中考數(shù)學一輪復習 第一部分 系統(tǒng)復習 成績基石 第二章 方程（組）與不等式（組）第8講 一元二次方程.ppt

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考點一元二次方程的有關概念 第8講一元二次方程 1 定義 含有一個未知數(shù) 并且未知數(shù)的最高次數(shù)是的整式方程叫做一元二次方程 2 一般形式 ax2 bx c 0 a 0 3 解 使一元二次方程的左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解 也叫做一元二次方程的根 2 考點一元二次方程的解法 一般形式 右邊 二次項 一次項系數(shù)一半 直接開平方 一元一次 考點一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系 警示 當方程有兩個實數(shù)根時 一元二次方程根的判別式大于或等于0 解決這類問題易忽視等號出錯失分 1 根的判別式 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 中 叫做一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根的判別式 通常用 來表示 即 b2 4ac 當 0時 方程有兩個 的實數(shù)根 當 0時 方程有兩個 的實數(shù)根 當 0時 方程無實數(shù)根 反之亦成立 2 根與系數(shù)的關系 如果方程ax2 bx c 0 a 0 的兩個實數(shù)根是x1 x2 那么x1 x2 x1x2 b2 4ac 不相等 相等 點撥 利用根與系數(shù)的關系求某些代數(shù)式的值時 先把代數(shù)式變形成兩根的和與積的形式 常見的變形 x21 x22 x1 x2 2 2x1x2 x1 x2 2 x1 x2 2 4x1x2 考點一元二次方程的應用 列一元二次方程解應用題的一般步驟 1 審 讀懂題目 弄清題意 明確已知量和未知量以及它們之間的 2 設 設元 也就是設未知數(shù) 3 找 找出 4 列 列方程 5 解 解方程 6 驗 檢驗未知數(shù)的值的準確性及合理性 7 答 寫出答案 等量關系 等量關系 命題點一元二次方程的解法 考情分析 從近幾年中考的題目來看 解一元二次方程是中考的重要內容 往往單獨考查 通常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn) 1 2018 泰安 T10 3分 一元二次方程 x 1 x 3 2x 5根的情況是 A 無實數(shù)根B 有一個正根 一個負根C 有兩個正根 且都小于3D 有兩個正根 且有一根大于3 2 2017 泰安 T7 3分 一元二次方程x2 6x 6 0配方后化為 A x 3 2 15B x 3 2 3C x 3 2 15D x 3 2 3 3 2016 泰安 T9 3分 一元二次方程 x 1 2 2 x 1 2 7的根的情況是 A 無實數(shù)根B 有一正根一負根C 有兩個正根D 有兩個負根 4 2015 泰安 T22 3分 方程 2x 1 x 1 8 9 x 1的根為 D A C 命題點一元二次方程根的判別式 考情分析 從近幾年中考的題目來看 一元二次方程根的判別式是重要考查內容 有時單獨考查 有時同根與系數(shù)的關系結合起來考查 通常以選擇題 填空題的形式出現(xiàn) 5 2017 泰安 T22 3分 關于x的一元二次方程x2 2k 1 x k2 1 0無實數(shù)根 則k的取值范圍為 命題點一元二次方程的應用 考情分析 從近幾年中考的題目來看 一元二次方程的應用是重點考查內容 一般單獨考查 通常以選擇題 填空題或解答題的形式出現(xiàn) 6 2014 泰安 T13 3分 某種花卉每盆的盈利與每盆的株數(shù)有一定的關系 每盆植3株時 平均每株盈利4元 若每盆增加1株 平均每株盈利減少0 5元 要使每盆的盈利達到15元 每盆應多植多少株 設每盆多植x株 則可以列出的方程是 A 3 x 4 0 5x 15B x 3 4 0 5x 15C x 4 3 0 5x 15D x 1 4 0 5x 15 A 7 2013 泰安 T27 8分 某商店購進600個旅游紀念品 進價為每個6元 第一周以每個10元的價格售出200個 第二周若按每個10元的價格銷售仍可售出200個 但商店為了適當增加銷量 決定降價銷售 根據(jù)市場調查 單價每降低1元 可多售出50個 但售價不得低于進價 