浙江省2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第三章 函數(shù)及其圖象 第15講 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)講解篇
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1、 第15講 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1.二次函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì) 考試內(nèi)容 考試 要求 二次函數(shù)的概念 一般地,形如 (a,b,c是常數(shù),a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù).其中x是自變量,a、b、c分別為函數(shù)表達式的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項. b 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) a a>0 a<0 b c 圖象 開口方向 拋物線開口向_______,并向上無限延伸 拋物線開口向_____,并向下無限延伸 對稱軸 直線x=- 直線x=- 頂點坐標(biāo) 最值 拋物線有最低點,當(dāng)x=-時,y有最小值,y
2、最小值=. 拋物線有最高點,當(dāng)x=-時,y有最大值,y最大值=. 增減性 在對稱軸的左側(cè),即當(dāng)x<-時,y隨x的增大而_______________;在對稱軸的右側(cè),即當(dāng)x>-時,y隨x的增大而____________,簡記左減右增 在對稱軸的左側(cè),即當(dāng)x<-時,y隨x的增大而_________;在對稱軸的右側(cè),即當(dāng)x>-時,y隨x的增大而_______,簡記左增右減 2.二次函數(shù)的圖象與字母系數(shù)的關(guān)系 考試內(nèi)容 考試 要求 字母或 代數(shù)式 字母的符號 圖象的特征 b c a a>0 開口向________ |a|越大開口越 . a<0 開口
3、向_____ b b=0 對稱軸為 軸. ab>0(b與a同號) 對稱軸在y軸____________________側(cè). ab<0(b與a異號) 對稱軸在y軸 側(cè). c c=0 經(jīng)過____________________. c>0 與y軸____________________半軸相交. c<0 與y軸 半軸相交. b2-4ac b2-4ac=0 與x軸有____________________交點(頂點). b2-4ac>0 與x軸有 不同交點. b2-
4、4ac<0 與x軸____________________交點. 特殊關(guān)系 若a+b+c>0,即當(dāng)x=1時,y____________________0. 若a+b+c<0,即當(dāng)x=1時,y____________________0. 3.確定二次函數(shù)的解析式 考試內(nèi)容 考試 要求 方法 適用條件及求法 c 一般式 若已知條件是圖象上的三個點或三對自變量與函數(shù)的對應(yīng)值,則可設(shè)所求二次函數(shù)解析式為____________________. 頂點式 若已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程與最大值(最小值),可設(shè)所求二次函數(shù)為____________________.
5、 交點式 若已知二次函數(shù)圖象與x軸的兩個交點的坐標(biāo)為(x1,0),(x2,0),可設(shè)所求的二次函數(shù)為 . 4.二次函數(shù)與一元二次方程以及不等式之間的關(guān)系 考試內(nèi)容 考試 要求 二次函數(shù)與一元二次方程 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與 軸的交點的 坐標(biāo)是一元二次方程ax2+bx+c=0的根. b 二次函數(shù)與不等式 拋物線y=ax2+bx+c在x軸上方的部分點的縱坐標(biāo)都為正,所對應(yīng)的x的所有值就是不等式ax2+bx+c 0的解集;在x軸下方的部分點的縱坐標(biāo)均為負,所對應(yīng)的x的所有值就是不等式a
6、x2+bx+c 0的解集. 5.二次函數(shù)圖象常見的變換 考試內(nèi)容 考試 要求 平移 頂點坐標(biāo)的變化,按照“橫坐標(biāo)加減左右移”、“縱坐標(biāo)加減上下移”的方法進行. c 旋轉(zhuǎn) 拋物線關(guān)于原點旋轉(zhuǎn)180°,此時頂點關(guān)于原點對稱,a的符號相反. 軸對稱 拋物線關(guān)于x軸對稱,此時頂點關(guān)于x軸對稱,a的符號相反;拋物線關(guān)于y軸對稱,此時頂點關(guān)于y軸對稱,a的符號不變. b 考試內(nèi)容 考試 要求 基本 思想 數(shù)形結(jié)合,從二次函數(shù)的圖象研究其開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)、增減性、最值及其圖象的平移變化,到利用二次函數(shù)圖象求解方程與方程組,再到利用圖象
