浙江省2018年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第一部分 考點(diǎn)研究 第七單元 圖形的變化 第28課時(shí) 尺規(guī)作圖（含近9年中考真題）試題

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1、 第一部分 考點(diǎn)研究 第七單元 圖形的變化 第28課時(shí) 尺規(guī)作圖 浙江近9年中考真題精選(2009～2017)),) 命題點(diǎn)1　五種基本尺規(guī)作圖 類型一　五種基本尺規(guī)作圖的作法(杭州2013.17，臺(tái)州2016.7，紹興2016.8) 1. (2017衢州7題3分)下列四種基本尺規(guī)作圖分別表示：①作一個(gè)角等于已知角；②作一個(gè)角的平分線；③作一條線段的垂直平分線；④過直線外一點(diǎn)P作已知直線的垂線，則對(duì)應(yīng)選項(xiàng)中作法錯(cuò)誤的是(　　) A. ①　　　　B. ②　　　　C. ③　　　　D. ④ 2. (2015嘉興9題4分)數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，四位同學(xué)圍繞作圖問題：“如圖，已知直線

2、l和l外一點(diǎn)P， 第2題圖 用直尺和圓規(guī)作直線PQ，使PQ⊥l于點(diǎn)Q.”分別作出了下列四個(gè)圖形，其中作法錯(cuò)誤的是(　　) 3. (2016麗水9題3分)用直尺和圓規(guī)作Rt△ABC斜邊AB上的高線CD，以下四個(gè)作圖中，作法錯(cuò)誤的是(　　) 4. (2016紹興8題4分)如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°.以點(diǎn)A為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧交AB于點(diǎn)D，分別以點(diǎn)A，D為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)E，連接AE，DE，則∠EAD的余弦值是(　　) 第4題圖 A. B. C. D. 5. (2013杭州17題6分)如圖，四邊形ABCD是矩形

3、，用直尺和圓規(guī)作出∠A的平分線與BC邊的垂直平分線的交點(diǎn)Q(不寫作法，保留作圖痕跡)．連接QD，在新圖形中，你發(fā)現(xiàn)了什么？請(qǐng)寫出一條． 第5題圖 　　 6. (2010杭州18題6分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0，8)，點(diǎn)B(6，8)． (1)只用直尺(沒有刻度)和圓規(guī)，求作一點(diǎn)P，使點(diǎn)P同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件(要求保留作圖痕跡，不必寫出作法)： ①點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離相等； ②點(diǎn)P到∠xOy的兩邊的距離相等． (2)在(1)作出點(diǎn)P后，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)． 第6題圖 類型二　五種基本尺規(guī)作圖的相關(guān)計(jì)算(紹興2考) 7. (2017紹興15題5分)以Rt

4、△ABC的銳角頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，與邊AB，AC各相交于一點(diǎn)，再分別以這兩個(gè)交點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，過兩弧的交點(diǎn)與點(diǎn)A作直線，與邊BC交于點(diǎn)D.若∠ADB＝60°，點(diǎn)D到AC的距離為2，則AB的長(zhǎng)為________． 8. (2016湖州13題4分)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8.分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于線段AB長(zhǎng)度一半的長(zhǎng)為半徑作弧，相交于點(diǎn)E，F(xiàn).過點(diǎn)E，F(xiàn)作直線EF，交AB于點(diǎn)D，連接CD，則CD的長(zhǎng)是________． 第8題圖 9. (2015麗水19題6分)如圖，已知△ABC，∠C＝90°，AC＜BC，D為BC上一點(diǎn)，且

5、到A，B兩點(diǎn)的距離相等． (1)用直尺和圓規(guī)，作出點(diǎn)D的位置(不寫作法，保留作圖痕跡)； (2)連接AD，若∠B＝37°，求∠CAD的度數(shù)． 第9題圖 10. (2012紹興18題8分)如圖，AB∥CD，以點(diǎn)A為圓心，小于AC長(zhǎng)為半徑作圓弧，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，再分別以E，F(xiàn)為圓心，大于EF長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點(diǎn)P，作射線AP，交CD于點(diǎn)M. (1)若∠ACD＝114°，求∠MAB的度數(shù)； (2)若CN⊥AM，垂足為N，求證：△ACN≌△MCN. 第10題圖 命題點(diǎn)2　三角形的作法及計(jì)算(杭州3考，紹興2考) 11. (2015衢州7題3分)數(shù)學(xué)課上

