江蘇省2018中考數(shù)學(xué)試題研究 第一部分 考點(diǎn)研究 第四章 三角形 第17課時(shí) 等腰三角形與直角三角形試題（5年真題）

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1、 第四章 三角形 第17課時(shí) 等腰三角形與直角三角形 江蘇近5年中考真題精選(2013～2017) 命題點(diǎn)1　(鹽城2考，淮安2考，宿遷必考) 1. (2014鹽城7題3分)若等腰三角形的頂角為40°，則它的底角度數(shù)為(　　) A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 2. (2015鹽城7題3分)若一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2和5，則它的周長(zhǎng)為(　　) A. 12 B. 9 C. 12或9 D. 9或7 3. (2014無(wú)錫10題3分)已知△ABC的三條邊長(zhǎng)分別為3，4，6，在△ABC所在平面內(nèi)畫一條直線，將△ABC分割成兩個(gè)三角形

2、，使其中的一個(gè)是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫(　　) A. 6條 B. 7條 C. 8條 D. 9條 第4題圖 4. (2014揚(yáng)州7題3分)如圖，已知∠AOB＝60°，點(diǎn)P在邊OA上，OP＝12，點(diǎn)M，N在邊OB上，PM＝PN，若MN＝2，則OM＝(　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. (2016徐州8題3分)若等腰三角形的頂角為120°，腰長(zhǎng)為2 cm，則它的底邊長(zhǎng)為________cm. 6. (2014徐州16題3分)如圖，在等腰三角形紙片ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，折疊該紙片，使點(diǎn)A落在點(diǎn)B處，折痕為DE，則∠CBE＝_

3、_______． 　 第6題圖 　　第7題圖 7. (2016宿遷16題3分)如圖，在矩形ABCD中，AD＝4，點(diǎn)P是直線AD上一動(dòng)點(diǎn)，若滿足△PBC是等腰三角形的點(diǎn)P有且只有3個(gè)，則AB的長(zhǎng)為________． 8. (2015宿遷21題6分)如圖，已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC.求證：∠C＝2∠D. 　第8題圖 命題點(diǎn)2　與等邊三角形有關(guān)的計(jì)算 9. (2016常州18題2分)如圖，△APB中，AB＝2，∠APB＝90°，在AB的同側(cè)作正△ABD，正△APE和正△PBC，則四邊形PCDE面積的最大值是________．

4、 第9題圖 　第11題圖 命題點(diǎn)3　(鹽城必考，淮安3考，宿遷必考) 10. (2015淮安6題3分)下列四組線段中，能組成直角三角形的是(　　) A. a＝1，b＝2，c＝3 B. a＝2，b＝3，c＝4 C. a＝2，b＝4，c＝5 D. a＝3，b＝4，c＝5 11. (2014淮安5題3分)如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B都是格點(diǎn)，則線段AB的長(zhǎng)度為(　　) A. 5 B. 6 C. 7 D. 25 12. (2016連云港7題3分)如圖①，分別以直角三角形三邊為邊向外作等邊三角形，面積分別為

5、S1、S2、S3；如圖②，分別以直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，三邊長(zhǎng)為半徑向外作圓心角都相等的扇形，面積分別為S4、S5、S6，其中S1＝16，S2＝45，S5＝11，S6＝14，則S3＋S4＝(　　) A. 86 B. 64 C. 54 D. 48 第12題圖 13. (2017宿遷8題3分)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝2 cm, 點(diǎn)P在邊AC上，從點(diǎn)A向點(diǎn)C移動(dòng)，點(diǎn)Q在邊CB上，從點(diǎn)C向點(diǎn)B移動(dòng)，若點(diǎn)P、Q均以1 cm/s的速度同時(shí)出發(fā)，且當(dāng)一點(diǎn)移動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止，連接PQ，則線段PQ的最小值是(　　) A. 20 cm B.

6、 18 cm C. 2 cm D. 3 cm 第13題圖 　 第15題圖 14. (2013宿遷8題3分)在等腰△ABC中，∠ACB＝90°，且AC＝1.過(guò)點(diǎn)C作直線l∥AB，P為直線l上一點(diǎn)，且AP＝AB.則點(diǎn)P到BC所在直線的距離是(　　) A. 1 B. 1或－ C. 1或 D. 或 答案 1. D　【解析】∵等腰三角形的兩個(gè)底角相等，頂角是40°，∴其底角為＝70°. 2. A　【解析】若腰為2，則底為5，2＋2＜5，根據(jù)三角形三邊關(guān)系知，不能夠組成三角形；當(dāng)腰為5，則底為2，5＋5＞2

7、，5－5＜2，能夠組成三角形，∴周長(zhǎng)為5＋5＋2＝12. 3. B　【解析】如解圖，當(dāng)BC1＝AC1，AC＝CC2，AB＝BC3，AC4＝CC4，AB＝AC5，AB＝AC6，BC7＝CC7時(shí)，都能得到符合題意的等腰三角形．故選B. 第3題解圖 4. C　【解析】如解圖，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OB，交OB于點(diǎn)D，在Rt△OPD中，∵∠AOB＝60°，∴∠OPD＝30°，∴OD＝OP＝×12＝6，∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2，∴MD＝ND＝MN＝1，∴OM＝OD－MD＝6－1＝5. 　 第4題解圖 5. 2　【解析】如解圖，由已知得，∠B＝∠C＝×(180°－120°)＝30°，AB