7、求解析式和解決實際問題,都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想. c 1.(2015·臺州)設(shè)二次函數(shù)y=(x-3)2-4圖象的對稱軸為直線l,若點M在直線l上,則點M的坐標(biāo)可能是( ) A.(1,0) B.(3,0) C.(-3,0) D.(0,-4) 2.(2017·金華)對于二次函數(shù)y=-(x-1)2+2的圖象與性質(zhì),下列說法正確的是( ) A.對稱軸是直線x=1,最小值是2 B.對稱軸是直線x=1,最大值是2 C.對稱軸是直線x=-1
8、,最小值是2 D.對稱軸是直線x=-1,最大值是2 3.(2017·寧波)拋物線y=x2-2x+m2+2(m是常數(shù))的頂點在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.(2016·舟山)把拋物線y=x2先向右平移2個單位,再向上平移3個單位,平移后拋物線的表達式是____________________. 5.(2015·甘孜州)若二次函數(shù)y=2x2的圖象向左平移2個單位長度后,得到函數(shù)y=2(x+h)2的圖象,則h=____________________. 【問題】如圖是y=ax2
9、+bx+c(a≠0)的圖象,且點A(-1,0),B(3,0). (1)你能從圖象中想到哪些二次函數(shù)性質(zhì); (2)若點C為(0,-3),你又能得到哪些結(jié)論. 【歸納】通過開放式問題,歸納、疏理二次函數(shù)的圖象與性質(zhì). 類型一 二次函數(shù)的解析式 (1)已知拋物線的頂點坐標(biāo)為(-1,-8),且過點(0,-6),則該拋物線的表達式為________; (2)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A(-1,-1)、B(0,2)、C(1,3);則二次函數(shù)的解析式為________; (3)已知拋物線過點A(2,0),B(-1,0),與y軸交于點C,且OC=2.則這
10、條拋物線的解析式為________. 【解后感悟】解題關(guān)鍵是選擇合適的解析式:當(dāng)已知拋物線上三點求二次函數(shù)的關(guān)系式時,一般采用一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0);當(dāng)已知拋物線頂點坐標(biāo)(或?qū)ΨQ軸及最大或最小值)求關(guān)系式時,一般采用頂點式y(tǒng)=a(x-h(huán))2+k;當(dāng)已知拋物線與x軸的交點坐標(biāo)求二次函數(shù)的關(guān)系式時,一般采用交點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2). 1. (1)(2017·杭州模擬)如圖,已知拋物線y=-x2+bx+c的對稱軸為直線x=1,且與x軸的一個交點為(3,0),那么它對應(yīng)的函數(shù)解析式是____________________. (2)(2017·長春模擬)已知二次
11、函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點A,B關(guān)于直線x=-1對稱,且AB=6,頂點在函數(shù)y=2x的圖象上,則這個二次函數(shù)的表達式為____________________. 類型二 二次函數(shù)的圖象、性質(zhì) (1)對于拋物線y=-(x+1)2+4,下列結(jié)論: ①拋物線的開口向下;②對稱軸為直線x=1;③頂點坐標(biāo)為(-1,4);④x≥1時,y隨x的增大而減?。虎莓?dāng)x=-1時,y有最大值是4;⑥當(dāng)y≥0時,-3≤x≤1;⑦點A(-2,y1)、B(1,y2)在拋物線上,則y1>y2. 其中正確結(jié)論是______________; (2)如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象,下列結(jié)論: ①-2≤
12、x≤1,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最大值為4,最小值為0;②使y≤3成立的x的取值范圍是x≥0;③一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1=-3,x2=1;④一元二次方程ax2+bx+c-3=0的兩根為x1=-2,x2=0;⑤當(dāng)二次函數(shù)的值大于一次函數(shù)y=-x+3的值時,x取值范圍是-1<x<0. 其中正確結(jié)論是______________. 【解后感悟】解題關(guān)鍵是正確把握解析式的特點、圖象的特點、二次函數(shù)的性質(zhì),注意數(shù)形結(jié)合. 2. (1)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,下列說法:①2a+b=0;②當(dāng)-1≤x≤3時,y<0;③若(x1,y1)、(x2,
13、y2)在函數(shù)圖象上,當(dāng)x1 14、位長度,再向上平移2個單位長度,平移后所得拋物線的解析式為________;
(2)將該拋物線關(guān)于x軸作軸對稱變換,再將所得的拋物線關(guān)于y軸作軸對稱變換,那么經(jīng)兩次變換后所得的新拋物線的解析式為________.
(3)將該拋物線繞它的頂點旋轉(zhuǎn)180°,所得拋物線的解析式是________.