單價降低x元銷售一周后 商店對剩余旅游紀念品清倉處理 以每個4元的價格全部售出 如果這批旅游紀念品共獲利1250元 問第二周每個旅游紀念品的銷售價格為多少元 解 由題意 得200 10 6 10 x 6 200 50 x 4 6 600 200 200 50 x 1250 即800 4 x 200 50 x 2 200 50 x 1250 整理 得x2 2x 1 0 解得x1 x2 1 所以10 1 9 元 所以第二周的銷售價為9元 類型一元二次方程的解法 例1 用適當?shù)姆椒ń夥匠?1 3x2 6x 3 2 4 x 2 2 3x 1 2 0 規(guī)范解答 1 整理 得3x2 6x 3 0 1分 3 x 1 2 0 2分 解得x1 x2 1 4分 3 x 3x 2 6x2 0 4 x 2 x 5 1 解題要領 如果題目沒有指明用什么方法 解一元二次方程通常是先考慮能不能用直接開平方法 再看能不能用因式分解法 最后考慮公式法或配方法 1 2018 鹽城 已知一元二次方程x2 k 3 0有一個根為1 則k的值為 A 2B 2C 4D 4 3 2018 安順 一個等腰三角形的兩條邊長分別是方程x2 7x 10 0的兩根 則該等腰三角形的周長是 A 12B 9C 13D 12或9 4 2018 梧州 解方程 2x2 4x 30 0 解 整理 得x2 2x 15 0 x 5 x 3 0 解得x1 5 x2 3 2 2018 臨沂 一元二次方程配方后可化為 B B A 類型一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系 例2 已知關于x的一元二次方程x2 m 3 x m 0 1 求證 方程有兩個不相等的實數(shù)根 2 如果方程的兩實根為x1 x2 且x21 x22 x1x2 7 求m的值 自主解答 1 證明 x2 m 3 x m 0 m 3 2 4 1 m m2 2m 9 m 1 2 8 0 方程有兩個不相等的實數(shù)根 2 方程x2 m 3 x m 0的兩實根為x1 x2 且x21 x22 x1x2 7 x1 x2 2 3x1x2 7 m 3 2 3 m 7 解得m1 1 m2 2 即m的值是1或2 解題要領 解答這類問題的關鍵是明確題意 找出所求問題需要的條件 利用方程的思想求解 5 2018 泰州 已知x1 x2是關于x的方程x2 ax 2 0的兩根 下列結論一定正確的是 A x1 x2B x1 x2 0C x1 x2 0D x1 0 x2 0 6 2018 貴港 已知 是一元二次方程x2 x 2 0的兩個實數(shù)根 則 的值是 A 3B 1C 1D 3 7 2018 南充 已知關于x的一元二次方程x2 2m 2 x m2 2m 0 1 求證 方程有兩個不相等的實數(shù)根 2 如果方程的兩實數(shù)根為x1 x2 且x21 x22 10 求m的值 解 1 證明 由題意 得 2m 2 2 4 m2 2m 4 0 方程有兩個不相等的實數(shù)根 2 x1 x2 2m 2 x1x2 m2 2m x21 x22 x1 x2 2 2x1x2 10 2m 2 2 2 m2 2m 10 m2 2m 3 0 解得m 1或m 3 A B 8 2018 東營 關于x的方程2x2 5xsinA 2 0有兩個相等的實數(shù)根 其中 A是銳角三角形ABC的一個內角 1 求sinA的值 2 若關于y的方程y2 10y k2 4k 29 0的兩個根恰好是 ABC的兩邊長 求 ABC的周長 解 1 根據(jù)題意 得 25sin2A 16 0 sin2A sinA A為銳角 sinA 2 由題意 知方程y2 10y k2 4k 29 0有兩個實數(shù)根 則 0 100 4 k2 4k 29 0 k 2 2 0 k 2 2 0 又 k 2 2 0 k 2 2 0 k 2 把k 2代入方程 得y2 10y 25 0 解得y1 y2 5 ABC是等腰三角形 且腰長為5 分兩種情況 當 A是頂角時 AB AC 5 如圖1所示 過點B作BD AC于點D 在Rt ABD中 AB AC 5 sinA AD 3 BD 4 DC 2 BC ABC的周長為10 當 A是底角時 AB BC 5 如圖2所示 過點B作BD AC于點D 在Rt ABD中 AB 5 sinA AD DC 3 AC 6 ABC的周長為16 綜上所述 ABC的周長為10 或16 類型一元二次方程的應用 例3 2018 重慶 在美麗鄉(xiāng)村建設中 某縣政府投入專項資金 用于鄉(xiāng)村沼氣池和垃圾集中處理點建設 該縣政府計劃 2018年前5個月 