浙江省紹興縣楊汛橋鎮(zhèn)八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 專題提升三 以特殊平行四邊形為背景的計(jì)算與證明試題 （新版）浙教版

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1、 專題提升三 以特殊平行四邊形為背景的計(jì)算與證明 類型一 特殊平行四邊形的閱讀理解問(wèn)題 1. 閱讀下列材料： 我們定義：若一個(gè)四邊形的一條對(duì)角線把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形，則稱這條對(duì)角線叫這個(gè)四邊形的和諧線，這個(gè)四邊形叫做和諧四邊形．如正方形就是和諧四邊形. 結(jié)合閱讀材料，完成下列問(wèn)題： （1）下列哪個(gè)四邊形一定是和諧四邊形（ ） A． 平行四邊形 B． 矩形 C． 菱形 D． 以上答案都不對(duì) （2）如圖，等腰Rt△ABD中，∠BAD=90°. 若點(diǎn)C為平面上一點(diǎn)，AC為凸四邊形ABCD的和諧線，且AB=BC

2、，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠ABC的度數(shù). 2． 一張長(zhǎng)方形紙片，剪下一個(gè)正方形，剩下一個(gè)長(zhǎng)方形，稱為第一次操作；在剩下的矩形紙片中再剪下一個(gè)正方形，剩下一個(gè)矩形，稱為第二次操作；若在第n次操作后，剩下的矩形為正方形，則稱原矩形為n階奇異矩形． 如圖1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，則稱矩形ABCD為2階奇異矩形． （1）判斷與操作：如圖2，矩形ABCD長(zhǎng)為5，寬為2，它是奇異矩形嗎？如果是，請(qǐng)寫(xiě)出它是幾階奇異矩形，并在圖中畫(huà)出裁剪線；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由； （2）探究與計(jì)算：已知矩形ABCD的一邊長(zhǎng)為20，另一邊長(zhǎng)為a（a＜20），且它是3階奇異矩形，請(qǐng)畫(huà)出矩形ABCD及

3、裁剪線的示意圖，并在圖的下方寫(xiě)出a的值． 3. 如圖，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的長(zhǎng). 小萍同學(xué)靈活運(yùn)用軸對(duì)稱知識(shí)，將圖形進(jìn)行翻折變換，巧妙地解答了此題. 請(qǐng)按照小萍的思路，探究并解答下列問(wèn)題： （1）分別以AB、AC為對(duì)稱軸，畫(huà)出△ABD、△ACD的軸對(duì)稱圖形，D點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為E、F，延長(zhǎng)EB、FC相交于G點(diǎn)，求證：四邊形AEGF是正方形； （2）設(shè)AD=x，建立關(guān)于x的方程模型，求出x的值. 類型二 特殊平行四邊形的探究性問(wèn)題 4. 如圖，△ABC中，點(diǎn)O為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

4、過(guò)點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的外角平分線CF于點(diǎn)F，交∠ACB內(nèi)角平分線CE于點(diǎn)E． （1）求證：EO=FO； （2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論； （3）若AC邊上存在點(diǎn)O，使四邊形AECF是正方形，猜想△ABC的形狀并證明你的結(jié)論. 5. 翻閱第四章同步，我們?cè)鲞^(guò)以下題目： 在此基礎(chǔ)上，思考并解答以下新問(wèn)題： （1）當(dāng)∠BAC＝60°時(shí)，四邊形ADEF是平行四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由； （2）當(dāng)△ABC滿足什么條件，四邊形ADEF是菱形？請(qǐng)說(shuō)明理由； （3）當(dāng)△ABC滿足什么條件，四邊形ADEF是矩形？請(qǐng)說(shuō)明理由； （4

5、）當(dāng)△ABC滿足什么條件，四邊形ADEF是正方形？請(qǐng)說(shuō)明理由. 6. 如圖，正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上，連結(jié)BE，DG，觀察猜想BE與DG之間的大小關(guān)系與位置關(guān)系，并證明你的猜想. 7． 如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、DC上的點(diǎn)，且AF⊥BE． （1）求證：AF=BE； （2）如圖2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，且MP⊥NQ．MP與NQ是否相等？并說(shuō)明理由． 8. 如圖，AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，連結(jié)EF，∠

6、AEF、∠CFE的平分線交于點(diǎn)G，∠BEF、∠DFE的平分線交于點(diǎn)H. （1）求證：四邊形EGFH是矩形； （2）小明在完成（1）的證明后繼續(xù)進(jìn)行了探索，過(guò)G作MN∥EF，分別交AB，CD于點(diǎn)M，N，過(guò)H作PQ∥EF，分別交AB，CD于點(diǎn)P，Q，得到四邊形MNQP，此時(shí)，他猜想四邊形MNQP是菱形，請(qǐng)?jiān)谙铝锌蛑醒a(bǔ)全他的證明思路. 由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易證四邊形MNQP是平行四邊形，要證?荀MNQP是菱形，只要證MN=NQ，由已知條件 ，MN ∥EF，故只要證GM=FQ，即證△MGE≌△QFH，易證 、 . 故只要證∠

