數(shù)學(xué)第二部分 二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 2.4.3 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)及參數(shù)范圍 理

《數(shù)學(xué)第二部分 二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 2.4.3 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)及參數(shù)范圍 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué)第二部分 二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 2.4.3 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)及參數(shù)范圍 理（34頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2 2. .4 4. .3 3導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)及 參數(shù)范圍參數(shù)范圍-2-判斷、證明或討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷、證明或討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)解題策略一解題策略一應(yīng)用單調(diào)性、零點(diǎn)存在性定理、數(shù)形結(jié)合判斷應(yīng)用單調(diào)性、零點(diǎn)存在性定理、數(shù)形結(jié)合判斷 例1設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-aln x.(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)證明當(dāng)a0時(shí),f(x)2a+aln .難點(diǎn)突破 (1)討論f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)要依據(jù)f(x)的單調(diào)性,應(yīng)用零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷.-3-(2)證明 由(1),可設(shè)f(x)在(0,+)的唯一零點(diǎn)為x0,當(dāng)x(0,x0)時(shí),f(x)0.故f(x)在(0,x0)單調(diào)遞

2、減,在(x0,+)單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=x0時(shí),f(x)取得最小值,最小值為f(x0).解題心得研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根的情況,可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等,并借助函數(shù)的大致圖象判斷函數(shù)零點(diǎn)或方程根的情況.-4-對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)=(x2-3x+3)ex.(1)試確定t的取值范圍,使得函數(shù)f(x)在-2,t(t-2)上為單調(diào)函數(shù);解 (1)f(x)=(x2-3x+3)ex+(2x-3)ex=x(x-1)ex,由f(x)0,得x1或x0;由f(x)0,得0 x1.所以f(x)在(-,0和1,+)內(nèi)單調(diào)遞增,在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減.若使f(x)在-2,t上為單

3、調(diào)函數(shù),則需-20),討論h(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).難點(diǎn)突破 (1)設(shè)切點(diǎn)(x0,0),依題意f(x0)=0,f(x0)=0,得關(guān)于a,x0的方程組解之.(2)為確定出h(x)對(duì)自變量x0分類討論;確定出h(x)后對(duì)參數(shù)a分類討論h(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),h(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的確定要依據(jù)h(x)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理.-7-解 (1)設(shè)曲線y=f(x)與x軸相切于點(diǎn)(x0,0),則f(x0)=0,f(x0)=0, (2)當(dāng)x(1,+)時(shí),g(x)=-ln x0,從而h(x)=minf(x),g(x)g(x)0.所以只需考慮f(x)在(0,1)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).-8-()若a-3或a0,則f(x)=3x2+a在(

4、0,1)無(wú)零點(diǎn),故f(x)在(0,1)單調(diào).所以當(dāng)a-3時(shí),f(x)在(0,1)有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a0時(shí),f(x)在(0,1)沒(méi)有零點(diǎn).-9-解題心得1.如果函數(shù)中沒(méi)有參數(shù),一階導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值點(diǎn),判斷極值點(diǎn)大于0小于0的情況,進(jìn)而判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).2.如果函數(shù)中含有參數(shù),往往一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)不好判斷,這時(shí)先對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類,再判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào),如果分類也不好判斷,那么需要對(duì)一階導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),在判斷二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)時(shí),也可能需要分類.-10-對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)=aln x+ -(a+1)x,aR.(1)當(dāng)a=-1時(shí),求函數(shù)f(x)的最小值;(2)當(dāng)a1時(shí),討論函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

5、解 (1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|x0. 所以f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+)內(nèi)單調(diào)遞增.所以x=1時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值f(1)= .-11-則f(x)0,f(x)為增函數(shù).所以f(x)在x=1時(shí)取得最小值f(1)=-a- .由于x0(從右側(cè)趨近0)時(shí),f(x)+;x+時(shí),f(x)+,所以f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).-12-當(dāng)0a0,f(x)為增函數(shù);x(a,1)時(shí),f(x)0,f(x)為增函數(shù).所以f(x)在x=a處取極大值,f(x)在x=1處取極小值.當(dāng)0a1時(shí),f(a)0,即在x(0,1)時(shí),f(x)0在(1,+)上恒成立分離出參數(shù)mh(x)mh(x)max.-15-

6、16-17-解題心得在已知函數(shù)y=f(x)有幾個(gè)零點(diǎn)求f(x)中參數(shù)t的值或范圍問(wèn)題,經(jīng)常從f(x)中分離出參數(shù)t=g(x),然后用求導(dǎo)的方法求出g(x)的最值,再根據(jù)題意求出參數(shù)t的值或范圍.-18-對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)=2ln x-x2+ax(aR).(1)當(dāng)a=2時(shí),求f(x)的圖象在x=1處的切線方程;(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-ax+m在 上有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.切線的斜率k=f(1)=2,則切線方程為y-1=2(x-1),即y=2x-1. -19-20-解題策略二解題策略二分類討論法分類討論法 例4(2017全國(guó),理21)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a

