江蘇省2018中考數(shù)學試題研究 第一部分 考點研究 第三章 函數(shù) 第14課時 二次函數(shù)的應用試題（5年真題）

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1、 函數(shù) 第14課時 二次函數(shù)的應用 江蘇近5年中考真題精選(2013～2017) 命題點1二次函數(shù)的實際應用(鹽城1考，淮安1考，宿遷1考) 考向一　最大利潤問題 1. (2016徐州26題8分)某賓館擁有客房100間，經(jīng)營中發(fā)現(xiàn)：每天入住的客房數(shù)y(間)與房價x(元)(180≤x≤300)滿足一次函數(shù)關系，部分對應值如下表： x(元) 180 260 280 300 y(間) 100 60 50 40 (1)求y與x之間的函數(shù)表達式； (2)已知每間入住的客房，賓館每日需支出各種費用100元；每間空置的客房，賓館每日需支出各種費用60元．當房價為多少

2、元時，賓館當日利潤最大？求出最大利潤．(賓館當日利潤＝當日房費收入－當日支出) 2. (2013鹽城25題10分)水果店王阿姨到水果批發(fā)市場打算購進一種水果銷售，經(jīng)過還價，實際價格每千克比原來少2元，發(fā)現(xiàn)原來買這種水果80千克的錢，現(xiàn)在可買88千克． (1)現(xiàn)在實際購進這種水果每千克多少元？ (2)王阿姨準備購進這種水果銷售，若這種水果的銷售量y(千克)與銷售單價x(元/千克)滿足如圖所示的一次函數(shù)關系． ①求y與x之間的函數(shù)關系式； ②請你幫王阿姨拿個主意，將這種水果的銷售單價定為多少時，能獲得最大利潤？最大利潤是多少？(利潤＝銷售收入－進貨金額) 第2題圖 3. (2

3、017揚州27題12分)農(nóng)經(jīng)公司以30元/千克的價格收購一批農(nóng)產(chǎn)品進行銷售，為了得到日銷售量p(千克)與銷售價格x(元/千克)之間的關系，經(jīng)過市場調(diào)查獲得部分數(shù)據(jù)如下表： 銷售價格x(元/千克) 30 35 40 45 50 日銷售量p(千克) 600 450 300 150 0 (1)請你根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，用所學過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的知識確定p與x之間的函數(shù)表達式； (2)農(nóng)經(jīng)公司應該如何確定這批農(nóng)產(chǎn)品的銷售價格，才能使日銷售利潤最大？ (3)若農(nóng)經(jīng)公司每銷售1千克這種農(nóng)產(chǎn)品需支出a元(a＞0)的相關費用，當40≤x≤45時，農(nóng)經(jīng)公司的日獲利

4、的最大值為2430元，求a值．(日獲利＝日銷售利潤－日支出費用) 考向二　費用問題 4. (2016宿遷24題8分)某景點試開放期間，團隊收費方案如下：不超過30人時，人均收費120元；超過30人且不超過m(30＜m≤100)人時，每增加1人，人均收費降低1元；超過m人時，人均收費都按照m人時的標準．設景點接待有x名游客的某團隊，收取總費用為y元． (1)求y關于x的函數(shù)表達式； (2)景點工作人員發(fā)現(xiàn)：當接待某團隊人數(shù)超過一定數(shù)量時，會出現(xiàn)隨著人數(shù)的增加收取的總費用反而減少這一現(xiàn)象．為了讓收取的總費用隨著團隊中人數(shù)的增加而增加，求m的取值范圍． 考向三　幾何圖形面積問題 5.

5、 (2014淮安25題10分)用長為32 m的籬笆圍一個矩形養(yǎng)雞場，設圍成的矩形一邊長為x m，面積為y m2. (1)求y關于x的函數(shù)關系式； (2)當x為何值時，圍成的養(yǎng)雞場面積為60 m2? (3)能否圍成面積為70 m2的養(yǎng)雞場？如果能，請求出其邊長；如果不能，請說明理由． 6. (2013連云港23題10分)小林準備進行如下操作實驗：把一根長為40 cm的鐵絲剪成兩段，并把每一段各圍成一個正方形． (1)要使這兩個正方形的面積之和等于58 cm2，小林該怎么剪？ (2)小峰對小林說：“這兩個正方形的面積之和不可能等于48 cm2.”他的說法對嗎？請說明理由． 命題