6、，老師讓學(xué)生尺規(guī)作圖畫Rt△ABC，使其斜邊AB＝c，一條直角邊BC＝a，小明的作法如圖所示，你認(rèn)為這種作法中判斷∠ACB是直角的依據(jù)是(　　) A. 勾股定理 B. 直徑所對(duì)的圓周角是直角 C. 勾股定理的逆定理 D. 90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑 第11題圖 12. (2012紹興7題4分)如圖，AD為⊙O的直徑，作⊙O的內(nèi)接正三角形ABC，甲、乙兩人的作法分別如下： 第12題圖 甲：1.作OD的中垂線，交⊙O于B，C兩點(diǎn)； 2．連接AB，AC.△ABC即為所求作的三角形． 乙：1.以D為圓心，OD長(zhǎng)為半徑作圓弧，交⊙O于B，C兩點(diǎn)； 2．連接AB，BC，CA

7、，△ABC即為所求作的三角形． 對(duì)于甲、乙兩人的作法，可判斷(　　) A. 甲、乙均正確　　　　　B. 甲、乙均錯(cuò)誤 C. 甲正確，乙錯(cuò)誤　　　　D. 甲錯(cuò)誤，乙正確 13. (2014紹興14題5分)用直尺和圓規(guī)作△ABC，使BC＝a，AC＝b，∠B＝35°，若這樣的三角形只能作一個(gè)，則a，b間滿足的關(guān)系式是________． 14. (2009杭州20題8分)如圖，已知線段a. (1)只用直尺(沒有刻度的尺)和圓規(guī)，求作一個(gè)直角三角形ABC，以AB和BC分別為兩條直角邊，使AB＝a，BC＝a(要求保留作圖痕跡，不必寫出作法)； (2)若在(1)作出的Rt△ABC中，AB＝4

8、cm，求AC邊上的高． 第14題圖 15. (2012杭州19題8分)如圖是數(shù)軸的一部分，其單位長(zhǎng)度為a，已知△ABC中，AB＝3a，BC＝4a，AC＝5a. (1)用直尺和圓規(guī)作出△ABC(要求：使點(diǎn)A，C在數(shù)軸上，保留作圖痕跡，不必寫出作法)； (2)記△ABC的外接圓的面積為S圓，△ABC的面積為S△，試說明＞π. 第15題圖 16. (2015杭州21題10分)“綜合與實(shí)踐”學(xué)習(xí)活動(dòng)準(zhǔn)備制作一組三角形，記這些三角形的三邊分別為a，b，c，并且這些三角形三邊的長(zhǎng)度為大于1且小于5的整數(shù)個(gè)單位長(zhǎng)度． (1)用記號(hào)(a，b，c)(a≤b≤c)表示一個(gè)滿足條件的三角形，如

9、(2，3，3)表示邊長(zhǎng)分別為2，3，3個(gè)單位長(zhǎng)度的一個(gè)三角形，請(qǐng)列舉出所有滿足條件的三角形； (2)用直尺和圓規(guī)作出三邊滿足a＜b＜c的三角形(用給定的單位長(zhǎng)度，不寫作法，保留作圖痕跡)． 第16題圖 17. (2014杭州20題10分)把一條12個(gè)單位長(zhǎng)度的線段分成三條線段，其中一條線段長(zhǎng)為4個(gè)單位長(zhǎng)度，另兩條線段長(zhǎng)都是單位長(zhǎng)度的整數(shù)倍． (1)不同分法得到的三條線段能組成多少個(gè)不全等的三角形？用直尺和圓規(guī)作出這些三角形(用給定的單位長(zhǎng)度，不寫作法，保留作圖痕跡)； (2)求出(1)中所作三角形外接圓的周長(zhǎng)． 第17題圖 命題點(diǎn)3　其他尺規(guī)作圖的作法及相關(guān)計(jì)算(紹興20

10、13.9) 18. (2013紹興9題4分)小敏在作⊙O的內(nèi)接正五邊形時(shí)，先做了如下幾個(gè)步驟： (1)作⊙O的兩條互相垂直的直徑，再作OA的垂直平分線交OA于點(diǎn)M，如圖①； (2)以點(diǎn)M為圓心，BM長(zhǎng)為半徑作圓弧，交CA于點(diǎn)D，連接BD，如圖②. 若⊙O的半徑為1，則由以上作圖得到的關(guān)于正五邊形邊長(zhǎng)BD的等式正確的是(　　) 第18題圖 A. BD2＝OD B. BD2＝OD C. BD2＝OD D. BD2＝OD 19. (2017嘉興19題6分)如圖，已知△ABC，∠B＝40°. (1)在圖中，用尺規(guī)作出△ABC的內(nèi)切圓O，并標(biāo)出⊙O與邊AB，BC，AC的切點(diǎn)D，

