蘇錫常鎮(zhèn)高三數(shù)學(xué)一模試卷及參考答案純word版

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1、2014年蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)查(一) 數(shù)學(xué)I試題 2014. 3 、填空題：本大題共 14小題，每小題5分，共計(jì)70分?請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上 1.已知集合 A ?1,2,3,4 ?, B ?m,4,7 ［，若 A^B —1,4?，貝U AU B 二 ▲ 開(kāi)始 2 ?若復(fù)數(shù)z = □ ( i為虛數(shù)單位)，則丨z | = ▲ . 1 -i 2 2 3. 已知雙曲線x _y 1的離心率為 3，則實(shí)數(shù)m的值為 ▲ . m 8 y J 1 y J 2y 1 4. 一個(gè)容量為20的樣本數(shù)據(jù)分組后， 分組與頻數(shù)分別如下：10,20 1,2; (20,3

2、】0 3; (30,40 ], 4; (40,50 】，5; (50,60 】，4; (60,70 ], 2.則 樣本在10,50 ]上的頻率是 ▲. 5?執(zhí)行如圖所示的算法流程圖，則最后輸出的 y等于__▲_. （第 5 題） 6. 設(shè)函數(shù)f (x)二asin x x2，若f⑴=0，貝U f ( -1)的值為 ▲ . 7. 四棱錐P -ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PA丄底面ABCD 且PA = 4，貝U PC與底面ABCD所成角的正切值為 ▲ &從甲，乙，丙，丁 4個(gè)人中隨機(jī)選取兩人，則甲乙兩人中有且只有一個(gè)被選取的概率為 —▲ 2 1 I p I 9. 已知

3、tan (a b) , tan b ，則 tan a+ 的值為 ▲ . 5 3 I 4丿 10. 設(shè)等差數(shù)列：a. J的前n項(xiàng)和為Sn，若a1 = -3 , ak1=3 , = -12，則正整數(shù)k= ▲ . 2 11 .已知正數(shù)x, y滿足x 2y =2，貝x 8y的最小值為 ▲ . xy 13 12.如圖，在厶ABC中，BO為邊AC上的中線，^2Gd，設(shè) Cd // AG , 若AD ^1 A^ ■ AC G三只)，則，的值為 ▲ 5 ; 2 x 13.已知函數(shù)f(x)二巳"怡，x < 0, g(x^f (x) 2k，若函數(shù) x 4x 3, x 0, 有兩個(gè)

4、不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) k的取值范圍為 _▲ g(x)恰 (第 12 題) 14 . 在平面直 角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P(3,0) 2 2 C: x y _2 2 m ,4 y m2內(nèi)，，動(dòng)直線AB過(guò)點(diǎn)P且交圓C于A, B兩點(diǎn)，若厶ABC的面積的最大 值為16，則實(shí)數(shù) 二、解答題：本大題共 6小題，共計(jì)90分?請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域 內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明 m的取值范圍為 ▲ 過(guò)程或演算步驟. 15.(本小題滿分14分) 設(shè)函數(shù) f (x) =6cos2x -2 3sin xcosx . (1)求f(x)的最小正周期和值域; (2)在銳角△ ABC中，角A

5、,B,C的對(duì)邊分別為 a,b,c，若 f (B) =0 且 b =2 , 4 cos A 5 求a和sin C . A 16. (本小題滿分14分) 如圖，在三棱柱 ABC -ABQ1中，側(cè)面AA1B1B為菱形， 且 AAB=60 , AC =BC , D是 AB 的中點(diǎn). (1) 求證：平面 ADC _平面ABC ； (2) 求證：BC1 //平面 A, DC . 17. (本小題滿分14分) 一個(gè)圓柱形圓木的底面半徑為 1m，長(zhǎng)為10m，

6、將此圓木 沿軸所在的平面剖成兩個(gè)部分. 現(xiàn)要把其中一個(gè)部分加工 成直四棱柱木梁，長(zhǎng)度保持不變，底面為等腰梯形 ABCD (如圖所示，其中 O為圓心，C,D在半圓 上),設(shè)NBOC =q，木梁的體積為 V (單位：m3),表面積為S (單位：m2). (1 )求V關(guān)于B的函數(shù)表達(dá)式； (2)求q的值，使體積V最大; (3 )問(wèn)當(dāng)木梁的體積 V最大時(shí)，其表面積 S是否也最大？請(qǐng)說(shuō)明理由. 18. (本小題滿分16分) 如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知 A , B , C是 2 2 橢圓篤?身=1(a b 0)上不同的三點(diǎn) a b A(3.2,J)

