浙江省2018年中考數(shù)學復習 第一部分 考點研究 第六單元 圓 圓中的證明與計算鞏固集訓試題

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1、 第六單元　圓 圓中的證明與計算鞏固集訓 (建議答題時間：：60分鐘) 1. 如圖，⊙O的半徑為1，弦AB＝1，點P為優(yōu)弧AB上一動點，AC⊥AP交直線PB于點C，則△ABC的最大面積是(　　) A. B. C. D. 第1題圖 　　 2. 如圖，四邊形ABCD的面積為20，直線AB，BC，CD，DA都與⊙O相切，AB＝4，CD＝6，則⊙O的半徑為(　　) 第2題圖 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，以OB為直徑畫⊙M，過點D作⊙M的切線，切點為N，分別交AC、BC于點E、F，已知A

2、E＝5，CE＝3，則DF的長是(　　) A. 3 B. 4 C. 4.8 D. 5 第3題圖 4. 如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD為⊙O直徑，AD＝6，則DC＝________． 第4題圖 5. 如圖，已知半圓O的直徑AB＝4，沿它的一條弦EF折疊，若折疊后的圓弧與直徑AB相切，則折痕EF的最小值為________，最大值為________． 第5題圖 6. (2018原創(chuàng))如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，點D是射線BA上的動點，過點D作DE⊥AB交射線BC于點E，以DE為直徑作⊙O，當點D從點B向射

3、線BA方向運動時，⊙O恰好與直線AC相切，則此時⊙O的半徑為________________． 第6題圖 7. (2017德州)如圖，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D為BC的中點．以AC為直徑的⊙O交AB于點E. (1)求證：DE是⊙O的切線； (2)若AE∶EB＝1∶2，BC＝6，求AE的長． 第7題圖 8. (2017郴州)如圖，AB是⊙O的弦，BC切⊙O于點B，AD⊥BC，垂足為D，OA是⊙O的半徑，且OA＝3. (1)求證：AB平分∠OAD; (2)若點E是優(yōu)弧上一點，且∠AEB＝60°，求扇形OAB的面積．(計算結(jié)果保留π) 第8題圖 9. (20

4、17黔東南州)如圖，已知直線PT與⊙O相切于點T，直線PO與⊙O相交于A，B兩點． (1)求證：PT2＝PA·PB； (2)若PT＝TB＝，求圖中陰影部分的面積． 　　　　第9題圖 10. (2017柳州)如圖，已知AO為Rt△ABC的角平分線，∠ACB＝90°，＝，以O為圓心，OC為半徑的圓分別交AO，BC于點D，E，連接ED并延長交AC于點F. (1)求證：AB是⊙O的切線； (2)求tan∠CAO的值； (3)求的值． 第10題圖 11. (人教九上124頁13題改編)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC＝10，直徑AD交BC于M，BE平分∠ABC且交AD于E，

5、DF∥BC且交AC的延長線于F. (1)求證：DF是⊙O的切線； (2)求證：BD＝DE； (3)若EM＝3，tan∠EBD＝2，求CF的長． 第11題圖 答案 1. D　【解析】連接OA、OB，如解圖①，∵OA＝OB＝1，AB＝1，∴△OAB為等邊三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠APB＝∠AOB＝30°，∵AC⊥AP，∴∠C＝60°，∵AB＝1，要使△ABC的面積最大，則點C到AB的距離最大，∵∠ACB＝60°，∴點C在⊙D上，且∠ADB＝120°，如解圖②，當點C為優(yōu)弧AB的中點時，即點C到AB的距離最大，此時△ABC為等邊三角形，且面積為AB2＝，∴△ABC的最大面積為.

6、 圖① 圖② 第1題解圖 2. C　【解析】如解圖，設⊙O與AB、BC、CD、DA分別相切于E、F、G、H，連接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，OH，設半徑為r，由題意可得AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，∴AD＋BC＝AH＋DH＋BF＋CF＝(AH＋BF)＋(DH＋CF)＝AB＋CD＝10，∴S四邊形ABCD＝S△AOB＋S△OBC＋S△CDO＋S△ADO＝(AB＋BC＋CD＋AD)r＝20，即×20r＝20，∴r＝2. 第2題解圖 3. C　【解析】如解圖，延長EF，過點B作直線BP平行于AC和EF相交于點P，∵AE＝5，EC＝3，∴AC＝