11、E，F(xiàn)(保留痕跡，不必寫作法)； (2)連接EF，DF，求∠EFD的度數(shù)． 第19題圖 答案 1. C　【解析】③根據(jù)其作法確定的點(diǎn)只有一個(gè)，而必須是兩點(diǎn)才能確定一條直線，因此③是錯(cuò)誤的． 2. A　3. D 4. B　【解析】如解圖所示：設(shè)BC＝x，∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，∴AC＝2BC＝2x，AB＝BC＝x，根據(jù)題意得：AD＝BC＝x，AE＝DE＝AB＝x，作EM⊥AD于M，則AM＝AD＝x，在Rt△AEM中，cos∠EAD＝＝＝. 第4題解圖 5. 解：如解圖： 第5題解圖 (4分) 【作法提示】1.以點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作

12、弧，分別交AD，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)；2.分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，以大于EF長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)G；3.作射線AG，則射線AG為∠A的平分線.4.分別以點(diǎn)B，C為圓心，以大于BC長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于N，M兩點(diǎn)；2.作直線MN交AG于點(diǎn)Q，則Q點(diǎn)為∠A的平分線與BC邊的垂直平分線的交點(diǎn)． 圖中發(fā)現(xiàn)以下結(jié)論： (1)∵M(jìn)N是BC的中垂線，矩形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC， ∴MN是AD的中垂線， ∴QA＝QD； (2)∵AQ是∠A的角平分線， ∴∠QAD＝45°， ∴△AQD是等腰直角三角形． (答案不唯一，寫出一條即可．)(6分) 6. 解：(1)如解圖，點(diǎn)P即為所求作

13、的點(diǎn)； 第6題解圖 (4分) (2)設(shè)AB的中垂線交AB于E，交x軸于F，由作圖可得，EF⊥AB，EF⊥x軸，且OF＝3， ∵OP是∠xOy的角平分線， ∴P(3，3)．(6分) 7. 2　【解析】根據(jù)題意作圖，可得一個(gè)一角為30°的特殊直角三角形，較短直角邊長(zhǎng)度為2，AB為較長(zhǎng)直角邊，所以AB＝2. 8. 5　【解析】由作圖可得EF垂直平分AB，∴點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∵∠ACB＝90°，∴CD為斜邊AB的中線，∴CD＝AB.∵BC＝6，AC＝8，∴AB＝＝＝10，∴CD＝5. 9. 解：(1)點(diǎn)D的位置如解圖所示，D為線段AB的垂直平分線與BC的交點(diǎn)；(2分) 第9

14、題解圖 (2)∵在Rt△ABC中，∠B＝37°， ∴∠CAB＝53°.(3分) 由(1)知AD＝BD， ∴∠BAD＝∠B＝37°，(4分) ∴∠CAD＝∠CAB－∠BAD＝53°－37°＝16°.(6分) 10. (1)解：∵AB∥CD， ∴∠ACD＋∠CAB＝180°， ∵∠ACD＝114°， ∴∠CAB＝66°. 由作法知，AM是∠CAB的平分線， ∴∠MAB＝∠CAB＝33°.(4分) (2)證明：由作法知，AM平分∠CAB， ∴∠CAM＝∠MAB. ∵AB∥CD， ∴∠MAB＝∠CMA， ∴∠CAM＝∠CMA， 又∵CN⊥AM，CN＝CN， ∴△

15、ACN≌△MCN.(8分) 11. B　【解析】從圖中可以看出∠ACB是直徑AB所對(duì)的圓周角，是直角． 12. A　【解析】根據(jù)甲的思路，作圖如解圖①，連接OB，∵BC垂直平分OD，∴E為OD的中點(diǎn)，且OD⊥BC，∴OE＝DE＝DO，又∵OB＝OD，在Rt△OBE中，OE＝OB，∴∠OBE＝30°，又∵∠OEB＝90°，∴∠BOE＝60°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，又∵∠BOE為△AOB的外角，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBE＝60°，同理∠C＝60°，∴∠BAC＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝∠C，∴△ABC為等邊三角形，故甲作法正確；根據(jù)乙的思路作