7、, B(；,；) , C在第三象限，線段 BC 19. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)求點(diǎn)C的坐標(biāo); (3)設(shè)動(dòng)點(diǎn)p在橢圓上(異于點(diǎn) A， B， C )且 直線PB，PC分別交直線OA于M , N兩點(diǎn), 證明OM ON為定值并求出該定值. (本小題滿分16分) 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 1an?的前n項(xiàng)和為Sn,已 中點(diǎn)在直線OA 上. 知印=1 ,且(Sn 1 -)an =(Sn ' 1歸.1 對(duì)一切 (1 )若入=1，求數(shù)列:an /的通項(xiàng)公式; (2 )求入的值，使數(shù)列 是等差數(shù)列. 20. (本小題滿分16分) 已知函數(shù) f(x)=mx-alnx-m,g

8、(x) x ,其中 m, e a均為實(shí)數(shù). (1) 求g(x)的極值; (2)設(shè)m =1,a ：：：0,若對(duì)任意的x1,x2 [3,4](X1 -X2) , f 區(qū))一 f(xj ：： g(x2) g(為) 恒成立，求a的 最小值; (3) 設(shè)a =2 ,右對(duì)任意給疋的X。■ (0,e］，在區(qū)間(0,e］上總存在b,t2(t1 =t2),使得f (tj = f(t2)=g(x()) 成立，求m的取值范圍. 數(shù)學(xué)H (附加題) 21. 【選做題】在 A、B、C、D四小題中只能選做兩題，每小題10分，共計(jì)20分?請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域 B.選修4—2:矩陣與變

9、換 2)， 計(jì)算M . 1 已知矩陣M二 I2 C .選修4 — 4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程 x — 2 + 2cos a 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，圓的參數(shù)方程為 一 ’（a為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)0為極點(diǎn)，x軸的 |y = 2sin a 正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系?求： （1） 圓的直角坐標(biāo)方程； （2） 圓的極坐標(biāo)方程. 【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分?請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域 內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字 說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. 22. （本小題滿分10分） 甲乙兩個(gè)同學(xué)進(jìn)行定點(diǎn)投籃游戲，已知他們每一次投籃投中的概率均為 2，且各次投籃的結(jié)果互不

10、影 3 響.甲同學(xué)決定投 5次，乙同學(xué)決定投中1次就停止，否則就繼續(xù)投下去，但投籃次數(shù)不超過(guò) 5次. （1 ）求甲同學(xué)至少有 4次投中的概率； （2）求乙同學(xué)投籃次數(shù) x的分布列和數(shù)學(xué)期望. 23. （本小題滿分10分） 設(shè)￡ =C； —cb+c：』—HI +（—1）"兄』,m,nE N *且men ,其中當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，m ;當(dāng)n為奇數(shù)時(shí), 2 n —1 m 2 (2)記 s = 1 C2°14 -1 Ch 1 C；012 2014 2013 2012 (1 )證明：當(dāng)n?N * , n > 2時(shí)， 2011C2011 山 1 —1007 C1

11、007 1007 求S的值. 1.勺,2,3,4,7 ? 2. .5 3. 4 10. 13 11. 9 12. 6 13. 5 4 — 5. 63 6. 2014年蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)查（一） 數(shù)學(xué)I試題參考答案 、填空題：本大題共 14小題，每小題5分，共70 分. - 2 9 2 7. 2 8. 9. 3 8 14. [3 2 3,3 2 力U(3 —2 7,3 —2 3] 、解答題：本大題共 6小題，共計(jì)90分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. “ 1+C0S2 x r- — 15.解：(1) f(x) =6