7、AE＋CE＝8，∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝AC＝4，AC⊥BD，∴OE＝OC－CE＝4－3＝1，∵以OB為直徑畫⊙M，∴AC是⊙M的切線，∵DN也是⊙M的切線，∴EN＝OE＝1，MN⊥DN，∴∠DNM＝∠DOE＝90°，∵∠MDN＝∠EDO，∴△DMN∽△DEO，∴DM∶DE＝MN∶EO，∵MN＝BM＝OM＝OB，∴DM＝OD＋OM＝3MN，∴DE＝3OE＝3，∵OE∥BP，∴OD∶OB＝DE∶EP，∵OD＝OB，∴EP＝DE＝3，∴BP＝2OE＝2，∵△EFC∽△PFB，∴EF∶PF＝EC∶PB＝3∶2，∴EF∶EP＝3∶5，∴EF＝EP×＝1.8，∴DF＝DE＋EF＝3＋1.8

8、＝4.8. 第3題解圖 4. 2　【解析】∵BD為⊙O的直徑，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∵∠BAC＝120°，∴∠CAD＝120°－90°＝30°，∴∠CBD＝∠CAD＝30°，∴∠BDC＝60°∵AB＝AC，∴∠ADB＝∠ADC，∴∠ADB＝∠BDC＝×60°＝30°，∵AD＝6，∴在Rt△ABD中，BD＝4，在Rt△BCD中，DC＝BD＝×4＝2. 5. 2；2　【解析】如解圖①，當點F與點B重合時，切點為F，EF最小，則OF＝O′F＝OE＝O′E＝2，且OF⊥O′F，∴四邊形OFO′E是正方形，∴EF＝＝2；如解圖②，當EF∥AB時，切點為O，EF最大，∴O′C＝OC＝1，

9、∴CE＝，∴EF＝2. 第5題解圖 6. 或　【解析】①如解圖①，當點O在直線AC左側(cè)時，過點O作OF⊥AC于點F，再過點E作EH⊥OF于點H.在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，又∵DE⊥AB，∴∠BDE＝∠OHE＝∠ACB＝90°，而OF∥BC，∴∠EOH＝∠BED，∴∠A＝∠BED＝∠EOH，∴△BDE∽△BCA∽△EHO.設⊙O半徑為x，則OD＝OE＝x，∴＝＝＝，∴OH＝x，BE＝DE＝×2x＝x，∴HE＝x，∴HF＝CE＝4－x.當⊙O與直線AC相切時，OD＝OF，即x＝x＋4－x，解得x＝，∴此時⊙O的半徑為；②如解圖②，當點O在直線AC右側(cè)時，過點O作OG⊥AC交AC于點G

10、，再過點O作OP⊥BE于點P.設DE＝2y，同理可得PE＝y(tǒng)，BE＝DE＝×2y＝y(tǒng)，∴OG＝CP＝y(tǒng)－y－4，當⊙O與直線AC相切時，OG＝OD，即y－y－4＝y(tǒng)，解得y＝，∴此時⊙O的半徑為.綜上所述，若⊙O恰好與直線AC相切，則⊙O的半徑為或. 圖① 圖② 第6題解圖 7. (1)證明：如解圖①，連接OE，CE， 第7題解圖① ∵AC是⊙O的直徑， ∴∠AEC＝∠BEC＝90°， ∵D是BC的中點， ∴ED＝BC＝DC， ∴∠1＝∠2， ∵OE＝OC， ∴∠3＝∠4， ∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠OED＝∠ACD， ∵∠ACD＝90°， ∴∠O

11、ED＝90°，即OE⊥DE. 又∵E是⊙O上一點， ∴DE是⊙O的切線； 【一題多解】如解圖②，連接OE，CE，OD，∵AC是⊙O的直徑， 第7題解圖② ∴∠AEC＝90°， ∵D是BC的中點，∴DE＝DC， ∵OE＝OC，OD＝OD， ∴△OED≌△OCD(SSS)， ∴∠OED＝∠OCD＝90°， ∵OE為⊙O半徑， ∴DE是⊙O的切線． (2)解：由(1)知∠BEC＝90°， 在Rt△BEC和Rt△BCA中，∠B為公共角， ∴△BEC∽△BCA， ∴＝， 即BC2＝BE·BA， ∵AE∶EB＝1∶2，設AE＝x，則BE＝2x，BA＝3x. 又∵BC

