數(shù)學(xué)第二部分 二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 2.4.1 壓軸大題1 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、方程、不等式 理

《數(shù)學(xué)第二部分 二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 2.4.1 壓軸大題1 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、方程、不等式 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué)第二部分 二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 2.4.1 壓軸大題1 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、方程、不等式 理（61頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2.42.4 壓軸大題壓軸大題11函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、 方程、不等式方程、不等式-2-3-4-5-6-1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)函數(shù)f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)是曲線f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0)處的切線的斜率,即k=f(x0).(2)函數(shù)切線問題的求解策略:用好切點(diǎn)“三重性”:切點(diǎn)在函數(shù)圖象上,滿足函數(shù)解析式;切點(diǎn)在切線上,滿足切線方程;切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率.2.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),(1)若f(x)0在(a,b)內(nèi)恒成立,則f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增;(2)若f(x)0,右側(cè)f(x)0,則f(x0)為函數(shù)f(x)的極大值;若在x0附近左側(cè)f(x

2、)0,則f(x0)為函數(shù)f(x)的極小值.(2)設(shè)函數(shù)y=f(x)在a,b上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則f(x)在a,b上必有最大值和最小值且在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處取得.(3)若函數(shù)f(x)在a,b上單調(diào)遞增,則f(a)為函數(shù)的最小值,f(b)為函數(shù)的最大值;若函數(shù)f(x)在a,b上單調(diào)遞減,則f(a)為函數(shù)的最大值,f(b)為函數(shù)的最小值.5.常見恒成立不等式(1)ln xx-1;(2)exx+1.-8-6.構(gòu)造輔助函數(shù)的四種方法(1)移項(xiàng)法:證明不等式f(x)g(x)(f(x)0(f(x)-g(x)g(x2)f(x)在a,b上的最小值g(x)在c,d上的最大值.(2)x1a,b,x2c,d,f(

3、x1)g(x2)f(x)在a,b上的最大值g(x)在c,d上的最小值.(3)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最小值g(x)在c,d上的最小值.(4)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最大值g(x)在c,d上的最大值.-10-(5)x1a,b,當(dāng)x2c,d時(shí),f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域與g(x)在c,d上的值域交集非空.(6)x1a,b,x2c,d,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域g(x)在c,d上的值域.(7)x2c,d,x1a,b,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域g(x)在c,d上的

4、值域.2 2. .4 4. .1 1導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、 極值、最值極值、最值-12-考向一考向二考向三考向四討論、判斷、證明單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間討論、判斷、證明單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間解題策略一解題策略一分類討論法分類討論法-13-考向一考向二考向三考向四解 (1)f(x)的定義域?yàn)?0,+). 當(dāng)a0時(shí),x(0,1)時(shí),f(x)0,f(x)單調(diào)遞增,x(1,+)時(shí),f(x)0時(shí),-14-考向一考向二考向三考向四綜上所述,當(dāng)a0時(shí),f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在(1,+)內(nèi)單調(diào)遞減;-15-考向一考向二考向三考向四在(1,+)內(nèi)單調(diào)遞增. -16-考向一考向二考向三考向四(2

5、)由(1)知,a=1時(shí), 設(shè)(x)=-3x2-2x+6,則(x)在x1,2單調(diào)遞減,因?yàn)?1)=1,(2)=-10,所以x0(1,2),使得x(1,x0)時(shí),(x)0,x(x0,2)時(shí),(x)0,f(x)0,所以函數(shù)f(x)在(1,e)上單調(diào)遞增.當(dāng)m0時(shí),h(x)在(1,e)上是減函數(shù),由h(x)的圖象可知,-19-考向一考向二考向三考向四所以函數(shù)f(x)在(1,e)上單調(diào)遞增; ()當(dāng)0 1,即m1時(shí),x(1,e),h(x)0,f(x)0,函數(shù)f(x)在(1,e)上單調(diào)遞減.-20-考向一考向二考向三考向四解題策略二解題策略二構(gòu)造函數(shù)法構(gòu)造函數(shù)法例2已知函數(shù)f(x)= (k為常數(shù),e是自然

6、對(duì)數(shù)的底數(shù)),曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線與x軸平行.(1)求k的值;(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.-21-考向一考向二考向三考向四即h(x)在(0,+)上是減函數(shù).由h(1)=0知,當(dāng)0 x0,從而f(x)0;當(dāng)x1時(shí),h(x)0,從而f(x)0知,f(x)與1-x+ex-1同號(hào).令g(x)=1-x+ex-1,則g(x)=-1+ex-1.所以,當(dāng)x(-,1)時(shí),g(x)0,g(x)在區(qū)間(1,+)上單調(diào)遞增.故g(1)=1是g(x)在區(qū)間(-,+)上的最小值,從而g(x)0,x(-,+).綜上可知,f(x)0,x(-,+).故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,+).-24-考向一考向

