浙江省2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)學(xué)思想與開放探索問題 第38講 閱讀理解型問題講解篇
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1、 第38講 閱讀理解型問題 內(nèi)容 特性 閱讀理解型問題是指通過閱讀材料,理解材料中所提供的新方法或新知識,并靈活運用這些新方法或新知識,去分析、解決類似或相關(guān)的問題. 解題 策略 解決閱讀理解問題的基本思路是“閱讀→分析→理解→解決問題”,具體做法: ①認真閱讀材料,把握題意,注意一些數(shù)據(jù)、關(guān)鍵名詞; ②全面分析,理解材料所蘊含的基本概念、原理、思想和方法,提取有價值的數(shù)學(xué)信息; ③對有關(guān)信息進行歸納、整合,并且和方程、不等式、函數(shù)或幾何等數(shù)學(xué)模型結(jié)合來解答. 基本 思想 方程思想,類比思想,化歸思想;分析法,比較法等.這是解決閱讀理解題常用的數(shù)學(xué)思想
2、方法. 類型一 應(yīng)用型:閱讀-理解-建模-應(yīng)用 (2015·湖州)如圖,已知拋物線C1∶y=a1x2+b1x+c1和C2∶y=a2x2+b2x+c2都經(jīng)過原點,頂點分別為A,B,與x軸的另一個交點分別為M、N,如果點A與點B,點M與點N都關(guān)于原點O成中心對稱,則拋物線C1和C2為姐妹拋物線,請你寫出一對姐妹拋物線C1和C2,使四邊形ANBM恰好是矩形,你所寫的一對拋物線解析式是__________和__________. 【解后感悟】此題通過閱讀二次函數(shù)的圖象與幾何變換,用到的知識點是姐妹拋物線的定義、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、矩形的判定,理解構(gòu)建根據(jù)姐妹拋物線的定義得出姐妹拋
3、物線的二次項的系數(shù),一次項系數(shù)、常數(shù)項之間的關(guān)系,利用矩形知識對定義的應(yīng)用. 1.(2015·孝感)我們把兩組鄰邊相等的四邊形叫做“箏形”.如圖,四邊形ABCD是一個箏形,其中AB=CB,AD=CD.對角線AC,BD相交于點O,OE⊥AB,OF⊥CB,垂足分別是E,F(xiàn).求證OE=OF. 類型二 猜想型:閱讀-理解-歸納-驗證 (2015·衢州)小明在課外學(xué)習(xí)時遇到這樣一個問題: 定義:如果二次函數(shù)y=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1,b1,c1是常數(shù))與y=a2x2+b2x+c2(a2≠0,a2,b2,c2是常數(shù))滿足a1+a2=0,b1=b2,c1+c
4、2=0,則稱這兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”. 求函數(shù)y=-x2+3x-2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”. 小明是這樣思考的:由函數(shù)y=-x2+3x-2可知,a1=-1,b1=3,c1=-2,根據(jù)a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,求出a2,b2,c2,就能確定這個函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”. 請參考小明的方法解決下面問題: (1)寫出函數(shù)y=-x2+3x-2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”; (2)若函數(shù)y=-x2+mx-2與y=x2-2nx+n互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”,求(m+n)2015的值; (3)已知函數(shù)y=-(x+1)(x-4)的圖象與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,點A、B、C關(guān)于原點的對稱點分別是A1,B1,
5、C1,試證明經(jīng)過點A1,B1,C1的二次函數(shù)與函數(shù)y=-(x+1)(x-4)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”. 【解后感悟】在仔細閱讀后,正確理解新定義,理解其中的內(nèi)容、方法和思想,閱讀特殊范例,歸納驗證一般結(jié)論. 2.(2015·株洲)P表示n邊形的對角線的交點個數(shù)(指落在其內(nèi)部的交點),如果這些交點都不重合,那么P與n的關(guān)系式是: P=·(n2-an+b)(其中,a,b是常數(shù),n≥4) (1)填空:通過畫圖可得:四邊形時,P=____________________(填數(shù)字),五邊形時,P=____________________(填數(shù)字);