12、 3sin 2x = 3cos2 x-T3sin 2x 3 2 =2 3cos(2x 6) 3. 所以f(x)的最小正周期為T(mén) =生 2 =p , 值域?yàn)閇3 _2 3,3 2 3]. 3 (2)由 f(B)卩得 Cos(2B 于 p n n 7 n n 5 n t B為銳角，? 2B , 2B 6 6 6 6 6 ??? B 7t ??? S；, A 三(0, p) , ? sin A = 1 -( )2 4 2 3 5 5 在厶ABC中, 由正弦定理得 bsi nA "5 4/3 a — _ — sin B 3 5 2 .? sinC =s

13、in(p - A - B)=sin( 2十"3你 10 16. (1)證明：T ABB1A1為菱形，且 .AAB =60 , ? △ AAB為正三角形. -■ D 是 AB 的中點(diǎn)，? AB _AD . ?/ AC =BC , D 是 AB 的中點(diǎn)，? AB_CD . 一 AD nCD 二D ,??? AB _平面 A1DC . ??? AB 二平面 ABC，?平面 ADC _平面 ABC . (2)證明：連結(jié)GA，設(shè)AG PlAC二E，連結(jié)DE . ???三棱柱的側(cè)面 AA1C1C是平行四邊形，? E為AC1中點(diǎn). 在厶ABC1中，又T D是AB的中點(diǎn)，? DE //

14、 BC1 . ??? DE 平面 ADC , BG 二平面 ADC , BC1 // 平面 AQC . 17 ?解：(1)梯形ABCD的面積 c 2cos q +2 . P、 Sabcd sinq =SInqcosq sinq , q (0,竺). 2 2 體積 V(q) =10(sin qcosq sinq),q (0,P). 2 3分 4分 6分 9分 10分 12分 ..14 分 2分 4分 6分 8分 10分 12分 14分 2分 3分

15、 p q（0,；）. 2 (2) V (q) =10(2cos q cosq—1) =10(2cos q—1)(cosq 1). 1 令 V (q) =0，得 cosq =，或 cosq - _1 (舍). 2 v q = (0, P) , ? q =2 . 2 3 當(dāng) q (0,2)時(shí)，丄:：:cosq <1, V (q) 0,V(q)為增函數(shù); 3 2 當(dāng)qq2）時(shí)，o?sqd, v（q）2v（q）為減函數(shù). .??

16、當(dāng)q=3時(shí)，體積V最大. S =2Sabcd S側(cè)=2(sinq cosq sinq) 20(cosq 2sin 學(xué) 1), q20,號(hào)). 10分 2q 設(shè) g(q)二cosq 2sin q 1, q= (0, P) . v g(q) - _2sin 2q 2sin q 2 , 2 sin2冷，即q€時(shí)，g（q）最大. 12分 又由 （2）知q 時(shí)，sinqcosq sin q取得最大值, 3 所以 qE時(shí)，木梁的表面積S最大. 13分 綜上，當(dāng)木梁的體積 V最大時(shí)，其表面積 S也最大. 14分 9 欝+2=1, 18.解：（1）由已知，得 a2 b2

17、9 + 9 - 2 2 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 —y 1. 27 27 2 解得b2 = 27, _27 -2 (2)設(shè)點(diǎn) C(m,n) (m ：：0, n ::: 0)，則 BC 中點(diǎn)為(-m -，--). 2 2 由已知，求得直線 OA的方程為x-2y=0,從而m =2 n -3 .① 又v?點(diǎn)C在橢圓上，? m2 2n2 =27 .② 由①②，解得n =3 （舍），n = -1，從而m = _5 . 所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-5,-1）. (3)設(shè) P(x°,y°) , M(2y1,yJ , Ndy). ??? P,B,M三點(diǎn)共線，???丿」 去一3，整理，得 2

18、y1 +3 Xo +3 y1 3(y° —Xo) X0 —'2y0 —3 (3)木梁的側(cè)面積 S側(cè)(AB 2BC CD) 10=20(cosq 2sin ?- P,C,N三點(diǎn)共線，二丄二1 ，整理，得y 2y2 +5 冷 +5 -冷一2y° 3 10分 ???點(diǎn) C 在橢圓上，? X02 - 2y。2 =27 , X02 =27 _2y。2 . 2 2 從而yy =3(2X0字一6糾0) X0 +4y° _4約0 _9 2 3(3y0 -6x0 y° 27) 2 =3 3， 2y0 一4約0 18 2 2 14分 15分 所以晶器旳1…；5 16分