16、圖如解圖②，連接OB，DB，∵OD＝BD，OD＝OB，∴OD＝BD＝OB，∴△BOD為等邊三角形，∴∠OBD＝∠BOD＝60°，又BC垂直平分OD，∴OM＝DM，∴BM為∠OBD的平分線，∴∠OBM＝∠DBM＝30°，又∵OA＝OB，且∠BOD為△AOB的外角，∴∠BAO＝∠ABO＝30°，∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBM＝60°，同理∠ACB＝60°，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC，∴△ABC為等邊三角形，故乙作法正確，故選A. 第12題解圖 13. sin35°＝或b≥a　【解析】如解圖所示，先畫BC＝a，再以B為頂點(diǎn)，作∠ABC＝35°，然后再以C為圓心，b為半徑畫弧交AB于點(diǎn)A，

17、然后連接AC即可．若這樣的三角形只能作一個(gè)，則a，b間滿足的關(guān)系式是：①當(dāng)AC⊥AB時(shí)，即sin35°＝；②滿足b≥a. 第13題解圖 14. 解：(1)作圖如解圖，△ABC即為所求的直角三角形；(4分) 第14題解圖 (2)由勾股定理得，AC＝2 cm， 設(shè)斜邊AC上的高為h， △ABC面積等于×4×2＝×2×h，(6分) 所以h＝.(8分) 15. 解：(1)如解圖①所示； 第15題解圖① (4分) (2)如解圖②所示，∵△ABC的外接圓的面積為S圓， 第15題解圖② ∴S圓＝π×()2＝π，(6分) △ABC的面積S△＝×3a×4a＝6a2

18、，(7分) ∴＝＝π＞π.(8分) 16. (1)解：∵三邊的長(zhǎng)度都是大于1且小于5的整數(shù)個(gè)單位長(zhǎng)度，且任意三角形都滿足兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊， ∴滿足條件的三角形有(2，2，2)、(2，2，3)、(2，3，3)、(2，3，4)、(2，4，4)、(3，3，3)、(3，3，4)、(3，4，4)、(4，4，4)．(6分) (2)解：∵a＜b＜c， ∴(2，3，4)符合題意，(8分) 作圖如解圖，△ABC即為所求三角形． 第16題解圖 (10分) 17. 解：(1)作圖如解圖①， 第17題解圖① (6分) 【解法提示】①分12個(gè)單位長(zhǎng)度的線段，已知

19、一條線段的長(zhǎng)度為4個(gè)單位長(zhǎng)度，則另兩條線段和為8個(gè)單位長(zhǎng)度，又由于所分線段的長(zhǎng)度為已知單位長(zhǎng)度的整數(shù)倍，故采用一般列舉法：(1，7)、(2，6)、(3，5)、(4，4)、(5，3)、(6，2)、(7，1)，由于所分線段要構(gòu)成三角形，則需要滿足兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，故可選的只能為(3，5)、(4，4)、(5，3)，由于不全等，即可構(gòu)成的三角形可能選擇(3，5)、(4，4)兩種情況；②利用已知三邊作三角形，可先作一條已知線段為邊，再分別用另兩條線段為半徑，已知線段兩端點(diǎn)為圓心畫弧，兩弧交點(diǎn)為第三個(gè)頂點(diǎn)，分別連線即可． (2)當(dāng)三角形三邊長(zhǎng)為3，4，5時(shí)，由勾股定理逆定理可知，三

20、角形為直角三角形，則外接圓的直徑為5，則周長(zhǎng)為：C＝2πr＝2π×＝5π；(8分) 當(dāng)三角形三邊長(zhǎng)為4，4，4，則三角形為等邊三角形，如解圖②，令A(yù)B為一邊，O為外接圓圓心，作OH⊥AB于點(diǎn)H，連接OA，OB，則OA，OB為三角形外接圓半徑，且∠AOB＝＝120°，∠AOH＝60°，AH＝2，sin∠AOH＝，即＝，∴OA＝， ∴C＝2πr＝2π×＝π.(10分) 第17題解圖② 18. C　【解析】如解圖，連接BM， 第18題解圖 根據(jù)題意得：OB＝OA＝1，AD⊥OB，BM＝DM，∵OA的垂直平分線交OA于點(diǎn)M，∴OM＝AM＝OA＝，∴BM＝＝，∴DM＝，∴OD＝DM－OM＝－＝，∴BD2＝OD2＋OB2＝＝＝OD. 19. 解：(1)如解圖，⊙O即為所求； 第19題解圖 (3分) (2)連接OD，則OD⊥AB，OE⊥BC， ∴∠ODB＝∠OEB＝90°， 又∵∠B＝40°， ∴∠DOE＝140°， ∴∠EFD＝70°.(6分) 15