【解后感悟】①平移的規(guī)律:左加右減,上加下減;②對稱的規(guī)律:關(guān)于x軸對稱的兩點橫坐標(biāo)相同,縱坐標(biāo)互為相反數(shù);關(guān)于y軸對稱的兩點縱坐標(biāo)相同,橫坐標(biāo)互為相反數(shù);關(guān)于原點對稱的兩點橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù);③旋轉(zhuǎn)的規(guī)律:旋轉(zhuǎn)后的拋物線開口相反,頂點關(guān)于旋轉(zhuǎn)點對稱.
3.(1)(2017·紹興)矩形AB 15、CD的兩條對稱軸為坐標(biāo)軸,點A的坐標(biāo)為(2,1).一張透明紙上畫有一個點和一條拋物線,平移透明紙,使這個點與點A重合,此時拋物線的函數(shù)表達式為y=x2,再次平移透明紙,使這個點與點C重合,則該拋物線的函數(shù)表達式變?yōu)? )
A.y=x2+8x+14 B.y=x2-8x+14
C.y=x2+4x+3 D.y=x2-4x+3
(2)(2017·鹽城)如圖,將函數(shù)y=(x-2)2+1的圖象沿y軸向上平移得到一條新函數(shù)的圖象,其中點A(1,m),B(4 16、,n)平移后的對應(yīng)點分別為點A′、B′.若曲線段AB掃過的面積為9(圖中的陰影部分),則新圖象的函數(shù)表達式是( )
A.y=(x-2)2-2 B.y=(x-2)2+7
C.y=(x-2)2-5 D.y=(x-2)2+4
類型四 二次函數(shù)的綜合問題
如圖,拋物線y=-x2+2x+c與x軸交于A,B兩點,它們的對稱軸與x軸交于點N,過頂點M作ME⊥y軸于點E,連結(jié)BE交MN于點F. 已知點A的坐標(biāo)為(-1,0).
(1)求該拋物線的解析式及頂點M的坐標(biāo);
(2)求△EMF與△BNF的面積之比.
【解后感悟 17、】拋物線與x軸的交點問題;二次函數(shù)的性質(zhì);待定系數(shù)法的應(yīng)用;曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系;相似三角形的判定和性質(zhì).
4. (1)(2016·長春)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,菱形OABC的頂點A在x軸正半軸上,頂點C的坐標(biāo)為(4,3),D是拋物線y=-x2+6x上一點,且在x軸上方,則△BCD面積的最大值為____________________.
(2) (2015·湖州)如圖,已知拋物線C1∶y=a1x2+b1x+c1和C2∶y=a2x2+b2x+c2都經(jīng)過原點,頂點分別為A,B,與x軸的另一個交點分別為M、N,如果點A與點B,點M與點N都關(guān)于原點O成中心對稱,則拋物線C1和C 18、2為姐妹拋物線,請你寫出一對姐妹拋物線C1和C2,使四邊形ANBM恰好是矩形,你所寫的一對拋物線解析式是
和 .
類型五 二次函數(shù)的應(yīng)用
(2017·杭州模擬)九年級數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查,得到某種運動服每月的銷量與售價的相關(guān)信息如下表:
售價(元/件)
100
110
120
130
…
月銷量(件)
200
180
160
140
…
已知該運動服的進價為每件60元,設(shè)售價為x元.
(1)請用含x的式子表示:
①銷售該運動服每件的利潤是________元;②月銷量是________件;( 19、直接填寫結(jié)果)
(2) 設(shè)銷售該運動服的月利潤為y元,那么售價為多少時,當(dāng)月的利潤最大,最大利潤是多少?
【解后感悟】此題是二次函數(shù)的應(yīng)用,準(zhǔn)確分析題意,列出y與x之間的二次函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵.
5.(2017·重慶模擬)我們常見的炒菜鍋和鍋蓋都是拋物線面,經(jīng)過鍋心和蓋心的縱斷面是兩段拋物線組合而成的封閉圖形,不妨簡稱為“鍋線”,鍋口直徑為6dm,鍋深3dm,鍋蓋高1dm(鍋口直徑與鍋蓋直徑視為相同),建立直角坐標(biāo)系如圖1所示(圖2是備用圖),如果把鍋縱斷面的拋物線記為C1,把鍋蓋縱斷面的拋物線記為C2.
(1)求C1和C2的解析式;
(2)如果炒菜鍋里的水位高 20、度是1dm,求此時水面的直徑;
(3)如果將一個底面直徑為3dm,高度為3dm的圓柱形器皿放入炒菜鍋內(nèi)蒸食物,鍋蓋能否正常蓋上?請說明理由.
