浙江省2018年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第一部分 考點(diǎn)研究 第四單元 三角形 第19課時 直角三角形與勾股定理試題

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1、 第四單元　三角形 第19課時　直角三角形與勾股定理 (建議答題時間：50分鐘) 基礎(chǔ)過關(guān) 1. (2017長沙)一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比為1∶2∶3，則這個三角形一定是(　　) A. 銳角三角形 B. 直角三角形 C. 鈍角三角形 D. 等腰直角三角形 2. 在直角三角形中，直角邊為a，b，且滿足a2＋b2＝2ab，則此三角形的三邊之比為(　　) A. 3∶4∶5 B. 1∶2∶1 C. 1∶1∶ D. 1∶1∶1 3. (2017大連)如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，CD＝DE＝a，則AB的長為(　　) A

2、. 2a B. 2a C. 3a D. a 第3題圖 4. (2017婁底)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是A(3，0)，B(0，4)，把線段AB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后得到線段AB′，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′落在x軸的正半軸上，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)是(　　) 　　第4題圖 A. (5，0) B. (8，0) C. (0，5) D. (0，8) 5. (2017宿遷)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝2 cm, 點(diǎn)P在邊AC上，從點(diǎn)A向點(diǎn)C移動，點(diǎn)Q在邊CB上，從點(diǎn)C向點(diǎn)B移動，若點(diǎn)P、Q均以1 cm/s的速度同時出發(fā)，且當(dāng)一點(diǎn)移動到終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨

3、之停止，連接PQ，則線段PQ的最小值是(　　) A. 20 cm B. 18 cm C. 2 cm D. 3 cm 第5題圖 6. (2017濱州)如圖，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，點(diǎn)D是CB延長線上的一點(diǎn)，且BD＝BA，則tan∠DAC的值為(　　) 第6題圖 A. 2＋ B. 2 C. 3＋ D. 3 7. 如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，AB的垂直平分線分別交AB與AC于點(diǎn)D和點(diǎn)E. 第7題圖 若CE＝2，則AB的長是(　　) A. 4　　　B. 4 C. 8　　　D. 8 8. (2017淮安)如圖，

4、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，若AB＝8，則EF＝________． 第8題圖　　　 9. (2017婁底)如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AB，CB上的動點(diǎn)，且∠EDF＝90°，若ED的長為m，則△BEF的周長是________(用含m的代數(shù)式表示)． 第9題圖 10. 甲、乙兩位探險者今年到沙漠進(jìn)行探險，沒有了水，需要尋找水源，為了不至于走散，他們用兩部對話機(jī)聯(lián)系，已知對話機(jī)的有效距離為12千米，早晨8∶00甲先出發(fā)，他以4千米/時的速度向東行走，一小時

5、后乙出發(fā)，他以6千米/時的速度向北行進(jìn)，上午10∶00，甲、乙二人相距多遠(yuǎn)？還能保持聯(lián)系嗎？ 第10題圖 滿分沖關(guān) 1. 如圖①是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的，若AC＝6，BC＝5，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖②所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個風(fēng)車的外圍周長是(　　) A. 52 B. 42 C. 76 D. 72 第1題圖 2. (2017陜西)如圖，將兩個大小、形狀完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中點(diǎn)A′與點(diǎn)A重合，點(diǎn)C′落在邊AB上，連接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，

6、AC＝BC＝3，則B′C的長為(　　) 第2題圖 A. 3 B. 6 C. 3 D. 3. (2016哈爾濱)在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，點(diǎn)P為邊BC的三等分點(diǎn)，連接AP，則AP的長為________． 4. 如圖，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，EC與AD交于點(diǎn)G，點(diǎn)F在BC上；若AC∶AB＝1∶，EF⊥EC，則∠ACB的度數(shù)為________度，EG∶EF＝________． 第4題圖 　　 5. 如圖，△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∠BAD和∠CAE是直角，若AB＝6，BC＝5，AC