7、MGE=∠QFH，易證∠MGE=∠GEF，∠QFH=∠EFH， ，即可得證. 參考答案 專題提升三 以特殊平行四邊形為背景的計(jì)算與證明 1. （1）C （2）∵等腰Rt△ABD中，∠BAD=90°，∴AB=AD. ∵AC為凸四邊形ABCD的和諧線，且AB=BC，∴分三種情況討論：若AD=CD，如圖1，則凸四邊形ABCD是正方形，∠ABC=90°；若AD=AC，如圖2，則AB=AC=BC，△ABC是等邊三角形，∠ABC=60°；若AC=DC，如圖3，則可求得∠ABC=150°. 2. （1）矩形ABCD是3階奇異矩形，裁剪線的示意圖如下： （2）

8、裁剪線的示意圖如下： 3. （1）證明：由題意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF． ∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°，∴∠EAF=90°． 又∵AD⊥BC，∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°． ∴四邊形AEGF是矩形，又∵AE=AD，AF=AD，∴AE=AF． ∴矩形AEGF是正方形． （2）設(shè)AD=x，則AE=EG=GF=x． ∵BD=2，DC=3，∴BE=2，CF=3，∴BG=x-2，CG=x-3，在Rt△BGC中，BG2+CG2=BC2，∴（x-2）2+（x-3）2=52． 化簡(jiǎn)得，x2-5x-6=0，解得x1=6，x2=-1（

9、舍去），所以AD=x=6． 4. （1）∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∵M(jìn)N∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，同理，OC=OF，∴OE=OF； （2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)處時(shí)，四邊形AECF是矩形． 如圖AO=CO，EO=FO，∴四邊形AECF為平行四邊形，設(shè)△ABC的外角為∠ACG，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠ACB，同理，∠ACF=∠ACG，∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=（∠ACB+∠ACG）=×180°=90°，∴四邊形AECF是矩形； （3）△ABC是直角三角形，∵四邊形AECF是正方形，∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，∵M(jìn)N

10、∥BC，∴∠BCA=∠AOM，∴∠BCA=90°，∴△ABC是直角三角形． 5. （1）不是，此時(shí)∠FAD＝180°，四邊形ADEF將變成一線段； （2）當(dāng)△ABC滿足AB＝AC且∠BAC≠60°時(shí)，四邊形ADEF是菱形，理由略； （3）當(dāng)△ABC滿足∠BAC＝150°時(shí)，四邊形ADEF是矩形，理由略； （4）當(dāng)△ABC滿足AB＝AC且∠BAC＝150°時(shí)，四邊形ADEF是正方形，理由略. 6. BE=GD，BE⊥DG，延長(zhǎng)GD交BE于點(diǎn)H，先證△BCE≌△DCG，得BE=DG，∠CDG=∠EBC. ∵∠CDG+∠CGD=90°，∴∠CGD+∠EBC=90°，∴∠GHB=90°，∴B

11、E⊥GD. 7. （1）在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠ABE=∠DAF， ∵在△ABE和△DAF中，∠ABE＝∠DAF，AB＝AD，∠BAE＝∠D，∴△ABE≌△DAF（ASA），∴AF=BE； （2）MP與NQ相等． 理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF∥MP交CD于F，過(guò)點(diǎn)B作BE∥NQ交AD于E，∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形AMPF與四邊形BNQE是平行四邊形，∴AF=PM，BE=NQ，∵在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∵

12、AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠ABE=∠DAF，∵在△ABE和△DAF中，∠ABE＝∠DAF，AB＝AD，∠BAE＝∠D，∴△ABE≌△DAF（ASA），∴AF=BE，∴MP=NQ． 8. （1）證明：∵EH平分∠BEF，∴∠FEH=∠BEF，∵FH平分∠DFE，∴∠EFH=∠DFE，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE=180°，∴∠FEH+∠EFH=（∠BEF+∠DFE）=×180°=90°，∵∠FEH+∠EFH+∠EHF=180°，∴∠EHF=180°-（∠FEH+∠EFH）=180°-90°=90，同理可得：∠EGF=90°，∵EG平分∠AEF，∴∠GEF=∠AEF，∵EH平分∠BEF，∴∠FEH=∠BEF，∵點(diǎn)A、E、B在同一條直線上，∴∠AEB=180°，∴∠FEG+∠FEH=（∠AEF+∠BEF）=×180°=90°，即∠GEH=90°，∴四邊形EGFH是矩形； （2）答案不唯一：由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易證四邊形MNQP是平行四邊形，要證MNQP是菱形，只要證MN=NQ，由已知條件FG平分∠CFE，MN∥EF，故只要證GM=FQ，即證△MGE≌△QFH，易證GE=FH，∠GME=∠FQH，故只要證∠MGE=∠QFH，易證∠MGE=∠GEF，∠QFH=∠EFH，∠GEF=∠EFH，即可得證. 7