7、二考向三考向四求函數(shù)的極值、最值求函數(shù)的極值、最值解題策略一解題策略一利用單調(diào)性求利用單調(diào)性求例3(2017湖南邵陽(yáng)一模,理21)已知函數(shù)f(x)=x-axln x(a0),g(x)= -1.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.(2)當(dāng)a=-1時(shí),求函數(shù)f(x)在e-e,e上的值域;-25-考向一考向二考向三考向四難點(diǎn)突破 (1)求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.(2)將a=-1代入f(x),求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域即可;-26-考向一考向二考向三考向四解 (1)f(x)=1-aln x-a=1-a(ln x+1).當(dāng)a=0時(shí),f(x)0,f(x

8、)在(0,+)單調(diào)遞增;(2)a=-1時(shí),f(x)=x+xln x.由f(x)=2+ln x,令f(x)=0,x=e-2,f(x)在e-e,e-2單調(diào)遞減,在e-2,e單調(diào)遞增,-27-考向一考向二考向三考向四解題心得1.求最值的常用方法是由導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性,由單調(diào)性確定極值,比較極值與定義域的端點(diǎn)值確定最值;2.對(duì)kf(x)恒成立,求參數(shù)k的最值問題,若求不出f(x)的極值點(diǎn),可求極值點(diǎn)所在區(qū)間,再由極值點(diǎn)范圍求極值的范圍,由此得出參數(shù)的最值.-28-考向一考向二考向三考向四對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(2017北京,理19)已知函數(shù)f(x)=excos x-x.(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0

9、)處的切線方程;解 (1)因?yàn)閒(x)=excos x-x,所以f(x)=ex(cos x-sin x)-1,f(0)=0.又因?yàn)閒(0)=1,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0)處的切線方程為y=1.-29-考向一考向二考向三考向四(2)設(shè)h(x)=ex(cos x-sin x)-1,則h(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x.-30-考向一考向二考向三考向四解題策略二解題策略二構(gòu)造函數(shù)法構(gòu)造函數(shù)法例4已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(1)ex-1-f(0)x+ x2.(1)求f(x)的解析式及單調(diào)區(qū)間;(2)若f(x) x2+ax+b,求(a+

10、1)b的最大值.=ex-(a+1)x-b0h(x)=ex-(a+1)h(x)min=(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b0(a+1)b(a+1)2-(a+1)2ln(a+1)(a+10),令F(x)=x2-x2ln x(x0),-31-考向一考向二考向三考向四解 (1)由已知得f(x)=f(1)ex-1-f(0)+x.所以f(1)=f(1)-f(0)+1,即f(0)=1.又f(0)=f(1)e-1,所以f(1)=e.由于f(x)=ex-1+x,故當(dāng)x(-,0)時(shí),f(x)0.從而,f(x)在(-,0)單調(diào)遞減,在(0,+)單調(diào)遞增.-32-考向一考向二考向三考向四(2)由已知條件得ex-(

11、a+1)xb. 可得ex-(a+1)x0,設(shè)g(x)=ex-(a+1)x,則g(x)=ex-(a+1).當(dāng)x(-,ln(a+1)時(shí),g(x)0.從而g(x)在(-,ln(a+1)單調(diào)遞減,在(ln(a+1),+)單調(diào)遞增.故g(x)有最小值g(ln(a+1)=a+1-(a+1)ln(a+1).ba+1-(a+1)ln(a+1). -33-考向一考向二考向三考向四因此(a+1)b(a+1)2-(a+1)2ln(a+1).設(shè)h(a)=(a+1)2-(a+1)2ln(a+1),則h(a)=(a+1)(1-2ln(a+1).-34-考向一考向二考向三考向四解題心得本例在(2)中,通過作差將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化

12、,通過構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的最小值得出關(guān)于a,b的不等式,通過乘以(a+1)得(a+1)b的關(guān)系式,再通過第二次構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)最大值得出結(jié)果.-35-考向一考向二考向三考向四對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(2017河北邯鄲二模,理21)已知函數(shù)f(x)=ax-ln x,F(x)=ex+ax,其中x0,a0.(1)若f(x)和F(x)在區(qū)間(0,ln 3)上具有相同的單調(diào)性,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;-36-考向一考向二考向三考向四a0,f(x)0在(0,+)上恒成立,即f(x)在(0,+)上單調(diào)遞減,當(dāng)-1a0,即F(x)在(0,+)上單調(diào)遞增,不合題意.當(dāng)a0,得xln(-a),由F(x)0,得0 xe2時(shí),p(x

13、)0,當(dāng)0 xe2,p(x)0時(shí),g(x)0,求b的最大值.解 (1)f(x)=ex+e-x-20,等號(hào)僅當(dāng)x=0時(shí)成立,所以f(x)在(-,+)單調(diào)遞增.-40-考向一考向二考向三考向四(2)g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e-2x-4b(ex-e-x)+(8b-4)x,g(x)=2e2x+e-2x-2b(ex+e-x)+(4b-2)=2(ex+e-x-2)(ex+e-x-2b+2).當(dāng)b2時(shí),g(x)0,等號(hào)僅當(dāng)x=0時(shí)成立,所以g(x)在(-,+)單調(diào)遞增.而g(0)=0,所以對(duì)任意x0,g(x)0;當(dāng)b2時(shí),若x滿足2ex+e-x0,記|f(x)|的最大值為A.(1)求f(