6、點2 　二次函數(shù)的綜合應用(鹽城必考，淮安2考，宿遷必考) 7. (2016淮安27題12分)如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋c的圖象與坐標軸交于A、B、C三點，其中點A的坐標為(0，8)，點B的坐標為(－4，0)． (1)求該二次函數(shù)的表達式及點C的坐標； (2)點D的坐標為(0，4)，點F為該二次函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象上的動點，連接CD、CF，以CD、CF為鄰邊作平行四邊形CDEF，設平行四邊形CDEF的面積為S. ①求S的最大值； ②在點F的運動過程中，當點E落在該二次函數(shù)圖象上時，請直接寫出此時S的值． 第7題圖 8. (2013南京26題9分)已知

7、二次函數(shù)y＝a(x－m)2－a(x－m)(a、m為常數(shù)，且a≠0)． (1)求證：不論a與m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個公共點； (2)設該函數(shù)的圖象的頂點為C，與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點D. ①當△ABC的面積等于1時，求a的值； ②當△ABC的面積與△ABD的面積相等時，求m的值． 9. (2016宿遷26題10分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，將二次函數(shù)y＝x2－1的圖象M沿x軸翻折，把所得到的圖象向右平移2個單位長度后再向上平移8個單位長度，得到二次函數(shù)圖象N. (1)求N的函數(shù)表達式； (2)設點P(m，n)是以點C(1，4)為圓心、1為半徑的圓上一動點

8、，二次函數(shù)的圖象M與x軸相交于兩點A、B，求PA2＋PB2的最大值； (3)若一個點的橫坐標與縱坐標均為整數(shù)，則該點稱為整點．求M與N所圍成封閉圖形內(nèi)(包括邊界)整點的個數(shù)． 第9題圖 10. (2013宿遷27題12分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y＝ax2＋bx－3(a，b是常數(shù))的圖象與x軸交于點A(－3，0)和點B(1，0)，與y軸交于點C.動直線y＝t(t為常數(shù))與拋物線交于不同的兩點P、Q. (1)求a和b的值； (2)求t的取值范圍； (3)若∠PCQ＝90°，求t的值． 第10題圖 答案 1. 解：(1)設y＝kx＋b，將(180，100)

9、，(260，60)代入得： ， 解得，(2分) ∴y與x之間的函數(shù)表達式為 y＝－x＋190(180≤x≤300)；(4分) (2) 設利潤為w， w＝y(tǒng)·x－100y－60(100－y) ＝x(－x＋190)－100(－x＋190)－60[100－(－x＋190)] ＝－x2＋210x－13600 ＝－(x－210)2＋8450， ∵180<210<300， (6分) ∴當x＝210時，w最大＝8450(元)， 答：當房價為210元時，賓館當日利潤最大，最大利潤為8450元．(8分) 2. 解：(1)設現(xiàn)在實際購進這種水果每千克a元，則原來購進這種水果每千克(a＋

10、2)元，根據(jù)題意，得 80(a＋2)＝88a， 解得a＝20. 答：現(xiàn)在實際購進這種水果每千克20元； (2)①設y與x之間的函數(shù)關系式為 y＝kx＋b， 將(25，165)，(35，55)代入， 得， 解得， 故y與x之間的函數(shù)關系式為 y＝－11x＋440； ②設這種水果的銷售單價為x元時，所獲利潤為w元， 則w＝(x－20)y ＝(x－20)(－11x＋440) ＝－11x2＋660x－8800 ＝－11(x－30)2＋1100， ∵a＝－11＜0， ∴當x＝30時，w有最大值1100. 答：將這種水果的銷售單價定為30元時，能獲得最大利潤，最大利潤是

11、1100元． 3. 解：(1)p與x之間滿足一次函數(shù)關系p＝kx＋b(k≠0)， 因為點(50，0)，(30，600)在圖象上， 所以， 解得， ∴p與x之間的函數(shù)表達式為 p＝－30x＋1500(30≤x≤50)； (2)設日銷售價格為x元/千克，日銷售利潤為w元，依題意得 w＝(－30x＋1500)(x－30) ＝－30x2＋2400x－45000(30≤x≤50)， ∵a＝－30<0， ∴w有最大值， 當x＝－＝40 (元/千克)時，w有最大值，即最大值為 w最大＝＝3000(元)； 答：銷售價格為40元/千克時，日銷售利潤最大； (3)∵w＝p(x－30

