浙江省2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章 基本圖形(二)第28講 圖形的相似 第1課時 相似形講解篇

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1、 第28講 圖形的相似 第1課時 相似形 1.比例線段 考試內(nèi)容 考試 要求 比例 線段 定義 在四條線段中,如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比,那么這四條線段叫做成比例線段. a 基本 性質(zhì) 若=,則ad=bc.當(dāng)b=c時,b2=ad,那么b是a、d的比例中項(xiàng). 黃金 分割 點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC(AC>BC),如果AC是線段AB和BC的比例中項(xiàng),且==≈0.618,那么點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn). 2.平行線分線段成比例 考試內(nèi)容 考試 要求 基本 事實(shí) 兩條直線被一組平行線所截,所得的對應(yīng)線段

2、 . c 推論 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線),所得的對應(yīng)線段成比例. 3.相似圖形的有關(guān)概念 考試內(nèi)容 考試 要求 相似圖形 ____________________相同的圖形稱為相似圖形. a 相似多 邊形  兩個邊數(shù)相同的多邊形,如果它們的角分別 ,邊 ,那么這兩個多邊形叫做相似多邊形. 相似多邊形對應(yīng) 的比叫做相似比. (1)相似多邊形周長的比等于相似比; (2)相似多邊形面積的比等于相似比的平方 相似三 角形  兩個三角形的三個角分別_ ,三條邊

3、 ,則這兩個三角形相似.當(dāng)相似比等于1時,這兩個三角形 . 4.相似三角形的判定 考試內(nèi)容 考試 要求 判定1 ____________________于三角形一邊的直線和其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似. a 判定2 三邊 的兩個三角形相似. 判定3 兩邊 且夾角 的兩個三角形相似. 判定4 兩角分別 的兩個三角形相似. 判定5 滿足斜邊和一條直角邊 的兩個直角三角形相似.

4、 拓展 直角三角形中被斜邊上的高分成的兩個三角形都與原三角形相似. 5.相似三角形的性質(zhì) 考試內(nèi)容 考試 要求 性質(zhì) 1.相似三角形的對應(yīng)角 ,對應(yīng)邊 . a 2.相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比和周長的比都等于 . 3.相似三角形面積的比等于相似比的____________________. 三角形 的重心 三角形三條中線的交點(diǎn)叫做重心. 三角形的重心分每一條中線成1∶2的兩條線段. 拓展 如圖,△ABC中,∠ACB=90°,CD是

5、斜邊AB上的高,則有下列結(jié)論. ①AC2=AD·AB; ②BC2=BD·AB; ③CD2=AD·BD; ④AB·CD=AC·BC. 考試內(nèi)容 考試 要求 基本 思想 轉(zhuǎn)化思想:證角相等,證比例線段往往轉(zhuǎn)化為證相似三角形;測量問題,往往構(gòu)建相似三角形,即實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為相似三角形問題來解決. b 1. (2017·杭州)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上,DE∥BC,若BD=2AD,則(  ) A.= B.= C.= D.= 2.(2015·嘉興)如圖,直線l1∥l2

6、∥l3,直線AC分別交l1,l2,l3于點(diǎn)A,B,C;直線DF分別交l1,l2,l3于點(diǎn)D,E,F(xiàn).AC與DF相交于點(diǎn)H,且AH=2,HB=1,BC=5,則的值為(  ) A. B.2 C. D. 3.(2015·嘉興)如圖是百度地圖的一部分(比例尺1∶4000000).按圖可估測杭州在嘉興的南偏西____________________度方向上,杭州到嘉興的圖上距離約2cm,則杭州到嘉興的實(shí)際距離約為____________________. 【問題】如圖,點(diǎn)D在△ABC的邊

7、AC上. (1)要判斷△ADB與△ABC相似,添加一個條件是____________________; (2)若△ADB∽△ABC,AB=4,AD=2,則AC=________; (3)通過(1)、(2)解答,你能說出相似三角形哪些知識?        【歸納】通過開放式問題,歸納、疏理比例、相似多邊形有關(guān)概念,相似三角形性質(zhì)、判定. 類型一 比例性質(zhì)、黃金分割等相關(guān)概念  (1)(2016·山西)寬與長的比是(約0.618)的矩形叫做黃金矩形,黃金矩形蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價值,給我們以協(xié)調(diào)和勻稱的美感.我們可以用這樣的方法畫出黃金矩形:作正方形ABCD,分別取A

8、D、BC的中點(diǎn)E、F,連結(jié)EF;以點(diǎn)F為圓心,以FD為半徑畫弧,交BC的延長線于點(diǎn)G;作GH⊥AD,交AD的延長線于點(diǎn)H,則圖中下列矩形是黃金矩形的是(  ) A.矩形ABFE B.矩形EFCD C.矩形EFGH D.矩形DCGH 【解后感悟】先根據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理,求得DF的長,再根據(jù)DF=GF求得CG的長,最后根據(jù)CG與CD的比值為黃金比,判斷矩形DCGH為黃金矩形. (2) 已知==≠0,求的值. 【解后感悟】這類題我們一般是設(shè)輔助未知數(shù)k,即比值為k,把所有字母都用含有k的式子表示出來,從而達(dá)到計(jì)算或化簡的目的.

