陜西省山陽縣色河鋪鎮(zhèn)2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第16講 相似三角形

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1、第16講 相似三角形 一、 知識清單梳理 知識點(diǎn)一：比例線段 關(guān)鍵點(diǎn)撥與對應(yīng)舉例 1. 比例 線段 在四條線段a，b，c，d中，如果a與b的比等于c與d的比，即，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡稱比例線段． 列比例等式時，注意四條線段的大小順序，防止出現(xiàn)比例混亂. 2.比例 的基本性質(zhì) (1)基本性質(zhì)：? ad＝bc；（b、d≠0） (2)合比性質(zhì)：?＝；（b、d≠0） (3)等比性質(zhì)：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)? ＝k.（b、d、···、n≠0） 已知比例式的值，求相關(guān)字母代數(shù)式的值，常用引入?yún)?shù)法，將所有的量都統(tǒng)一用含

2、同一個參數(shù)的式子表示，再求代數(shù)式的值，也可以用給出的字母中 的一個表示出其他的字母，再代入求解.如下題可設(shè)a=3k,b=5k,再代入所求式子，也可以把原式變形得a=3/5b代入求解. 例：若，則 . 3.平行線分線段成比例定理 （1）兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線 段成比例.即如圖所示，若l3∥l4∥l5，則. 利用平行線所截線段成比例求線段長或線段比時，注意根據(jù)圖形列出比例等式，靈活運(yùn)用比例基本性質(zhì)求解. 例：如圖，已知D，E分別是△ABC的邊BC和AC上的點(diǎn)，AE=2，CE=3，要使DE∥AB，那么BC：CD應(yīng)等于 . （2）平行于三角形一邊的直線截

3、其他兩邊(或兩邊的 延長 線)，所得的對應(yīng)線段成比例. 即如圖所示，若AB∥CD，則. （3）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相似． 如圖所示，若DE∥BC，則△ADE∽△ABC. 4.黃金分割 點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果＝=≈0.618，那么線段AB被點(diǎn)C黃金分割．其中點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比． 例：把長為10cm的線段進(jìn)行黃金分割，那么較長線段長為 cm． 知識點(diǎn)二 ：相似三角形的性質(zhì)與判定 5.相似三角形的判定 (1) 兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似(AAA). 如圖，若∠A＝

4、∠D，∠B＝∠E， 則△ABC∽△DEF. 判定三角形相似的思路：①條件中若有平行 線，可用平行線找出相等的角而判定；②條 件中若有一對等角，可再找一對等角或再找 夾這對等角的兩組邊對應(yīng)成比例；③條件中 若有兩邊對應(yīng)成比例可找夾角相等；④條件 中若有一對直角，可考慮再找一對等角或證 明直角邊和斜邊對應(yīng)成比例；⑤條件中若有 等腰關(guān)系，可找頂角相等或找一對底角相等 或找底、腰對應(yīng)成比例. (2) 兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個三角形相似． 如圖，若∠A＝∠D，，則△ABC∽△DEF. (3) 三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似．如圖，若，則△ABC∽△DEF. 6.相似

5、三角形的性質(zhì) (1)對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例． (2)周長之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方． (3)相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)角平分線的比和對應(yīng)中線的比等于相似比． 例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周長為3，△DEF的周長為2，則△ABC與△DEF的面積之比為9：4. (2) 如圖，DE∥BC， AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，則AF:AG=1：2. 7.相似三角形的基本模型 （1）熟悉利用利用相似求解問題的基本圖形，可以迅速找到解題思路，事半功倍. （2）證明等積式或者比例式的一般方法：經(jīng)常把等積式化為比例式，

6、把比例式的四條線段分別看做兩個三角形的對應(yīng)邊.然后，通過證明這兩個三角形相似，從而得出結(jié)果. 二、經(jīng)典試做 1．已知△ABC∽△DEF，∠A＝80°，∠B＝20°， 那么△DEF的各角的度數(shù)分別是______________． 2．如圖27-2-11，直線CD∥EF，若OE＝7，CE＝4，則＝________. 圖27-2-11 3．已知△ABC∽△A′B′C′，如果AC＝6，A′C′＝2.4，那么△A′B′C′與△ABC的相似比為________

7、． 4．如圖若∠BAD＝∠CAE，∠E＝∠C，則________∽________. 5．如圖27-2-13，DE∥FG∥BC，圖中共有相似三角形(　　) A．2對 B．3對 C．4對 D．5對 圖27-2-13 6．在△ABC和△A′B′C′中，有下列條件： ①＝；②＝；③∠A＝∠A′；④∠C＝∠C′. 如果從中任取兩個條件組成一組，那么能判斷△ABC∽△A′B′C′的共有(　　) A．1組 B．2組 C．3組

8、 D．4組 7．如圖27-2-14，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，求證：AD2＝CD·BD. 9．如圖27-2-15，已知△ABC，延長BC到點(diǎn)D，使CD＝BC. 取AB的中點(diǎn)F，連接FD交AC于點(diǎn)E. (1)求的值； (2)若AB＝a，F(xiàn)B＝EC，求AC的長． 圖27-2-15 10．如圖27-2-16，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6.若動點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BA運(yùn)動到點(diǎn)A為止，運(yùn)動速度為每秒2個單位長度．過

9、點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E，設(shè)動點(diǎn)D運(yùn)動的時間為x秒，AE的長為y. (1)求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍； (2)求出△BDE的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式； (3)當(dāng)x為何值時，△BDE的面積S有最大值，最大值為多少？ 4．已知△ABC和△DEF相似且對應(yīng)中線的比為3∶4，則△ABC和△DEF的周長比為____________． 5．高為3米的木箱在地面上的影長為12米，此時測得一建筑物在水面上的影長為36米，則該建筑物的高度為______米． 7．如圖27-2-26，直立在B處的標(biāo)桿AB＝2.4 m，直立在F處的觀測者從E處看到標(biāo)桿頂A、樹頂C在同

10、一條直線上(點(diǎn)F，B，D也在同一條直線上)．已知BD＝8 m，F(xiàn)B＝2.5 m，人高EF＝1.5 m，求樹高CD. 圖27-2-26 9．如圖在?ABCD中，E是CD的延長線上一點(diǎn)，BE與AD交于點(diǎn)F，DE＝CD. (1)求證：△ABF∽△CEB； (2)若△DEF的面積為2，求?ABCD的面積． 圖27-2-28 9．如圖27-3-15，在6×8的網(wǎng)格圖中，每個小正方形邊長均為1，點(diǎn)O和△ABC的頂點(diǎn)均為小正方形的頂點(diǎn)． (1)以O(shè)為位似中心，在網(wǎng)格圖中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比為1∶2； (2)連接(1)中的AA′，求四邊形AA′C′C的周長(結(jié)果保留根號)． 圖27-3-15