12、＝6， ∴62＝2x·3x， ∴x＝，即AE＝. 8. (1)證明：如解圖，連接OB， 第8題解圖 ∵BC切⊙O于點B， ∴OB⊥BC， 又∵AD⊥BC， ∴OB∥AD， ∴∠BAD＝∠ABO， ∵OA＝OB， ∴∠BAO＝∠ABO， ∴∠BAD＝∠BAO，即AB平分∠OAD； (2)解：∵∠AEB＝60°， ∴∠AOB＝2∠AEB＝120°， 又∵OA＝3， ∴S扇形OAB＝＝3π. 9. (1)證明：如解圖，連接OT，∵AB是⊙O的直徑， 第9題解圖 ∴∠ATB＝90°， ∴∠TAB＋∠TBA＝90°， ∵OT＝OA， ∴∠OAT＝∠OT

13、A， ∵PT與⊙O相切于點T， ∴∠PTO＝90°， ∴∠PTA＋∠ATO＝90°， ∴∠PTA＝∠PBT， ∵∠TPA＝∠BPT， ∴△TPA∽△BPT， ∴＝， ∴PT2＝PA·PB； (2)解：∵PT＝，PT2＝PA·PB，∴PA·PB＝3， ∵PT＝TB， ∴∠B＝∠P， ∵∠B＝∠PTA， ∴∠P＝∠PTA， ∴PA＝AT， 設⊙O的半徑為r，則 PA(PA＋2r)＝3， 在Rt△ATB中，AT2＋BT2＝AB2，即PA2＋3＝4r2. 解得r＝1，PA＝AT＝1， ∴△ATO為等邊三角形， ∴∠AOT＝60°， ∴S扇形AOT＝＝， S△

14、AOT＝S△ATB＝×AT·TB＝， ∴S陰影＝－. 10. (1)證明：如解圖，作OG⊥AB于點G. 第10題解圖 ∵AO平分∠BAC，∠ACB＝90° ∴OC＝OG，即OG為⊙O的半徑， 又∵OG⊥AB， ∴AB是⊙O的切線； (2) 解：設AC＝4x，BC＝3x，⊙O半徑為r，則AB＝5x，由切線長定理知，AC＝AG＝4x，故 BG＝x. ∵tanB＝＝＝， ∴OG＝BG＝x， ∴tan∠CAO＝tan∠GAO＝＝； (3)解：在Rt△OCA中，AO＝＝x， ∴AD＝OA－OD＝(－1)x. 連接CD，則∠DCF＋∠ECD＝∠ECD＋∠CEF， ∴∠DC

15、F＝∠CEF， 又∵∠CEF＝∠EDO＝∠FDA， ∴∠DCF＝∠ADF， 又∵∠FAD＝∠DAC， ∴△DFA∽△CDA， ∴＝， 即＝， ∴AF＝(－1)2x， ∴＝＝ ＝. 11. (1)證明：∵AD為⊙O的直徑，∴∠ABD＝90°. ∵AB＝AC，∴＝. ∴∠ADB＝∠ABC， 又∵∠BAM＝∠BAD， ∴△ABM∽△ADB， ∴∠AMB＝∠ABD＝90°， ∴AD⊥BC， ∵DF∥BC， ∴AD⊥DF， ∵OD是⊙O的半徑， ∴DF是⊙O的切線． (2)證明：如解圖，連接CD， 第11題解圖 ∵AD是⊙O的直徑， ∴∠ABD＝∠AC

16、D＝90°， ∵AB＝AC，AD＝AD， ∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)， ∴BD＝CD， ∴＝， ∴∠BAD＝∠DBC. ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE. ∵∠BED＝∠EBA＋∠BAE，∠DBE＝∠DBC＋∠CBE， ∴∠DBE＝∠BED， ∴BD＝DE. (3)解：∵∠BED＝∠EBD， ∴tan∠BED＝tan∠EBD＝2， ∴tan∠EBM＝， 在Rt△BME中，EM＝3，tan∠EBM＝， ∴BM＝＝6. 在Rt△ABM中，AB＝10，BM＝6， 由勾股定理得：AM＝8， ∴tan∠BAM＝＝＝， ∴tan∠DBM＝＝tan∠BAD＝， ∴DM＝ ， ∵MC∥DF， ∴＝， ∴CF＝＝＝. 14