19、 ? oM ON為定值，定值為45 2 19 .解：(1)右入=1 ,則(Sn 1 ' 1)an -(Sn ' 1)an 1 , a1 - -1 ? 又??? an .0, Sn 0 , - -並 .S2 1 S1 1 Sn 1 S3 1 Sn 1 1 a2 S2 1 Sn 1 a1 an ' 色.III d, a2 an 化簡(jiǎn)，得 Sn 1 "1 =2an 1 .① ???當(dāng) n > 2 時(shí)，Sn 7 =2an .② ②-①，得 an 1 二 2an , ?? an1 =2 ( n > 2 ). an ???當(dāng)n = 1時(shí)，a2

20、=2 ,? n = 1時(shí)上式也成立， 二數(shù)列｛an｝是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，an = 2心(N* ). (2)令 n = 1,得 a2 =， 1 .令 n = 2, 得 a3 =(.幾"1)2 . 10分 要使數(shù)列「aj是等差數(shù)列，必須有 2a2二a1 *3，解得 入=0 . 11分 當(dāng)入一 0 時(shí)，Sn 1an = (Sn 1)an 1，且 a2 二 a〔 =1 . 當(dāng) n >2 時(shí),Sn 1(Sn -乩)=(Sn 1)(Sn1 -Sn), 整理，得Sn2 - Sn 6 , Sn 1 _Sn 1 Sn _1 1 Sn 13分 從而1 I 二魚(yú)魚(yú)III $ 1

21、 S +1 S2 +1 Sn4 +1 S2 S3 Sn 化簡(jiǎn)，得Sn 1 =Sn 1，所以an 1 =1 . 15分 綜上所述，an =1 ( n N * ), 所以入=0時(shí)，數(shù)列「an?是等差數(shù)列. 16分 20. 解：(1) g(x)=e(1M)，令 g(x)=o，得 x = 1. e 列表如下： X (-汽 1) 1 (1，心) + 0 — g(x) / 極大值 的極大值為1，無(wú)極 ??? g(1) = 1 , ??? y = g(x) (2)當(dāng) m =1,a ：：：0時(shí)，f (x) =x - al

22、n x -1 , x 三(0,：：). x _a ?- f(x) 0在［3,4］恒成立，? f(x)在［3,4］上為增函數(shù). x (每一1)> 0在［3,4］恒成立, x x x J 設(shè) h(x) 一 -，: h(x) =e g(x) ex ? h(x)在［3,4］上為增函數(shù). 1 1 設(shè) X2 >X1，貝y f(X2)—f(xJ< 等價(jià)于 f(X2)— f (X1)

23、 ，則u(x)在［3,4］為減函數(shù). x X e (x -1) ' 2 X < 0在(3, 4)上恒成立. X丄 二 a>x -ex A e 恒成立. x x A x A x ± e x」e(x—1) x a 1 12 3 設(shè) v(x)二x「e ,??? v(x) =1-e 2 =1—e ［( ) ］ , x ［3, 4］, x x x 2 4 ? e%」［(丄―■一r ―］ 3 e . 1 ,? v (x) < 0, v(x)為減函數(shù). x 2 4 4 2 ? v(x)在［3, 4］上的最大值為 v(3) = 3 -2e2 . 8分 3 ? a

24、> 3 -2e2, ? a 的最小值為 3 -2e2. 9 分 3 3 (3) 由(1 )知g(x)在(0,e］上的值域?yàn)?0,1］ . 10分 f (x) = mx —2In x「m , x 三(0,：：), 11分 當(dāng)m =0時(shí)，f(x) - -2ln x在(0,e］為減函數(shù)，不合題意. 當(dāng)m嚴(yán)0時(shí), 由題意知 f(x)在(0,e］不單調(diào), 2 2 所以0 e，即m .① m e 此時(shí)f(x)在(0, 2)上遞減，在(2,e)上遞增, ，m m， f (e)> 1, 即卩 f(e)二me「2「m》1，解得 m》_.② e —1

