[]上所給的初紿 條件代入達朗貝爾公式唯一地確定出u(x,t)的數(shù)值。 5. 假如電報方程 具體形如 的解〔稱為阻礙尼波〕，問此時之間應成立什么關系？ 解 代入方程，得 由于是任意函數(shù)，故的系數(shù)必需恒為零。即 于是得 所以 代入以上方程組中最后一個方程，得 又 即 最后得到 6．利用波的反射法求解一端固定并伸長到無窮遠處的弦振動問題 解：滿足方程與初始條件的解，由達朗貝爾公式給出： 。 由題意知僅在上給出，為利用達朗貝爾解，必須將開拓到上，為此利用邊值條件，得 。 因此對任何必須有 即必須接

10、奇函數(shù)開拓到上，記開拓后的函數(shù)為； 所以 。 7．求方程形如的解〔稱為球面波〕其中。 解： ` 代入原方程，得 即 令，如此 代入方程，得?v滿足 故得通解 所以 8．求解波動方程的初值問題 解：由非齊次方程初值問題解的公式得 = = = = 即 為所求的解。 9．求解波動方程的初值問題。 解： = = = = + = + 所以 ?§3混合問題的別離變量法 1. 用別離變量法求如下問題的解： (1) 解：邊

11、界條件齊次的且是第一類的，令 得固有函數(shù)，且 ， 于是 今由始值確定常數(shù)與，由始值得 所以 當 因此所求解為 (2) 解：邊界條件齊次的，令 得： (1) 與 。 求問題(1)的非平凡解，分以下三種情形討論。 時，方程的通解為 由得 由得 解以上方程組，得，，故時得不到非零解。 時，方程的通解為 由邊值得，再由得，仍得不到非零解。 時，方程的通解為 由得，再由得 為了使，必須 ，于是

12、 且相應地得到 將代入方程(2)，解得 于是 再由始值得 容易驗證構成區(qū)間上的正交函數(shù)系： 利用正交性，得 所以 2。設彈簧一端固定，一端在外力作用下作周期振動，此時定解問題歸結為 求解此問題。 解：邊值條件是非齊次的，首先將邊值條件齊次化，取，如此滿足 ， 令代入原定解問題，如此滿足 滿足第一類齊次邊界條件，其相應固有函數(shù)為， 故設 將方程中非齊次項與初始條件中按展成級數(shù)，得 其中 其中 將(2)代入問題(1)，得滿足 解方程，得通解 由始值

13、，得 所以 因此所求解為 3．用別離變量法求下面問題的解 解：邊界條件是齊次的，相應的固有函數(shù)為 設 將非次項按展開級數(shù)，得 其中 將 代入原定解問題，得滿足 方程的通解為 由，得： 由，得 所以 所求解為 4．用別離變量法求下面問題的解： 解：方程和邊界條件都是齊次的。令 代入方程與邊界條件，得 由此得邊值問題 因此得固有值，相應的固有函數(shù)為 又滿足方程 將代入，相應的記作，得滿足 一般言之，很小，即阻尼很小，故

14、通常有 故得通解 其中 所以 再由始值，得 所以 所求解為 §4 高維波動方程的柯西問題 1． 利用泊松公式求解波動方程 的柯西問題 解：泊松公式 現(xiàn) 且 其中 計算 所以 u(x,y,z)= 即為所求的解。 2． 試用降維法導出振動方程的達朗貝爾公式。 解：三維波動方程的柯西問題 當u不依賴于x,y,即u=u(z),即得弦振動方程的柯西問題： 利用

15、泊松公式求解 因只與z有關，故 令, 得 所以 即為達郎貝爾公式。 3. 求解平面波動方程的柯西問題： 解： 由二維波動方程柯西問題的泊松公式得： 又 因為 所以 又 于是 即為所求的解。 4. 求二維波動方程的軸對稱解〔即二維波動方程的形如的解， . 解： 解法一：利用二維波動方程柯西問題的積分表達式 由于u是軸對稱的故其始值,只是r 的函數(shù)，, 記圓上任一點的矢徑為 圓心其矢徑為記如此