【探索研究題】
如圖,一段拋物線:y=-x(x-3)(0≤x≤3),記為C1,它與x軸交于點O,A1;
將C1繞點A1旋轉(zhuǎn)180°得C2,交x軸于點A2;將C2繞點A2旋轉(zhuǎn)180°得C3,交x軸于點A3;…
如此進行下去,直至得C13.若P(37,m)在第13段拋物線C13上,則m=________.
【方法與對策】本題是數(shù)形規(guī)律探究能力.圖形類規(guī)律探索題,通常先把圖形型問題轉(zhuǎn)化 21、為數(shù)字型問題,再從數(shù)字的特點來尋找規(guī)律,解題關(guān)鍵從操作中前面幾個點的坐標(biāo)位置變化,猜想、歸納出一般變化規(guī)律.該題型是圖形變換和規(guī)律的探究題,是中考命題方向.
【配方漏括號】
用配方法求二次函數(shù)y=x2-x+圖象的頂點坐標(biāo)及對稱軸.
參考答案
第15講 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【考點概要】
1.y=ax2+bx+c 上 下 減小 增大 增大 減小 2.上 下 小 y 左 右 原點 正 負 唯一 兩個 沒有 > < 3.y=ax2+bx+c y=a(x-m)2+k y=a(x-x1)(x 22、-x2) 4.x 橫 > <
【考題體驗】
1.B 2.B 3.A 4.y=(x-2)2+3 5.2
【知識引擎】
【解析】(1)對稱軸是直線x=1等;(2)當(dāng)x=1時,y的最小值為-4等.
【例題精析】
例1 (1)y=2(x+1)2-8;(2)y=-x2+2x+2;(3)y=x2-x-2或y=-x2+x+2 例2 (1)①③④⑤⑥⑦;(2)①③④⑤ 例3 (1)y=2x2+1;(2)y=-2(x+4)2+1;(3)y=-2(x-4)2-1 例4 (1)∵點A在拋物線y=-x2+2x+c上,∴-(-1)2+2·(-1)+c=0,解得:c=3,∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3 23、.∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴拋物線的頂點M(1,4);(2)∵A(-1,0),拋物線的對稱軸為直線x=1,∴點B(3,0).∴EM=1,BN=2.∵EM∥BN,∴△EMF∽△BNF.∴===. 例5 (1)①(x-60);②(-2x+400) (2)依題意可得:y=(x-60)×(-2x+400)=-2x2+520x-24000=-2(x-130)2+9800,當(dāng)x=130時,y有最大值9800.所以售價為每件130元時,當(dāng)月的利潤最大為9800元.
【變式拓展】
1.(1)y=-x2+2x+3 (2)y=x2+x-
2.(1)①④⑤ (2)①根據(jù)題意可得函數(shù)圖象為 24、:
②圖象都經(jīng)過點(1,0)和點(-1,4);圖象總交x軸于點(1,0);k取0和2時的函數(shù)圖象關(guān)于點(0,2)成中心對稱;③平移后的函數(shù)y3的表達式為:y3=(x+3)2-2,∴當(dāng)x=-3時,函數(shù)y3的最小值為-2.
3. (1)A (2)D
4. (1)15 (2)y=-x2+2x y=x2+2x
5.(1)由于拋物線C1、C2都過點A(-3,0)、B(3,0),可設(shè)它們的解析式為:y=a(x-3)(x+3);拋物線C1還經(jīng)過D(0,-3),則有:-3=a(0-3)(0+3),解得:a=,即:拋物線C1:y=x2-3(-3≤x≤3);拋物線C2還經(jīng)過C(0,1),則有:1 25、=a(0-3)(0+3),解得:a=-,即:拋物線C2:y=-x2+1(-3≤x≤3).(2)當(dāng)炒菜鍋里的水位高度為1dm時,y=-2,即x2-3=-2,解得:x=±,∴此時水面的直徑為2dm. (3)鍋蓋能正常蓋上,理由如下:當(dāng)x=時,拋物線C1:y=×-3=-,拋物線C2:y=-×+1=,而-=3,∴鍋蓋能正常蓋上.
【熱點題型】
【分析與解】C1:y=-x(x-3)(0≤x≤3)
C2:y=(x-3)(x-6)(3≤x≤6)
C3:y=-(x-6)(x-9)(6≤x≤9)
C4:y=(x-9)(x-12)(9≤x≤12)
…
C13:y=-(x-36)(x-39)(36≤x≤39),當(dāng)x=37時,y=2,所以,m=2.
【錯誤警示】
y=x2-x+=(x2-4x+3)=[(x-2)2-1]=(x-2)2-,∴該函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)是(2,-),對稱軸是直線x=2.
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