25、m」 e -1 ??? 1 (0,e] , ? f(2)w f(1) =0成立. ?… m 下證存在t (0,2］，使得f⑴》1. m 取t ，先證e " ：：： 2，即證2em m -m . 0.③ 設(shè) w(x) -2e -x，則 w(x)_2e -1 0在[ ,■?■：；)時(shí)恒成立. e—1 ?- w(x)在［—，七:心)時(shí)為增函數(shù).? e—1 3 w(x)》w( ) 0 ,?③成立. e—1 再證f(e』)》1. 由①②，得 m》丄時(shí)，命題成立. e—1 12分 13分 14分 3 f(ejm)=mejm m m> 1 , e

26、—1 19 ，每小題10分，共計(jì)20 分. 16分 綜上所述，m的取值范圍為［3 ,亦). e —1 21、【選做題】在 A、B、C、D四小題中只能選做兩題 A .選修4 — 1:幾何證明選講 證明：連結(jié) ac .Tea是圓o的切線，??? . eab = . acb . 2分 ：AB 二AD ,??? ? ACD =? ACB . ??? . ACD 二.EAB . 4 分 :圓o是四邊形ABCD的外接圓，??? . D =/ABE .

27、 6分 ?? CDA s ABE . 8 分 CD DA AB BE Tab =AD , CD AB AB BE 10分 B.選修4—2:矩陣與變換 解：矩陣M的特征多項(xiàng)式為= 1 °2 =泊—2k—3 . —2 丸一1 令f( ) =0,解得'1 =3, '2 = T，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量分別為 令 B = ma n a，得 m =4,n = -3 . M 6 M 6 (4 a-3a2)=4( M =)—3( M =)=4 36 ； —3(—1)6 [=囂 ? 10分 C .選修4— 4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 解：（1）圓的直角坐標(biāo)方程為（x_2）

28、2，y2=4 . （2）把｛;篡驚代入上述方程，得圓的極坐標(biāo)方程為—c禍. 10分 D .選修4 — 5 :不等式選講 解：f （x）的最小值為3 _ a2 _2a , 由題設(shè)，得a2 _2a <3,解得a^（_i,3）. 10分 【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20 分. 22.解：（1）設(shè)甲同學(xué)在 5次投籃中，有x次投中，“至少有4次投中”的概率為 P，則 P = P(x =4) ”p(x =5) 424 2 1 525 2 0 112 = C5(3)(1-3)C5(3)(1-3)=243 (2)由題意 x 二1,2,3,4,5 . 2 . P(x

29、 =1) , P(x = 2)： 3 - 1 2 x- 3 3 2 112 2 ,P(x =3)： 9 3 3 3 27 f 11 P(x"1 3 2 2 , 81 1 81 x的分布表為 1 2 3 4 5 2 2 2 2 Ex =1 2 3 4 5 3 9 27 23.解：(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n 1為偶數(shù)， x的數(shù)學(xué)期望 81 81 n-1為偶數(shù)， 1 空 81 10分 =C； -“ 2 Cn2!, n十 n十 ?- S 1Y1 -cHH (T)〒c石，S

30、 n n S1X=C°x-Cn^ll+^1)2 Cn21 , J ??? 0 1 -S. =(C：1 -擴(kuò))-(Cn -C：4)川(T) 2 (C弟 J -Cn21) (T) 2 Cn21 n丄 n丄 0 1 -q- -5- = -(% V|(+(-1) 2 Cn[) 2 ???當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn.i.rSn - 5」成立. 同理可證，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí), Sn 1 二 S -SnA 也成立. （2）由 S 打14唸4-20113 C2013 1 2 C2012 2012 1 亠3 1 J007 一 2011 C2011 山一而C1007，得

31、_ 0 1 =C2014 -(C 1 1 2 + C2013) +(C2012 2013 丄「2 2012 _ 2 3 3 3 1007 C2012)—(C2011 ? C2011 ) (C1007 2011 1007 c 1007 \ + C1007 ) 1007 0 1 = (C2014 —C2013 ■ C2012 一 (H-°007 ) —{C2012 -C2011 * C2010 -川'C1006 ) =S2014 - S2012 . 又由Sn 1 所以S2014 —S2012 =S4 2014 10分