6、 (2)請根據(jù)四邊形和五邊形對角線交點的個數(shù),結(jié)合關(guān)系式,求a,b的值. (注:本題的多邊形均指凸多邊形) 類型三 概括型:閱讀-理解-概括-拓展 (2016·臺州)定義:有三個內(nèi)角相等的四邊形叫三等角四邊形. (1)三等角四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C,求∠A的取值范圍; (2)如圖,折疊平行四邊形紙片DEBF,使頂點E,F(xiàn)分別落在邊BE,BF上的點A,C處,折痕分別為DG,DH.求證:四邊形ABCD是三等角四邊形; (3)三等角四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C,若CB=CD=4,則當(dāng)AD的長為何值時,AB的長最大,其最大值是
7、多少?并求此時對角線AC的長. 【解后感悟】本題要對新定義閱讀和理解,通過前面問題的解答積累經(jīng)驗,再概括、拓展解決新問題,要注意分類討論.解題時關(guān)鍵要領(lǐng)會題中所體現(xiàn)的解題方法,運用已有知識深刻理解解題方法的內(nèi)涵,予以拓展、應(yīng)用,解決所提問題. 3.(2017·紹興)定義:有一組鄰邊相等,并且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形. (1)如圖1,等腰直角四邊形ABCD,AB=BC,∠ABC=90°, ①若AB=CD=1,AB∥CD,求對角線BD的長; ②若AC⊥BD,求證:AD=CD; (2)如圖2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=9,點P是對角線BD上
8、一點,且BP=2PD,過點P作直線分別交邊AD,BC于點E,F(xiàn),使四邊形ABFE是等腰直角四邊形,求AE的長. 類型四 探究型:閱讀-理解-嘗試-探究 (2015·紹興)如果拋物線y=ax2+bx+c過定點M(1,1),則稱此拋物線為定點拋物線. (1)張老師在投影屏幕上出示了一個題目:請你寫出一條定點拋物線的一個解析式.小敏寫出了一個答案:y=2x2+3x-4,請你寫出一個不同于小敏的答案; (2)張老師又在投影屏幕上出示了一個思考題:已知定點拋物線y=-x2+2bx+c+1,求該拋物線頂點縱坐標(biāo)的值最小時的解析式,請你解答.
9、 【解后感悟】此題是二次函數(shù)的知識基礎(chǔ)上的新定義題,題目較新穎,解答本題的關(guān)鍵是仔細審題,理解題意所給的信息,嘗試、探究新問題:拋物線頂點縱坐標(biāo)的值最小時的解析式,即要構(gòu)建一個函數(shù),頂點縱坐標(biāo)為y=(b-1)2+1來解決問題. 4.(2015·自貢)觀察下表 序號 1 2 3 圖形 我們把某格中字母和所得的多項式稱為特征多項式,例如第1格的“特征多項式”為4x+y,回答下列問題: (1)第3格的“特征多項式”為____________________,第4格的“特征多項式”為____________________,第n格的
10、“特征多項式”為____________________; (2)若第1格的“特征多項式”的值為-10,第2格的“特征多項式”的值為-16, ①求x,y的值; ②在此條件下,第n格的特征多項式是否有最小值?若有,求出最小值和相應(yīng)的n值,若沒有,說明理由. 【閱讀理解題】 已知坐標(biāo)平面上的線段AB及點P,任取AB上一點Q,線段PQ長度的最小值稱為點P到線段AB的距離,記作d(P→AB). (1)如圖所示,已知長度為2個單位的線段MN在x軸上,M點的坐標(biāo)為(1,0),求點P(1,1)到線段MN的距離d(P→MN); (2)已知坐標(biāo)平面上點G到線段DE:
11、y=x(0≤x≤3)的距離d(G→DE)=,且點G的橫坐標(biāo)為1,試求點G的縱坐標(biāo). 【方法與對策】此題屬于一次函數(shù)的綜合題,運用了點到直線的距離、等腰直角三角形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識.注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用.重視這種題型,該題型通過定義,使學(xué)生了解概念,再通過第(1)題解答,有更深入的感受來解答第(2)題.這是中考命題方向. 【對材料的理解不正確,而造成解題錯誤】 閱讀下列材料,然后解答下面的問題: 我們知道方程2x+3y=12有無數(shù)組解,但在實際生活中,我們往往只需要求出其正整數(shù)解,例:由2x+3y=12,得y==4-
12、x(x、y為正整數(shù)),而則有0 13、精析】
例1 連結(jié)AB,根據(jù)姐妹拋物線的定義,可得姐妹拋物線的二次項的系數(shù)互為相反數(shù),一次項系數(shù)相等且不等于零,常數(shù)項都是零,設(shè)拋物線C1的解析式為y=ax2+bx,根據(jù)四邊形ANBM恰好是矩形可得:OA=OM,∵OA=MA,∴△AOM是等邊三角形,設(shè)OM=2,則點A的坐標(biāo)是(1,),則解得:則拋物線C1的解析式為y=-x2+2x,拋物線C2的解析式為y=x2+2x,故答案為:y=-x2+2x;y=x2+2x(答案不唯一,只要符合條件即可).