12、－a)＝－30x2＋(2400＋30a)x－(1500a＋45000)， 對稱軸為x＝－＝40＋a， ①若a>10，當x＝45時取最大值，(45－30－a)×150＝2250－150a<2430(舍去)， ②若a<10，當x＝40＋a時取最大值，將x＝40＋a代入，得 w＝30(a2－10a＋100)， 令w＝2430，則30(a2－10a＋100)＝2430， 解得a＝2或a＝38(舍去)． 綜上所述，a＝2. 4. 解：(1)由題意得， y＝；(4分) (2)由(1)知當0＜x≤30或m＜x≤100時， 函數(shù)值都是隨著x的增大而增大， 當30＜x≤m時， y＝x[

13、120－(x－30)] ＝x(150－x) ＝－x2＋150x ＝－(x2－150x＋752－752) ＝－(x－75)2＋752， ∴當30＜m≤75時，收取的總費用隨著團隊中人數(shù)的增加而增加．(8分) 5. 解：(1)已知圍成的矩形一邊長為x m，則矩形的鄰邊長為(32÷2－x) m．依題意得： y＝x(32÷2－x)＝－x2＋16x， ∴y關于x的函數(shù)關系式是 y＝－x2＋16x；(3分) (2)由(1)知y＝－x2＋16x， 當y＝60時，－x2＋16x＝60， 即(x－6)(x－10)＝0， 解得 x1＝6，x2＝10， 即當x是6 m或10 m時，圍成的

14、養(yǎng)雞場面積為60 m2；(5分) (3)不能圍成面積為70 m2的養(yǎng)雞場．(6分) 理由如下： 由(1)知，y＝－x2＋16x， 當y＝70時，－x2＋16x＝70， 即x2－16x＋70＝0，(8分) ∵b2－4ac＝(－16)2－4×1×70 ＝－24＜0， ∴該方程無解； 即不能圍成面積為70 m2的養(yǎng)雞場．(10分) 6. 解：(1)設剪成的較短的一段為x cm，較長的一段就為(40－x)cm，由題意得： 2＋()2＝58， 解得x1＝12，x2＝28， 當x＝12時，較長的為40－12＝28 cm， 當x＝28時，較長的為40－28＝12＜28(舍去)，

15、 ∴較短的一段為12 cm，較長的一段為28 cm； (2)設剪成的較短的一段為m cm，較長的一段就為(40－m)cm，由題意得： ()2＋()2＝48， 變形為：m2－40m＋416＝0， ∵b2－4ac＝(－40)2－4×416 ＝－64＜0， ∴原方程無實數(shù)根， ∴小峰的說法正確，這兩個正方形的面積之和不可能等于48 cm2. 7. 解：(1)∵二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋c過A(0，8)、B(－4，0)兩點， ∴， 解得， ∴二次函數(shù)的解析式為 y＝－x2＋x＋8， 當y＝0時，解得x1＝－4，x2＝8， ∴C點坐標為(8，0)； (2)①如解圖，連接D

16、F、OF，設F(m，－m2＋m＋8)， 　第7題解圖 ∵S四邊形OCFD＝S△CDF＋S△OCD＝S△ODF＋S△OCF， ∴S△CDF＝S△ODF＋S△OCF－S△OCD， ＝×4×m＋×8×(－m2＋m＋8)－×8×4 ＝2m－m2＋4m＋32－16 ＝－m2＋6m＋16 ＝－(m－3)2＋25， ∴當m＝3時，△CDF的面積有最大值，最大值為25， ∵四邊形CDEF為平行四邊形， ∴S四邊形CDEF＝2S△CDF＝50， ∴S的最大值為50； ②18. 【解法提示】∵四邊形CDEF為平行四邊形， ∴CD∥EF，CD＝EF， ∵點C向左平移8個單位，再向上