7、＝4，則DE的長為________． 第5題圖 6. 如圖，四邊形ACDE是證明勾股定理時用到的一個圖形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED邊長，易知AE＝c，這時我們把關(guān)于x的形如ax2＋cx＋b＝0的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”． (1)求證：關(guān)于x的“勾系一元二次方程”ax2＋cx＋b＝0必有實(shí)數(shù)根； (2)若x＝－1是“勾系一元二次方程”ax2＋cx＋b＝0的一個根，且四邊形ACDE的周長是6，求△ABC的面積． 第6題圖 沖刺名校 1. 中國古代對勾股定理有深刻的認(rèn)識．(1)三國時代吳國數(shù)學(xué)家趙爽第一次對勾股定理加以證明：用四個全等的圖①所示的直

8、角三角形拼成一個圖②所示的大正方形，中間空白部分是一個小正方形．如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊分別為a，b，求(a＋b)2的值； (2)清朝的康熙皇帝對勾股定理也很有研究，他著有《積求勾股法》：用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)語言描述就是：若直角三角形的三邊長分別為3，4，5的整數(shù)倍，設(shè)其面積為S，則求其邊長的方法為：第一步＝m；第二步：＝k；第三步：分別用3，4，5乘以k，得三邊長．當(dāng)面積S等于150時，請用“積求勾股法”求出這個直角三角形的三邊長． 第1題圖 答案 基礎(chǔ)過關(guān) 1．B　【解析】∵一個三角形的三個內(nèi)角度數(shù)之比為1∶2∶3，設(shè)這三個內(nèi)角分別為x，2x

9、，3x，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°可得x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°，∴3x＝90°，則這個三角形一定是直角三角形，但不是等腰直角三角形． 2．C　【解析】∵直角邊為a，b，且滿足a2＋b2＝2ab，則(a－b)2＝0，所以a＝b，而a，b為直角三角形的兩個直角邊，則該三角形為等腰直角三角形，根據(jù)邊的關(guān)系得此三角形的三邊之比為1∶1∶. 3．B　【解析】在Rt△CDE中，CD＝DE＝a，∴CE＝＝＝a.∵點(diǎn)E為Rt△ACB斜邊AB的中點(diǎn)，∴CE＝AE＝BE＝AB，∴AB＝2CE＝2a. 4．B　【解析】易得AB＝＝5.把線段AB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后得到線段AB′，使得點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′落

10、在x軸的正半軸上，則AB′＝AB＝5，所以點(diǎn)B′到原點(diǎn)的距離是3＋5＝8，所以點(diǎn)B′的坐標(biāo)是(8，0)． 5．C　【解析】設(shè)x秒后，PQ值的最小，則有PQ2＝PC2＋QC2＝(6－x)2＋x2＝36－12x＋2x2＝2(x－3)2＋18，因?yàn)?

11、＝60°，∴∠A＝30°，∵DE是線段AB的垂直平分線，∴EA＝EB，ED⊥AB，∴∠A＝∠EBA＝30°，∴∠EBC＝∠ABC－∠EBA＝30°，又∵BC⊥AC，ED⊥AB，∴DE＝CE＝2.在Rt△ADE中，DE＝2，∠A＝30°，∴AE＝2DE＝4，∴AD＝＝2，∴AB＝2AD＝4. 8．2　【解析】在Rt△ABC中，∵AD＝BD＝4，∴CD＝AB＝4，∵AF＝DF，AE＝EC，∴EF＝CD＝2. 9．2＋ m　【解析】如解圖，連接BD，∵∠C＝∠EBD，BD＝CD，∠CDF＝∠BDE，易證△BED≌△CFD，∴BE＝CF，DE＝DF，則BE＋BF＋EF＝BC＋EF＝2＋EF，而Rt