例2 (1)∵a1=-1,b1=3,c1=-2,∴-1+a2=0,b2=3,-2+c2=0,∴a2=1,b2=3,c2=2,∴函數(shù)y=-x2+3x 14、-2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”為y=x2+3x+2;(2)根據(jù)題意得m=-2n,-2+n=0,解得m=-3,n=2,∴(m+n)2015=(-3+2)2015=-1;(3)證明:當(dāng)x=0時,y=-(x+1)(x-4)=2,則C(0,2),當(dāng)y=0時,-(x+1)(x-4)=0,解得x1=-1,x2=4,則A(-1,0),B(4,0),∵點A、B、C關(guān)于原點的對稱點分別是A1,B1,C1,∴點A1(1,0),B1(-4,0),C1(0,-2),設(shè)經(jīng)過點A1,B1、C1的二次函數(shù)解析式為y=a2(x-1)(x+4),把C1(0,-2)代入得a2·(-1)·4=-2,解得a2=,∴經(jīng)過點A1,B1,C1的二次函 15、數(shù)解析式為y=(x-1)(x+4)=x2+x-2,而y=-(x+1)(x-4)=-x2+x+2,∴a1+a2=-+=0,b1=b2=,c1+c2=2-2=0,∴經(jīng)過點A1,B1,C1的二次函數(shù)與函數(shù)y=-(x+1)(x-4)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.
例3 (1)∵∠A=∠B=∠C,∴3∠A+∠ADC=360°,∴∠ADC=360°-3∠A.∵0°<∠ADC<180°,∴0°<360°-3∠A<180°,∴60°<∠A<120°;(2)證明:∵四邊形DEBF為平行四邊形,∴∠E=∠F,且∠E+∠EBF=180°.∵DE=DA,DF=DC,∴∠E=∠DAE=∠F=∠DCF,∵∠DAE+∠DAB=18 16、0°,∠DCF+∠DCB=180°,∠E+∠EBF=180°,∴∠DAB=∠DCB=∠ABC,∴四邊形ABCD是三等角四邊形;(3)①當(dāng)60°<∠A<90°時,如圖1,過點D作DF∥AB,DE∥BC,∴四邊形BEDF是平行四邊形,∠DFC=∠B=∠DEA,∴EB=DF,DE=FB,∵∠A=∠B=∠C,∠DFC=∠B=∠DEA,∴△DAE∽△DCF,AD=DE,DC=DF=4,設(shè)AD=x,AB=y(tǒng),∴AE=y(tǒng)-4,CF=4-x,∵△DAE∽△DCF,∴=,∴=,∴y=-x2+x+4=-(x-2)2+5,∴當(dāng)x=2時,y的最大值是5,即:當(dāng)AD=2時,AB的最大值為5,②當(dāng)∠A=90°時,三等角四 17、邊形是正方形,∴AD=AB=CD=4,③當(dāng)90°<∠A<120°時,∠D為銳角,如圖2,∵AE=4-AB>0,∴AB<4,綜上所述,當(dāng)AD=2時,AB的長最大,最大值是5;此時,AE=1,如圖3,過點C作CM⊥AB于M,DN⊥AB于N,∵DA=DE,DN⊥AB,∴AN=AE=,∵∠DAN=∠CBM,∠DNA=∠CMB=90°,∴△DAN∽△CBM,∴=,∴BM=1,∴AM=4,CM==,∴AC===.