9、 1.在中華經(jīng)典美文閱讀中,小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)自己的一本書的寬與長之比為黃金比.已知這本書的長為20cm,則它的寬約為(  ) A.12.36cm  B.13.6cm C.32.36cm  D.7.64cm 2. (2015·揚(yáng)州)如圖,練習(xí)本中的橫格線都平行,且相鄰兩條橫格線間的距離都相等,同一條直線上的三個點(diǎn)A、B、C都在橫格線上,若線段AB=4cm,則線段BC=         cm. 類型二 相似多邊形  已知矩形ABCD中,AB=1,在BC上取一點(diǎn)E,沿AE將△ABE向上折疊,使B點(diǎn)落在AD上的F點(diǎn),若四邊形EFDC與矩形ADC

10、B相似,則AD=(  ) A. B. C. D.2 【解后感悟】解題關(guān)鍵是根據(jù)相似多邊形的性質(zhì):對應(yīng)邊的比等于相似比. 3.(2015·葫蘆島)如圖,在矩形ABCD中,AD=2,CD=1,連結(jié)AC,以對角線AC為邊,按逆時針方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C,再連結(jié)AC1,以對角線AC1為邊作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1,…,按此規(guī)律繼續(xù)下去,則矩形ABnCnCn-1的面積為____________________. 類型三 相似三角形的判定與性質(zhì)  (2016·南充)已

11、知正方形ABCD的邊長為1,點(diǎn)P為正方形內(nèi)一動點(diǎn),若點(diǎn)M在AB上,且滿足△PBC∽△PAM,延長BP交AD于點(diǎn)N,連結(jié)CM. (1)如圖1,若點(diǎn)M在線段AB上,求證:AP⊥BN;AM=AN; (2)①如圖2,在點(diǎn)P運(yùn)動過程中,滿足△PBC∽△PAM的點(diǎn)M在AB的延長線上時,AP⊥BN和AM=AN是否成立?(不需說明理由) ②是否存在滿足條件的點(diǎn)P,使得PC=?請說明理由.         【解后感悟】本題考查相似三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、圓的有關(guān)知識,解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用相似三角形性質(zhì)解決問題,最后一個問題利用圓的位置關(guān)系解決問題. 4. (1)如圖,在△ABC中,

12、點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上,且==,則S△ADE∶S四邊形BCED的值為(  ) A.1∶ B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4 (2) (2016·河北)如圖,△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.將△ABC沿圖示中的虛線剪開,剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是(  ) 5.(1)(2015·自貢)將一副三角板按圖疊放,則△AOB與△DOC的面積之比等于        . (2)(2015·無錫市南長區(qū)模擬)如圖,△ABC中,AB=5,BC=3,CA=4,D為AB的中點(diǎn),過

13、點(diǎn)D的直線與BC所在直線交于點(diǎn)E,若直線DE截△ABC所得的三角形與△ABC相似,則DE=        . 類型四 與相似三角形相關(guān)的問題  如圖,點(diǎn)A,B,C,D為⊙O上的四個點(diǎn),AC平分∠BAD,AC交BD于點(diǎn)E,CE=4,CD=6,則AE的長為(  ) A.4 B.5 C.6 D.7 【解后感悟】本題運(yùn)用圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì),解答本題的關(guān)鍵是得出∠CAD=∠CDB,證明△ACD∽△DCE. 6. (1)已知:在△ABC中,BC=10,BC邊上的高h(yuǎn)=5,點(diǎn)

14、E在邊AB上,過點(diǎn)E作EF∥BC,交AC邊于點(diǎn)F.點(diǎn)D為BC上一點(diǎn),連結(jié)DE、DF.設(shè)點(diǎn)E到BC的距離為x,則△DEF的面積S關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為(  ) (2)(2015·杭州模擬)在研究相似問題時,甲、乙同學(xué)的觀點(diǎn)如下: 甲:將邊長為3,4,5的三角形按圖①的方式向外擴(kuò)張,得到新的三角形,它們的對應(yīng)邊間距為1,則新三角形與原三角形相似. 乙:將鄰邊為3和5的矩形按圖②的方式向外擴(kuò)張,得到新矩形,它們的對應(yīng)邊間距均為1,則新矩形與原矩形不相似. 對于兩人的觀點(diǎn),下列說法正確的是( ) A.兩人都對 B.兩人都不對 C.甲對,乙不

15、對 D.甲不對,乙對 (3) (2015·濱州)如圖,在x軸的上方,直角∠BOA繞原點(diǎn)O按順時針方向旋轉(zhuǎn),若∠BOA的兩邊分別與函數(shù)y=-、y=的圖象交于B、A兩點(diǎn),則∠OAB的大小的變化趨勢為( ) A.逐漸變小 B.逐漸變大 C.時大時小 D.保持不變 7.(2016·龍東)已知,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E在直線AD上,AE=AD,連結(jié)CE交BD于點(diǎn)F,則EF∶FC的值是        . 【課本改變題】教材母題--浙教版教材九上第149頁第5題 課本中有一道作業(yè)題: 有一塊三角形余料ABC,它的邊B