12、△DEF中，DE＝DF＝m，∴EF＝ m，則△BEF的周長＝2＋ m. 第9題解圖 10．解：∵早晨8∶00甲先出發(fā)，他以4千米/時的速度向東行走，1小時后乙出發(fā)，他以6千米/時的速度向北行進(jìn)， ∴上午10∶00時，OA＝8(千米)，OB＝6(千米)， ∴AB＝＝10<12， ∴甲、乙二人相距10千米，還能保持聯(lián)系． 滿分沖關(guān) 1．C　【解析】設(shè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車”中的四個直角三角形的斜邊長為x，則x2＝122＋52＝169，解得x＝13.故“數(shù)學(xué)風(fēng)車”的周長是(13＋6)×4＝76. 2. A　【解析】∵∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，∴AB＝＝3，∠CAB＝45

13、°，∵△ABC和△A′B′C′大小、形狀完全相同，∴∠C′AB′＝∠CAB＝45°，AB′＝AB＝3，∴∠CAB′＝90°，∴B′C＝＝3. 3.或　【解析】①如解圖①，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，∵PB＝BC＝1，∴CP＝2，∴AP＝＝；②如解圖②，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，∵PC＝BC＝1，∴AP＝＝.綜上所述，AP的長為 或. 第3題解圖 4．60°，∶1　【解析】如解圖，作EP⊥AD于點(diǎn)P，EQ⊥BC于點(diǎn)Q，又∵AD⊥BC，∴四邊形DPEQ是矩形，∴∠PEQ＝90°，∴∠PEG＋∠QEG＝90°，又∵∠QEG＋QEF＝90°，∴∠PEG＝∠QEF，又∵∠EP

14、G＝∠EQF＝90°， ∴△PEG∽△QEF，∴＝.∵AC∶AB＝1∶，∴∠B＝30°，∠ACB＝60°，在Rt△ABD中，tanB＝＝.∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE＝AB，又∵QE∥AD，PE∥BD，∴PE＝BD，QE＝AD，∴＝＝＝. 第4題解圖 5. 　【解析】如解圖，連接BE，交CD于F.∵AD＝AB，AC＝AE，∠DAC＝∠BAE＝90°＋∠BAC，∴△ADC≌△ABE，∵∠ADC＋∠FDB＋∠ABD＝90°，∴∠FDB＋∠ABD＋∠ABE＝90°，則∠DBF＋∠BDF＝90°，則∠BFD＝90°，根據(jù)勾股定理得：DF2＝BD2－BF2，EF2＝CE－CF2，BF2＋C

15、F2＝BC2，根據(jù)已知條件和勾股定理得BD＝6，CE＝4，∴DE2＝DF2＋EF2＝BD2－BF2＋CE2－CF2＝BD2＋CE2－(BF2＋CF2)＝BD2＋CE2－BC2＝72＋32－25＝79，∴DE＝. 第5題解圖 6．(1)證明：由題意，得 b2－4ac＝(c)2－4ab＝2c2－4ab， ∵a2＋b2＝c2， ∴2c2－4ab＝2(a2＋b2)－4ab＝2(a－b)2≥0， 即b2－4ac≥0， ∴關(guān)于x的“勾系一元二次方程”ax2＋cx＋b＝0必有實(shí)數(shù)根； (2)當(dāng)x＝－1時，有a－c＋b＝0， 即a＋b＝c， ∵2a＋2b＋c＝6， 即2(a＋b)＋c＝6， ∴3c＝6， ∴c＝2， ∴a2＋b2＝c2＝4，a＋b＝2， ∵(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， ∴ab＝2， ∴S△ABC＝ab＝1. 沖刺名校 1．(1)解：根據(jù)勾股定理可得a2＋b2＝13，四個直角三角形的面積是ab×4＝13－1＝12，即2ab＝12 則(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝13＋12＝25，即(a＋b)2＝25; (2)當(dāng)S＝150時，k＝＝＝＝＝5，所以三邊長分別為：3×5＝15，4×5＝20，5×5＝25，所以這個直角三角形的三邊長為15，20，25. 10