例4 (1)答案不唯一,如y=x2-2x+2.(2)∵y=-(x-b)2+c+b2+1,∴該拋物線頂點坐標(biāo)為(b,c+b2+1).又∵定點拋物線y=-x2+2bx+c+1過定點M(1,1), 18、∴1=-1+2b+c+1,即c=1-2b.∴頂點縱坐標(biāo)為c+b2+1=1-2b+b2+1=(b-1)2+1.∴b=1,c=-1時,c+b2+1最小,即拋物線頂點縱坐標(biāo)的值最小,此時,拋物線的解析式為y=-x2+2x.
【變式拓展】
1. 證明:在△ABD和△CBD中∴△ABD≌△CBD(SSS),∴∠ABD=∠CBD,∴BD平分∠ABC,又∵OE⊥AB,OF⊥CB,∴OE=OF.
2. (1)1 5 (2)將上述值代入公式可得:化簡得:解之得:
3.(1)①∵AB=CD=1,AB∥CD,∴四邊形ABCD是平行四邊形,∵AB=BC,∴四邊形ABCD是菱形,∵∠ABC=90°, 19、∴四邊形ABCD是正方形,∴BD=AC==.②如圖1,連結(jié)AC、BD.∵AB=BC,AC⊥BD,∴∠ABD=∠CBD,∵BD=BD,∴△ABD≌△CBD,∴AD=CD. (2)若EF⊥BC,則AE≠EF,BF≠EF,∴此時四邊形ABFE不是等腰直角四邊形,不符合題意.若EF與BC不垂直,①當(dāng)AE=AB時,如圖2,此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形,∴AE=AB=5.②當(dāng)BF=AB時,如圖3,此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形,∴BF=AB=5,∵DE∥BF,∴DE∶BF=PD∶PB=1∶2,∴DE=2.5,∴AE=9-2.5=6.5,綜上所述,滿足條件的AE的長為5或6.5.
4.(1 20、)12x+9y 16x+16y 4nx+n2y (2)①∵第1格的“特征多項式”的值為-10,第2格的“特征多項式”的值為-16,∴依題意得:解之得:∴x=-3,y=2; ②設(shè)最小值為W,則依題意得:W=4nx+n2y=-12n+2n2=2(n-3)2-18,答:有最小值為-18,相應(yīng)的n值為3.
【熱點題型】
【分析與解】(1)∵M點的坐標(biāo)為(1,0),點P的坐標(biāo)為(1,1),根據(jù)定義可得PM就是點P到線段MN的距離.∴d(P→MN)=1.(2)在坐標(biāo)平面內(nèi)作出線段DE:y=x(0≤x≤3).∵點G的橫坐標(biāo)為1,∴點G在直線x=1上,設(shè)直線x=1交x軸于點H,交DE于點K.①如圖,過點 21、G1作G1F⊥DE于點F,則G1F就是點G1到線段DE的距離.∵線段DE:y=x(0≤x≤3),∴△G1FK,△DHK均為等腰直角三角形,∵d(G1→DE)=,∴KF=,由勾股定理得G1K=2.又∵KH=OH=1,∴HG1=3.即G1的縱坐標(biāo)為3.②如圖,過點O作G2O⊥OE交直線x=1于點G2,由題意知△OHG2為等腰直角三角形,∵OH=1,∴G2O=.∴點G2同樣是滿足條件的點.∴點G2的縱坐標(biāo)為-1.綜上,點G的縱坐標(biāo)為3或-1.
【錯誤警示】
(1)或 (2)C (3)設(shè)購買筆記本x本,鋼筆y支,則3x+5y=35,5y=35-3x,y=7-x.∵x、y為正整數(shù),∴解得0
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