新建沼氣池和垃圾集中處理點共計50個 且沼氣池的個數(shù)不低于垃圾集中處理點個數(shù)的4倍 1 按計劃 2018年前5個月至少要修建多少個沼氣池 2 到2018年5月底 該縣按原計劃剛好完成了任務 共花費資金78萬元 且修建的沼氣池個數(shù)恰好是原計劃的最小值 據(jù)核算 前5個月 修建每個沼氣池與垃圾集中處理點的平均費用之比為1 2 為加大美麗鄉(xiāng)村建設的力度 政府計劃加大投入 今年后7個月 在前5個月花費資金的基礎上增加投入10a 全部用于沼氣池和垃圾集中處理點建設 經(jīng)測算 從今年6月起 修建每個沼氣池與垃圾集中處理點的平均費用在2018年前5個月的基礎上分別增加a 5a 新建沼氣池與垃圾集中處理點的個數(shù)將會在2018年前5個月的基礎上分別增加5a 8a 求a的值 規(guī)范解答 1 設修建沼氣池x個 則修建的垃圾集中處理點為 50 x 個 根據(jù)題意 得x 4 50 x 解得x 40 2分 答 至少要修建40個沼氣池 4分 2 由題意 2018年前5個月修建沼氣池與垃圾集中處理點的個數(shù)分別為40個 10個 設2018年前5個月修建每個沼氣池的平均費用為y萬元 由題意 得40y 10 2y 78 解得y 1 3 5分 即2018年前5個月修建每個沼氣池與垃圾集中處理點的平均費用分別為1 3萬元 2 6萬元 由題意 得1 3 1 a 40 1 5a 2 6 1 5a 10 1 8a 78 1 10a 5分 令t a 則有1 3 1 t 40 1 5t 2 6 1 5t 10 1 8t 78 1 10t 整理 得10t2 t 0 解得t1 0 t2 0 1 a1 0 不符合題意 舍去 a2 10 a 10 10分 解題要領 本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及一元二次方程的應用 解題的關鍵是 根據(jù)點的坐標 利用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達式 找準等量關系 正確列出一元二次方程 9 2018 寧夏 某企業(yè)2018年初獲利潤300萬元 到2020年初計劃利潤達到507萬元 設這兩年的年利潤平均增長率為x 應列方程是 A 300 1 x 507B 300 1 x 2 507C 300 1 x 300 1 x 2 507D 300 300 1 x 300 1 x 2 507 10 2018 大連 如圖 有一張矩形紙片 長10cm 寬6cm 在它的四角各減去一個同樣的小正方形 然后折疊成一個無蓋的長方體紙盒 若紙盒的底面 圖中陰影部分 面積是32cm2 求剪去的小正方形的邊長 設剪去的小正方形邊長是xcm 根據(jù)題意可列方程為 A 10 6 4 6x 32B 10 2x 6 2x 32C 10 x 6 x 32D 10 6 4x2 32 B B 11 因國際馬拉松賽事即將在某市舉行 某商場預計銷售一種印有該市設計的馬拉松圖標的T恤 定價為60元 每天大約可賣出300件 經(jīng)市場調查 每降價1元 每天可多賣出20件 已知這種T恤的進價為40元一件 在鼓勵大量銷售的前提下 商場還想獲得每天6080元的利潤 應將銷售單價定位在多少元 解 設降低了x元 則每天銷售 300 20 x 件 根據(jù)題意 得 60 40 x 300 20 x 6080 化簡 得x2 5x 4 0 解得x1 1 x2 4 要求銷售量大 x 4 60 x 56 答 應將銷售單價定位在56元 件 12 2018 德州 為積極響應新舊動能轉換 提高公司經(jīng)濟效益 某科技公司近期研發(fā)出一種新型高科技設備 每臺設備成本價為30萬元 經(jīng)過市場調研發(fā)現(xiàn) 每臺售價為40萬元時 年銷售量為600臺 每臺售價為45萬元時 年銷售量為550臺 假定該設備的年銷售量y 單位 臺 和銷售單價x 單位 萬元 成一次函數(shù)關系 1 求年銷售量y與銷售單價x的函數(shù)表達式 2 設此設備的銷售單價為x萬元 臺 則每臺設備的利潤為 x 30 萬元 銷售數(shù)量為 10 x 1000 臺 根據(jù)題意 得 x 30 10 x 1000 10000 整理 得x2 130 x 4000 0 解得x1 50 x2 80 此設備的銷售單價不得高于70萬元 x 50 答 該設備的銷售單價應是50萬元 臺 2 根據(jù)相關規(guī)定 此設備的銷售單價不得高于70萬元 如果該公司想獲得10000萬元的年利潤 則該設備的銷售單價應是多少萬元