7、-2)ex-x.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.難點(diǎn)突破 (2)由(1)得a0及a0時(shí)f(x)的單調(diào)性,依據(jù)f(x)的單調(diào)性研究其零點(diǎn),由a0,f(x)在(-,+)單調(diào)遞減,f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn);由a0時(shí)f(x)的單調(diào)性,易求f(x)的最小值,當(dāng)f(x)min0才會(huì)有兩個(gè)零點(diǎn).解 (1)f(x)的定義域?yàn)?-,+),f(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).()若a0,則f(x)0,則由f(x)=0得x=-ln a.當(dāng)x(-,-ln a)時(shí),f(x)0,所以f(x)在(-,-ln a)單調(diào)遞減,在(-ln a,+)單調(diào)遞增

8、.-21-(2)()若a0,由(1)知,f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).()若a0,由(1)知,當(dāng)x=-ln a時(shí),f(x)取得最小值,-22-解題心得在已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況下,求參數(shù)的范圍問(wèn)題,通常采用分類討論法,依據(jù)題目中的函數(shù)解析式的構(gòu)成,將參數(shù)分類,在參數(shù)的小范圍內(nèi)研究函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意,將滿足題意的參數(shù)的各個(gè)小范圍并在一起,即為所求參數(shù)范圍.-23-對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(2017山西孝義考前熱身,理21)已知函數(shù)f(x)=x2e-ax-1(a是常數(shù)),(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)x(0,16)時(shí),函數(shù)f(x)有零點(diǎn),求a的取值范圍.解 (1)由題意,當(dāng)a=0時(shí),f(x)=

9、x2-1,f(x)在(0,+)內(nèi)遞增,在(-,0)內(nèi)遞減.當(dāng)a0時(shí),f(x)=2xe-ax+x2(-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x),e-ax0,即f(x)0,f(x)遞增. -24-即f(x)0,f(x)遞減.綜上所述,當(dāng)a=0時(shí),f(x)的遞增區(qū)間為(0,+),遞減區(qū)間為(-,0);-25-(2)當(dāng)a=0時(shí),f(x)=x2-1=0可得x=1,1(0,16).故a=0可以; -26-當(dāng)a0在(0,+)上恒成立,所以f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+),此時(shí)f(x)無(wú)單調(diào)減區(qū)間.(2)F(x)=x2-aln x-(a-2)x, -30-所以存在a0(2,3),h(a0)=0.當(dāng)aa0時(shí),h

10、(a)0,所以滿足條件的最小正整數(shù)a=3.-31-因?yàn)閠0,所以m(t)0,當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí),m(t)=0,所以m(t)在(0,+)上是增函數(shù).又m(1)=0,所以當(dāng)t(0,1),m(t)0總成立,所以原題得證.解題心得證明與零點(diǎn)有關(guān)的不等式,函數(shù)的零點(diǎn)本身就是一個(gè)條件,即零點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為0,證明的思路一般對(duì)條件等價(jià)轉(zhuǎn)化,構(gòu)造合適的新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)探討該函數(shù)的性質(zhì)(如單調(diào)性、極值情況等)再結(jié)合函數(shù)圖象來(lái)解決.-32-對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn).(1)求a的取值范圍;(2)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),證明:x1+x20,則當(dāng)x(-,1

11、)時(shí),f(x)0,所以f(x)在(-,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在(1,+)內(nèi)單調(diào)遞增.故f(x)存在兩個(gè)零點(diǎn). -33-()若a0,因此f(x)在(1,+)內(nèi)單調(diào)遞增.又當(dāng)x1時(shí),f(x)0,所以f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn).故當(dāng)x(1,ln(-2a)時(shí),f(x)0.因此f(x)在(1,ln(-2a)內(nèi)單調(diào)遞減,在(ln(-2a),+)內(nèi)單調(diào)遞增.又當(dāng)x1時(shí)f(x)0,所以f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn).綜上,a的取值范圍為(0,+).-34-(2)證明 不妨設(shè)x1x2,由(1)知,x1(-,1),x2(1,+),2-x2(-,1),f(x)在(-,1)內(nèi)單調(diào)遞減,所以x1+x2f(2-x2),即f(2-x2)1時(shí),g(x)1時(shí),g(x)0.從而g(x2)=f(2-x2)0,故x1+x22.