14、x);(2)求A;(3)證明|f(x)|2A.解 (1)f(x)=-2sin 2x-(-1)sin x.(2)當(dāng)1時(shí),|f(x)|=|cos 2x+(-1)(cos x+1)|+2(-1)=3-2=f(0).因此A=3-2.當(dāng)01時(shí),將f(x)變形為f(x)=2cos2x+(-1)cos x-1.令g(t)=2t2+(-1)t-1,則A是|g(t)|在-1,1上的最大值,-43-考向一考向二考向三考向四|g(-1)|=,|g(1)|=2-3,|g(-1)|g(1)|,所以A=2-3.-44-考向一考向二考向三考向四-45-考向一考向二考向三考向四(3)由(1)得|f(x)|=|-2sin 2x

15、-(-1)sin x|2+|-1|. 所以|f(x)|1+0時(shí),(x-2)ex+x+20;(2)證明:當(dāng)a0,1)時(shí),函數(shù)g(x)= (x0)有最小值.設(shè)g(x)的最小值為h(a),求函數(shù)h(a)的值域.-47-考向一考向二考向三考向四-48-考向一考向二考向三考向四解 (1)f(x)的定義域?yàn)?-,-2)(-2,+). 當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí),f(x)=0,所以f(x)在(-,-2),(-2,+)單調(diào)遞增.因此當(dāng)x(0,+)時(shí),f(x)f(0)=-1.所以(x-2)ex-(x+2),(x-2)ex+x+20.由(1)知,當(dāng)x0時(shí),f(x)+a單調(diào)遞增.對(duì)任意a0,1),f(0)+a=a-10,f(

16、2)+a=a0.因此,存在唯一xa(0,2,使得f(xa)+a=0,即g(xa)=0.當(dāng)0 xxa時(shí),f(x)+a0,g(x)xa時(shí),f(x)+a0,g(x)0,g(x)單調(diào)遞增.-49-考向一考向二考向三考向四因此g(x)在x=xa處取得最小值, -50-考向一考向二考向三考向四解題心得在證明函數(shù)f(x)有最值及求最值范圍時(shí),若f(x)=0解不出,可運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理求出極值點(diǎn)t存在的范圍,從而用t表示出最值,此時(shí)最值是關(guān)于t的函數(shù),通過函數(shù)關(guān)系式求出最值的范圍.-51-考向一考向二考向三考向四對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6(2017遼寧大連一模,理21)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x+2)2

17、(x0).(1)若f(x)是(0,+)的單調(diào)遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)當(dāng)a 時(shí),求證:函數(shù)f(x)有最小值,并求函數(shù)f(x)最小值的取值范圍.-52-考向一考向二考向三考向四解 (1)由題意,得f(x)=ex+(x-2)ex+2ax+4a,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞增,f(x)0在(0,+)上恒成立.ex+(x-2)ex+2ax+4a0,即g(x)在(0,+)上遞減, -53-考向一考向二考向三考向四(2)f(x)=ex+(x-2)ex+2ax+4a,f(x)=xex+2a0,y=f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增,又f(0)=4a-10,存在t(0,1)使f(t)=0,x(0

18、,t)時(shí),f(x)0,當(dāng)x=t時(shí),f(x)min=f(t)=(t-2)et+a(t+2)2,由f(t)=0,即et(t-1)+2a(t+2)=0,-54-考向一考向二考向三考向四f(t)在(0,1)上遞減,f(1)f(t)f(0),-ef(t)1或a-1時(shí),令g(x)=0,設(shè)x2-2ax+1=0的兩根為x1和x2,因?yàn)閤1為函數(shù)g(x)的極大值點(diǎn),-57-考向一考向二考向三考向四所以0 x10,所以a0,0 x1h(1)=0,原題得證.解題心得將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)換或?qū)⒁鉀Q的問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換是解決函數(shù)問題的常用方法,通過轉(zhuǎn)換變陌生問題為熟悉問題,從而得到解決.-59-考向一考向二考向三考向四對(duì)點(diǎn)

19、訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-4aex-2ax,g(x)=x2+5a2,aR.(1)若a=1,求f(x)的遞增區(qū)間;(2)若f(x)在R上單調(diào)遞增,求a的取值范圍;(1)解 當(dāng)a=1,f(x)=e2x-4ex-2x,f(x)=2e2x-4ex-2, -60-考向一考向二考向三考向四(2)解f(x)在R上單調(diào)遞增,f(x)=2e2x-4aex-2a0在R上恒成立,a0. -61-考向一考向二考向三考向四(3)證明 F(x)=e2x-4aex-2ax+x2+5a2=5a2-(4ex+2x)a+x2+e2x 設(shè)h(x)=ex-2x,則h(x)=ex-2,令h(x)0,得x0,得xln 2,則h(x)在(ln 2,+)單調(diào)遞增;h(x)min=h(ln 2)=2-ln 20,