17、平移4個單位得到點D， ∴點F向左平移8個單位，再向上平移4個單位得到點E，即E(m－8，－m2＋m＋12)， ∵E(m－8，－m2＋m＋12)在拋物線上， ∴－(m－8)2＋(m－8)＋8 ＝－m2＋m＋12， 解得m＝7， 當m＝7時，S△CDF＝－(7－3)2＋25＝9， ∴此時S四邊形CDEF＝2S△CDF＝18. 8. (1)證明：y＝a(x－m)2－a(x－m)＝ax2－(2am＋a)x＋am2＋am. ∵當a≠0時，[－(2am＋a)]2－4a(am2＋am)＝a2>0. ∴方程ax2－(2am＋a)x＋am2＋am＝0有兩個不相等的實數(shù)根， ∴不論a與m為

18、何值且a≠0時，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個公共點；(3分) (2)解：①y＝a(x－m)2－a(x－m)＝a(x－)2－， ∴點C的坐標為(，－)． 當y＝0時，a(x－m)2－a(x－m)＝0，解得x1＝m，x2＝m＋1， ∴AB＝1. 當△ABC的面積等于1時，有×1×|－|＝1， ∴×1×(－)＝1，或×1×＝1， ∴a＝－8或a＝8；(6分) ②當x＝0時，y＝am2＋am，所以點D的坐標為(0，am2＋am)， 當△ABC的面積與△ABD的面積相等時， ×1×|－|＝×1×|am2＋am|； 即||＝|am2＋am|， ∵a≠0， ∴＝|m2＋m|， ∴m

19、2＋m＝±， 即m2＋m＋＝0或m2＋m－＝0， ∴m＝－或m＝ 或m＝.(9分) 9. 解：(1)由題意得N的函數(shù)表達式為y＝－(x－2)2＋9；(3分) (2)∵點P的坐標為(m，n)，點A為(－1，0)，點B為(1，0)， ∴PA2＋PB2＝(m＋1)2＋(n－0)2＋(m－1)2＋(n－0)2＝m2＋2m＋1＋n2＋m2－2m＋1＋n2＝2m2＋2n2＋2＝2(m2＋n2)＋2＝2OP2＋2， ∴當PA2＋PB2最大時，要滿足OP最大，即滿足直線OP經(jīng)過點C，(5分) 又∵點P(m, n)是以點C(1，4)為圓心、1為半徑的圓上一動點， ∴CP＝1， ∵OC＝＝，

20、 ∴OP＝＋1， ∴PA2＋PB2＝2OP2＋2＝2(＋1)2＋2＝38＋4；(7分) (3)由得兩二次函數(shù)交點坐標為(－1，0)，(3，8)． 兩曲線圍成的封閉圖形如解圖所示， 第9題解圖 縱坐標的取值范圍為：－1≤y≤9，橫坐標的取值范圍－1≤x≤3， ∴M與N所圍成封閉圖形內(nèi)(包括邊界)的整點有：(－1，0)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(0，4)，(0，5)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(1，8)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(2

21、，8)，(2，9)，(3，8)共25個．(10分) 10. 解：(1)將點A(－3，0)、點B(1，0)坐標代入y＝ax2＋bx－3中可得： ， 解得； (2)由(1)知拋物線的解析式為 y＝x2＋2x－3，動直線y＝t，聯(lián)立兩個解析式可得：x2＋2x－3＝t，即x2＋2x－(3＋t)＝0. ∵動直線y＝t(t為常數(shù))與拋物線交于不同的兩點， ∴b2－4ac＝4＋4(3＋t)＞0， 解得t＞－4； (3)∵y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4， ∴拋物線的對稱軸為直線x＝－1， 當x＝0時，y＝－3， ∴C(0，－3)． 設點Q的坐標為(m，t)，則點P的坐標為(－2－m，t)， 如解圖，設PQ與y軸交于點D， 第10題解圖 則CD＝t＋3，DQ＝m，DP＝m＋2， ∵∠PCQ＝∠PCD＋∠QCD＝90°， ∠DPC＋∠PCD＝90°， ∴∠QCD＝∠DPC， 又∵∠PDC＝∠QDC＝90°， ∴△QCD∽△CPD， ∴＝， 即＝， 整理得：t2＋6t＋9＝m2＋2m， ∵Q＝(m，t)在拋物線上， ∴t＝m2＋2m－3， ∴m2＋2m＝t＋3， ∴t2＋6t＋9＝t＋3， 化簡得t2＋5t＋6＝0， 解得t＝－2或t＝－3， 當t＝－3時，動直線y＝t經(jīng)過點C，故不合題意，舍去，∴t＝－2. 15