數(shù)學(xué)第二部分 五 立體幾何 5.2 空間關(guān)系、球與幾何體組合練 理

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1、5.25.2空間關(guān)系、球與幾何體組合練空間關(guān)系、球與幾何體組合練-2-1.空間兩條直線的位置關(guān)系有平行、相交、異面.2.空間線面位置關(guān)系有平行、相交、在平面內(nèi).3.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)(1)線面平行的判定定理:a,b,aba.(2)線面平行的性質(zhì)定理:a,a,=bab.(3)面面平行的判定定理:a,b,ab=P,a,b.(4)面面平行的性質(zhì)定理:,=a,=bab.4.直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)(1)線面垂直的判定定理:m,n,mn=P,lm,lnl.(2)線面垂直的性質(zhì)定理:a,bab.(3)面面垂直的判定定理:a,a.(4)面面垂直的性質(zhì)定理:,=l,a,ala.-3-5.異面直線

2、的夾角與線面角(1)異面直線的夾角:當(dāng)直線l1與l2是異面直線時,在直線l1上任取一點(diǎn)A作ABl2,我們把直線l1和直線AB的夾角叫做異面直線l1與l2的夾角.(2)直線與平面的夾角:平面外一條直線與它在該平面內(nèi)的投影的夾角叫做該直線與此平面的夾角.6.球的表面積及體積(1)S球=4r2(r為球的半徑).-4-7.球與幾何體的外接、內(nèi)切(1)球與長方體外接:長方體的體對角線的交點(diǎn)為球心;長方體的體對角線的長為球的直徑;-5-一、選擇題二、填空題1.若體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為( A )解析: 設(shè)正方體的棱長為a,由a3=8,得a=2.由題意可知,正方體的體對角線為球

3、的直徑,2.(2017福建廈門二模,理11)過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A作平面,使得正方體的各棱與平面所成的角均相等,則滿足條件的平面的個數(shù)是( B )A.1B.4C.6D.8-6-一、選擇題二、填空題3.(2017廣西名校聯(lián)考,理6)在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M和N分別為A1B1和BB1的中點(diǎn),則直線AM和CN所成的角的余弦值是( D )解析: 以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,-7-一、選擇題二、填空題4.(2017全國,理8)已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上,則該圓柱的體積為 ( B

4、)解析: 由題意可知球心即為圓柱體的中心,畫出圓柱的軸截面如圖所示,-8-一、選擇題二、填空題5.(2017河北保定二模,理8)已知一個球的表面上有A,B,C三點(diǎn),且AB=AC=BC=2 .若球心到平面ABC的距離為1,則該球的表面積為( A )A.20B.15 C.10D.2解析: 由題意可得,平面ABC截球面所得的截面圓恰為正三角形ABC的外接圓O.設(shè)球O的半徑為R,球心到平面ABC的距離為1,由勾股定理可得r2+12=R2,解得R2=5,球O的表面積S=4R2=20,故選A.-9-一、選擇題二、填空題6.已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn),AOB=90,C為該球面上的動點(diǎn).若三棱錐O-ABC體

5、積的最大值為36,則球O的表面積為( C )A.36B.64 C.144D.256解析: 由AOB面積確定,若三棱錐O-ABC的底面OAB上的高最大, 解得R=6,故S球=4R2=144. -10-一、選擇題二、填空題7.(2017福建廈門一中考前模擬,理9)在底面為正方形的四棱錐S-ABCD中,SA=SB=SC=SD,異面直線AD與SC所成的角為60,AB=2,則四棱錐S-ABCD的外接球的表面積為( B )A.6B.8C.12D.16解析: 取底面中心O,BC的中點(diǎn)E,連接SO,SE,OE, ADBC,SCB為異面直線AD,SC所成的角,即SCB=60.SB=SC,SBC是等邊三角形.OA