16、C=120mm,高AD=80mm.要把它加工成正方形零件,使正方形的一邊在BC上,其余兩個頂點(diǎn)分別在AB,AC上.問加工成的正方形零件的邊長是多少mm? 小穎解得此題的答案為48mm,小穎善于反思,她又提出了如下的問題. (1)如果原題中要加工的零件是一個矩形,且此矩形是由兩個并排放置的正方形所組成,如圖1,此時,這個矩形零件的兩條邊長又分別為多少mm?請你計(jì)算. (2)如果原題中所要加工的零件只是一個矩形,如圖2,這樣,此矩形零件的兩條邊長就不能確定,但這個矩形面積有最大值,求達(dá)到這個最大值時矩形零件的兩條邊長.          【方法與對策】本題是課本改變題,試題設(shè)

17、置上主要是三角形和矩形的組合,通過基本圖形是相似三角形,揭示對應(yīng)邊成比例的關(guān)系式來解決問題,再深入探究,規(guī)律性較強(qiáng),這種題型是中考常用的命題方式. 【找不準(zhǔn)相似三角形中的對應(yīng)邊】 如圖,△ABC中,點(diǎn)D在線段BC上,且△ABC∽△DBA,則下列結(jié)論一定正確的是(  ) A.AB2=BC·BD B.AB2=AC·BD C.AB·AD=BD·BC D.AB·AD=AD·CD 參考答案 第28講 圖形的相似 第1課時 相似形 【考點(diǎn)概要】 2.成比例 3.形狀 相等 成比例 邊 相等 成比

18、例 全等 4.平行 成比例 成比例 相等 相等 成比例 5.相等 成比例 相似比 平方 【考題體驗(yàn)】 1.B 2.D 3.45 80km 【知識引擎】 【解析】(1)添加條件是∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC或者=; (2)由△ADB∽△ABC,得=,得AC=8; (3)相似三角形知識:性質(zhì)、判定等. 【例題精析】 例1 (1)設(shè)正方形的邊長為2,則CD=2,CF=1.在直角三角形DCF中,DF==,∴FG=,∴CG=-1,∴=,∴矩形DCGH為黃金矩形.故選D. (2)設(shè)===k(k≠0),根據(jù)題意,得x=3k,y=4k,z=6k,所以===.  例2 B  例3

19、 (1)如圖1中,∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=AD,∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°,∵△PBC∽△PAM,∴∠PAM=∠PBC,==,∵∠PBC+∠PBA=90°,∴∠PAM+∠PBA=90°,∴∠APB=90°,∴AP⊥BN,∵∠ABP=∠ABN,∠APB=∠BAN=90°,∴△BAP∽△BNA,∴=,∴=,∵AB=BC,∴AN=AM. (2)①仍然成立,AP⊥BN和AM=AN.理由如圖2中,∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=AD,∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°,∵△PBC∽△PAM,∴∠PAM=∠PBC,==,∵∠PBC+∠PBA=90

20、°,∴∠PAM+∠PBA=90°,∴∠APB=90°,∴AP⊥BN,∵∠ABP=∠ABN,∠APB=∠BAN=90°,∴△BAP∽△BNA,∴=,∴=,∵AB=BC,∴AN=AM.  ②這樣的點(diǎn)P不存在.理由:假設(shè)PC=,如圖3中,以點(diǎn)C為圓心為半徑畫圓,以AB為直徑畫圓,CO==>+,∴兩個圓外離,∴∠APB<90°,這與AP⊥PB矛盾,∴假設(shè)不可能成立,∴滿足PC=的點(diǎn)P不存在. 例4 設(shè)AE=x,則AC=x+4,∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠CAD,∵∠CDB=∠BAC(圓周角定理),∴∠CAD=∠CDB,∵∠ACD=∠DCE,∴△ACD∽△DCE,∴=,即=,解得:x=5.故選B

21、. 【變式拓展】 1.A 2.12 3. 4.(1)C (2)C 5.(1)1∶3 (2)2或 6.(1)D (2)A (3)D 7.或 【熱點(diǎn)題型】 【分析與解】(1)設(shè)矩形的邊長PN=2ymm,則PQ=y(tǒng)mm,由條件可得△APN∽△ABC,∴=,即=,解得y=,∴PN=×2=(mm),答:這個矩形零件的兩條邊長分別為mm,mm; (2)設(shè)PN=xmm,由條件可得△APN∽△ABC,∴=,即=,解得PQ=80-x.∴S=PN·PQ=x(80-x)=-x2+80x=-(x-60)2+2400,∴S的最大值為2400mm2,此時PN=60mm,PQ=80-×60=40(mm). 【錯誤警示】A.∵△ABC∽△DBA,∴=,∴AB2=BD·BC. 12

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