16、由余弦定理知，，其中為與的夾角。選極坐標。 于是以上公式可寫成 由上式右端容易看出，積分結果和有關，因此所得的解為軸對稱解，即 + 解法二：作變換,.波動方程化為 用別離變量法，令u(r,t)=R(r)T(t).代入方程得 解得： 令疊加得 [提示：在三維波動方程中，令] 解：令 如此 代入原問題，得 記為上半球，為下半球，為在平面上的投影。 ,如此 所以 于是 即為所求的解。 6．試用第七段中的方法導出平面齊次波動方程 在齊

17、次初始條件 下的求解公式。 解：首先證明齊次化原理：假如是定解問題 的解，如此即為定解問題 的解。 顯然， 〔 〕.所以 又 因為w滿足齊次方程，故u滿足 齊次化原理得證。由齊次方程柯西問題解的泊松公式知 所以 即為所求的解。 所以 7．用降維法來解決上面的問題 解：推遲勢 其中積分是在以為中心，為半徑的球體中進展。它是柯西問題 的解。對于二維問題，皆與無關，故 其中為以為中心r為半徑的球面，即 其中分別表示的上半球面與下半球面，表示在平面上的投影。 所以

18、在最外一層積分中，作變量置換，令，即，當時，當時，，得 即為所求，與6題結果一致。 8． 非齊次方程的柯西問題 解：由解的公式得 計算 所以　 　 計算 所以　　　 即為所求的解。 §5　能量不等式，波動方程解的唯一和穩(wěn)定性 1． 設受摩擦力作用的固定端點的有界弦振動，滿足方程 證明其能量是減少的，并由此證明方程 的混合問題解的唯一性以與關于初始條件與自由項的穩(wěn)定性。 證：　首先證明能量是減少。 能量　 因弦的兩端固定，所以 于是 ( 因此，隨著的增加，是減

19、少的。 證明混合問題解的唯一性 混合問題: 設是以上問題的解。令如此滿足 能量 當利用初始條件有由得 所以 又是減少的，故當又由的表達式知 所以 由此得與于是得到 常量 再由初始條件得因此即混合問題解的唯一的。 3證明解關于初始條件的穩(wěn)定性，即對任何可以找到只要初始條件之差滿足 如此始值所對應的解與所對應的解之差滿足 或 令 即 積分得 又,所以 即 記，如此滿足 如此相對應地有 故假如 如此

20、 于是 (對任何t) 即 或 解關于自由的穩(wěn)定性 設滿足 滿足 如此滿足 今建立有外力作用時的量不等式 = = 其中故 又, 所以 由中證明, 知 而 故 因此, 當 ,如此 亦即當，如此。即解關于自由項是穩(wěn)定的。 2．證明如果函數(shù)在G：，作微小改變時，方程 〔，和都是一些充分光滑的函數(shù)〕滿足固定端點邊界條件的混合問題的解在G內的改變也是很微小的。 證：只須證明，當很小時，如此問題的解也很小〔按絕對值〕。 考慮能量 由邊界條件，，故，。 所以 又由于，，故，

21、即 或 記 得 由初始條件，， 又因，得，故，即 假如很小，即，如此，故 即在中任一時刻，當很小時，，又中積分號下每一項皆為非負的，故 〔對中任一時刻〕今對，， 估計。 因為 ，應用布尼亞科夫斯基不等式， 可以得到 其中〔因且充分光滑〕 即 又由邊界條件，得 即當，，有很小，得證。 3．證明波動方程 的自由項中在意義下作微小改變時，對應的柯西問題的解在意義之下改變也是微小的。 證：研究過的特征錐 令截，得截面，在上研究能量： 其中為的邊界曲線。再利用奧氏公式，得 因為第二項是非正的，故 所以 令

22、 上式可寫成 即 即 研究 所以 為證明柯西問題的解的關于自由項的穩(wěn)定性，只須證明柯西問題 當“很小〞時，如此解的模也“很小〞 此時，由始值，而由于得 所以 ，即 故任給，當，如此得證 4．固定端點有界弦的自由振動可以分解成各種不同固有頻率的駐波(諧 波)的迭加。試計算各個駐波的動能和位能，并證明弦振動的總能量等于各個駐波能量的迭加。這個物理性質對應的數(shù)學事實是什么？