6、=OB=OC=OD=OS,即O為四棱錐S-ABCD的外接球球心.外接球的表面積S=4( )2=8.故選B.-11-一、選擇題二、填空題8.(2017寧夏銀川二模,理9)已知點(diǎn)A,B,C,D在同一個球的球面上,AB=BC= ,ABC=90.若四面體ABCD體積的最大值為3,則這個球的表面積為( D )A.2B.4C.8 D.16解析: 由題意,得SABC=3.設(shè)ABC所在球的小圓的圓心為Q,則Q為AC的中點(diǎn),當(dāng)DQ與平面ABC垂直時,四面體ABCD的最大體積為如圖,設(shè)球心為O,半徑為R,則在RtAQO中,OA2=AQ2+OQ2,即R2=( )2+(3-R)2,解得R=2,則這個球的表面積為S=4

7、22=16.故選D.-12-一、選擇題二、填空題9.在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是( B )解析: 由題意知要使球的體積最大,則它與直三棱柱的若干個面相切.-13-一、選擇題二、填空題10.平面過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為( A )解析: (方法一)平面CB1D1,平面ABCD平面A1B1C1D1,平面ABCD=m,平面CB1D1平面A1B1C1D1=B1D1,mB1D1.平面CB1D1,平面ABB1A1平面DCC

8、1D1,平面ABB1A1=n,平面CB1D1平面DCC1D1=CD1,nCD1.B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即B1D1C等于m,n所成的角.B1D1C為正三角形,B1D1C=60,-14-一、選擇題二、填空題(方法二)由題意畫出圖形如圖,將正方體ABCD-A1B1C1D1平移,補(bǔ)形為兩個全等的正方體如圖,易證平面AEF平面CB1D1,所以平面AEF即為平面,m即為AE,n即為AF,所以AE與AF所成的角即為m與n所成的角.因?yàn)锳EF是正三角形,所以EAF=60,故m,n所成角的正弦值為-15-一、選擇題二、填空題11.(2017四川成都三診,理8)在我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中,

9、將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖,在鱉臑ABCD中,AB平面BCD,且AB=BC=CD,則異面直線AC與BD所成角的余弦值為( A )-16-一、選擇題二、填空題解析: 如圖所示,分別取AB,AD,BC,BD的中點(diǎn)E,F,G,O,則EFBD,EGAC,FOOG,FEG為異面直線AC與BD所成的角.-17-一、選擇題二、填空題12.(2017全國,理10)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=120,AB=2,BC=CC1=1,則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為( C )解析: 方法一:如圖,取AB,BB1,B1C1的中點(diǎn)M,N,P,連接MN,NP,PM,可知AB1與BC

10、1所成的角等于MN與NP所成的角.-18-一、選擇題二、填空題取BC的中點(diǎn)Q,連接PQ,QM,則可知PQM為直角三角形.在ABC中,AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC-19-一、選擇題二、填空題-20-一、選擇題二、填空題13.(2017寧夏石嘴第三中學(xué)模擬,理15)已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上,SA平面ABC,ABAC,SA=AB=AC=1,則球O的表面積為3. 14.(2017天津,理10)已知一個正方體的所有頂點(diǎn)在一個球面上,若這個正方體的表面積為18,則這個球的體積為 . -21-一、選擇題二、填空題15.,是兩個平面,m,n是兩條直線,有下列四個命題:如

11、果mn,m,n,那么.如果m,n,那么mn.如果,m,那么m.如果mn,那么m與所成的角和n與所成的角相等.其中正確的命題有.(填寫所有正確命題的編號)解析: 對于,若mn,m,n,則,的位置關(guān)系無法確定,故錯誤;對于,因?yàn)閚,所以過直線n作平面與平面相交于直線c,則nc.因?yàn)閙,所以mc,所以mn,故正確;對于,由兩個平面平行的性質(zhì)可知正確;對于,由線面所成角的定義和等角定理可知其正確.故正確命題的編號有.-22-一、選擇題二、填空題16.(2017陜西咸陽二模,理16)已知一個三棱錐的所有棱長均為 ,則該三棱錐的內(nèi)切球的體積為 .解析: 如圖,O為該三棱錐的內(nèi)切球的球心.因?yàn)檎忮F的所有的棱長均為 ,所以O(shè)E為內(nèi)切球的半徑.設(shè)OA=OB=R,