8、＝2，∴底邊長(zhǎng)為BC＝2BD＝2AB·cos30°＝2 cm. 第5題解圖 6. 15°　【解析】∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ACB＝∠ABC＝×(180°－50°)＝65°，∵將△ABC折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)B處，折痕為DE，∠A＝50°，∴∠ABE＝∠A＝50°，∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝65°－50°＝15°. 7. 4或2　【解析】滿足△PBC是等腰三角形的點(diǎn)P有且只有3個(gè)，以BC為底的三角形必有一個(gè)：(1)如解圖①，分別以B，C為圓心，BC長(zhǎng)為半徑的圓與直線AD有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，滿足題意，以BC為腰的等腰三角形中有一個(gè)與以BC為底的三角形重合，∴△P1BC是等邊三角形，∠

9、ABP1＝30°，利用三角函數(shù)可求出AB＝2；(2)如解圖②，當(dāng)以B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑的圓與直線AD只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)也滿足題意，AB＝BC＝4. 第7題解圖 8. 證明：∵AB＝AD＝AC， ∴∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠D，(3分) ∵AD∥BC， ∴∠D＝∠DBC＝∠ABD， ∴∠C＝∠ABC＝2∠ABD＝2∠D.(6分) 9. 1　【解析】如解圖，連接DE、DC，∵△ABD，△APE，△BPC都是等邊三角形，∴∠EAD＝∠EAP－∠DAP＝∠DAB－∠DAP＝∠PAB，同理∠PBA＝∠CBD，∴△AED≌△APB(SAS)，△APB≌△DCB(SAS)，∴ED＝PB

10、，AP＝DC，∴△AED≌△DCB，∵PB＝PC，AP＝EP，∴ED＝PC，EP＝DC，∴四邊形PCDE是平行四邊形，∠BCD＝∠ADE＝∠APB＝90°，∴S五邊形ABCDE＝S△ABD＋S△AED＋S△BCD，S?PCDE＝S五邊形ABCDE－S△APB－S△APE－S△BCP，S△AED＝S△BCD＝S△APB，∴S?PCDE＝S△ABD＋2S△APB－S△APB－S△APE－S△BPC＝S△ABD＋S△APB－S△APE－S△BPC，設(shè)AP＝x，BP＝y(tǒng)，原式＝×22＋xy－x2－y2＝＋xy－(x2＋y2)＝＋xy－＝xy＝S△APB，∴當(dāng)AP＝BP時(shí)，S?PCDE最大＝S△ABP最

11、大＝××＝1. 　 第9題解圖 10. D　【解析】A. 1＋2＝3，不能構(gòu)成三角形；B. 22＋32≠42，C. 22＋42≠52，∴B、C不能構(gòu)成直角三角形；D. 32＋42＝52，∴D能構(gòu)成直角三角形． 11. A　【解析】建立格點(diǎn)三角形，利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)度即可．如解圖，AB＝＝＝5. 　 第11題解圖 12. C　【解析】設(shè)直角三角形的三邊長(zhǎng)為a，b，c，則S1＝a2，S3＝b2，S2＝c2，∵a2＋b2＝c2，∴S3＝S2－S1＝45－16＝29；設(shè)圖②中扇形的圓心角為α°，則S4＝，S5＝，S6＝，同理得S4＝S5＋S6＝11＋14＝25，∴S3＋S4＝29＋

12、25＝54. 13. C　【解析】運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則有PQ2＝PC2＋QC2＝(6－t)2＋t2＝36－12t＋2t2＝2(t－3)2＋18(0≤t≤2)，所以當(dāng)t＝2時(shí)，即點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，此時(shí)P點(diǎn)也停止，線段PQ最小，最小值為2 cm. 14. D　【解析】分兩種情況：如解圖①，延長(zhǎng)AC，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC交點(diǎn)為點(diǎn)D，作PE⊥AC，交點(diǎn)為點(diǎn)E，∵CP∥AB，∴∠PCD＝∠CBA＝45°，∴四邊形CDPE是正方形，則CD＝DP＝PE＝EC，∵在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝1，∴AB＝＝，∴AP＝AB＝，∴在Rt△AEP中，(1＋EC)2＋EP2＝AP2，∴(1＋DP)2＋DP2＝()2，解得DP＝或DP＝(與題意不符，舍去)；如解圖②，延長(zhǎng)BC，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC，交點(diǎn)為點(diǎn)D，延長(zhǎng)CA，作PE⊥CA，交點(diǎn)為點(diǎn)E，同理可證，四邊形CDPE是正方形，∴CD＝DP＝PE＝EC，同理可得，在Rt△AEP中，(EC－1)2＋EP2＝AP2，∴(PD－1)2＋PD2＝()2，解得PD＝或(與題意不符，舍去)．故選D. 第15題解圖 15. 4　【解析】∵在Rt△ACD中，∠C＝90°，CD＝2，AD＝4，∴∠CAD＝30°，∴AC＝＝2，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠CAD＝60°，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝4. 7