23、 解：固定端點有界弦的自由振動，其解為 每一個是一個駐波，將的總能量記作，位能記作，動能記作，如此 總能量 由此知與無關，即能量守恒，。 現(xiàn)在計算弦振動的總能量，由于自由振動能量守恒，故總能量亦滿足守恒定律，即 即 又由別離變量法，、由始值決定，且 所以 利用在上的正交性，得 同理 所以 。 即總能量等于各個駐波能量之和。 這個物理性質所對應的數(shù)學意義說明線性齊次方程在齊次邊界知件下，不僅解具有可加性，而且與仍具有可加性。這是由于的正交性所決定的。

24、 的情況下，證明定理5，即證明此時波動方程柯西問題存在著唯一的廣義解，并且它在證理4的意義下是穩(wěn)定的。 證：我們知道當，如此波動方程柯西問題的古典解唯一存在，且在意義下關于初始條件使穩(wěn)定的〔定理3、4〕 今，根據(jù)維爾斯特拉斯定理，存在{},{}, 當時與其一階偏導數(shù),分別一致收斂于與一致收斂于。 記：為初始條件的柯西問題的古典解為，如此二階連續(xù)可微，且在意義下關于是穩(wěn)定的。{},{}為一致連續(xù)序列，自然在：特征錐K與相交截出的圓意義下為一根本列，即時 , , 根據(jù)的穩(wěn)定性，得 即在意義下為一根本列，根據(jù)黎斯—弗歇爾定理，存在唯一的函數(shù),使當時 即為對應于初

25、始條件的柯西問題的廣義解。 現(xiàn)在證明廣義解的唯一性。 假如另有，當時且 是一致的，其所對應的古典解(按), 現(xiàn)在, 用反證法， 假如，研究序列 (1) (2) 如此序列〔1〕與其對的偏導數(shù)仍分別一致收斂于, 序列〔2〕仍為一致收斂于，利用古典解關于初始條件的穩(wěn)定性，序列〔1〕(2)所對應的古典解序列 根據(jù)黎期弗歇爾定理，按意義收斂于唯一的極限函數(shù)。與矛盾。故以上所定義的廣義解是唯一的。 假如，所對應的廣義解記作又所對應的廣義解記作，即存在。分別一致收斂于如此，所對應的古典解按意義收斂于所對應的古

26、典解按意義收斂于 (3) 假如,,,。如此 =3[++] 因，，故當有， 所以即 同理有 ，， 由古典解的穩(wěn)定性，得?！伯敗秤钟蓮V義解的定義知，對， 當有 ， 故當時，由〔3〕式有 即廣義解對于初始條件是穩(wěn)定的。 6．對弦振動方程的柯西問題建立廣義解的定義，并證明在為連續(xù)，為可積的情形，廣義解仍然可以用達朗貝爾公式來給出，因而是連續(xù)函數(shù)。 解：由達朗貝爾公式知，當時 如此柯西問題 有古典解.且關于是穩(wěn)定的。 現(xiàn)在按以下方法來定義廣義解。 給出一對初始函數(shù)可以唯確實定

27、一個。函數(shù)對的全體構成一個空間，它的元素的模按以下方式來定義，記的依賴區(qū)域為，記為區(qū)域：，如此在上的值僅依賴于上函數(shù)對的值。今定義 如此構成一個線性賦X空間，其中任意兩個元素 ， 的距離為 中任一元素對應一個解是中二階連續(xù)可微函數(shù)，它的全體也構成一個函數(shù)空間，記為，其模定義為，二元素的距離為如此與的關系可以看成到的一個映象，且根據(jù)關于的穩(wěn)定性知，映象是連續(xù)的。 現(xiàn)將完備化，考慮中任一根本列，滿足，如此在中按模成為根本列，由黎斯—弗歇爾定理，存在著極限元素即將添入且定義的模為 如此為一完備空間 又為根本列，如此所對應的也是一個中的根本列〔穩(wěn)定性〕，再根據(jù)黎斯—弗歇爾定理，存在著唯一的極限元素，就稱為對應于初始條件的弦振動方程柯西問題的廣義解。 假如連續(xù)，如此存在且一致收斂于，又可積如此必可積，因此對任意的存在連續(xù)函數(shù)，使得 又 再由維爾斯特拉斯定理知存在，當時一致收斂于，即任給，當時 于是 當 即當時 亦即收斂于。 對于，，由達朗貝爾公式得， 令， 由于，如此是收斂的， 記其極限函數(shù)為，得廣義解： 又連續(xù)?？煞e，如此也連續(xù)，故為連續(xù)函數(shù)。即得所證。 44 / 44