2020年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)考點及題型 專題14 反比例函數(shù)(含解析)
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1、專題14 反比例函數(shù) 單元總結(jié) 【思維導(dǎo)圖】 【知識要點】 知識點一 反比例函數(shù)的基礎(chǔ) 反比例函數(shù)的概念:一般地,形如y=kx(k為常數(shù),k≠o)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)。 表現(xiàn)形式:y=kx還可以寫成y=kx-1 和 xy= k 的形式 【注意】反比例函數(shù)y=kx的自變量x≠0,故函數(shù)圖象與x軸、y軸無交點。 1.(2018·湖北襄陽七中初三月考)下列函數(shù)中,是反比例函數(shù)的是( ) A.y=kx B.3x+2y=0 C.xy-2=0 D.y=2x+1 【詳解】 解:A、k≠0時,y=kx是反比例函數(shù),故此選項錯誤; B、3x+2y=0,可變形為y=-32x,是正比
2、例函數(shù),不是反比例函數(shù),故此選項錯誤; C、xy-2=0可變形為y=2x是反比例函數(shù),故此選項正確; D、y=2x-1分母是x-1,不是反比例函數(shù),故此選項錯誤. 故選:C. 2.(2019·深圳市福田區(qū)外國語學(xué)校初三期中)下列函數(shù)是反比例函數(shù)的是( ) A.y=kx B. C.y=2x-1 D.y=-x+5 【詳解】 A選項中,當(dāng)k=0時不是反比例函數(shù),故該選項錯誤. B選項中,是正比例函數(shù),故該選項錯誤. C選項中,y=2x-1是反比例函數(shù),故該選項正確. D選項中,y=-x+5是一次函數(shù),故該選項錯誤. 故選C 反比例函數(shù)解析式的特征: 1.等號左邊是函
3、數(shù)y,等號右邊是一個分式。分子是不為零的常數(shù)k(也叫做比例系數(shù)k),分母中含有自變量x,且指數(shù)為1. 2.比例系數(shù)k≠0 3.自變量x的取值為一切非零實數(shù)。 4.函數(shù)y的取值是一切非零實數(shù)。 考查題型一 根據(jù)反比例函數(shù)概念求參數(shù)值的方法 1.(2019·黑龍江八五八農(nóng)場學(xué)校初二期末)函數(shù)的圖象y=(m+1)xm2-2是雙曲線,則m的值是( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【詳解】 解:∵函數(shù)y=(m+1)xm2-2的圖象是雙曲線, ∴&m+1≠0&m2-2=-1,解得m=1. 故選:C. 2.(2019·萊蕪市寨里鎮(zhèn)寨里中學(xué)初三期中)若函數(shù)𝑦=(
4、m+1)x|m|﹣2是反比例函數(shù),則𝑚=( ?。? A.±1 B.±3 C.﹣1 D.1 【詳解】 ∵函數(shù)𝑦=(m+1)x|m|﹣2是反比例函數(shù),∴|m|﹣2=﹣1,解得:m=±1. ∵m+1≠0,∴m≠-1,∴m=1. 故選D. 待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟(考點): 1) 設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=kx(k為常數(shù),k≠0) 2) 把已知的一對x,y的值帶入解析式,得到一個關(guān)于待定系數(shù)k的方程。 3) 解方程求出k值 4) 將k值代入所設(shè)解析式中。 考查題型二 待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式 1.(2019·明光市魯山中學(xué)初三月考
5、)函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點2,3,那么k等于( ) A.6 B.16 C.23 D.32 【詳解】 ∵函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點(2,3), ∴點(2,3)滿足y=kx, ∴3=k2, 解得,k=6. 故選A. 2.(2019·蕪湖市期中)下列各點中,在函數(shù)y=-6x圖象上的是( ?。? A. B.2,3 C.-1,6 D.-12,3 【詳解】 A.∵(-2)×(-4)=8≠-6,∴此點不在反比例函數(shù)的圖象上,故本選項錯誤; B.∵2×3=6≠-6,∴此點不在反比例函數(shù)的圖象上,故本選項錯誤; C.∵(-1)×6=-6,∴此點在反比例函數(shù)的圖象上,故本選項正確; D
6、.∵-12×3=-32≠-6,∴此點不在反比例函數(shù)的圖象上,故本選項錯誤. 故選C. 3.(2019·江蘇初三月考)反比例函數(shù)y=kx圖象經(jīng)過A(1,2),B(n,﹣2)兩點,則n=( ) A.1 B.3 C.﹣1 D.﹣3 【詳解】 解:∵反比例函數(shù)y=kx 圖象經(jīng)過A(1,2),B(n,﹣2)兩點, ∴k=1×2=﹣2n. 解得n=﹣1. 故選:C. 4.(2019·黑龍江中考模擬)若反比例函數(shù)y=k+3x的圖像經(jīng)過點3,-2,則k的值為( ) A.-9 B.3 C.-6 D.9 【詳解】 把點3,-2代入y=k+3x,可得-2=k+33,解得:k=-9. 故
7、選:A 知識點二 反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)(基礎(chǔ)) 圖像的畫法:描點法 1.列表(應(yīng)以O(shè)為中心,沿O的兩邊分別取三對或以上互為相反的數(shù)) 2.描點(由小到大的順序) 3.連線(從左到右光滑的曲線) 圖像的特征: 1.函數(shù)的圖像是雙曲線. 2.圖像的對稱性: 圖象關(guān)于原點對稱,即若(a,b)在雙曲線的一支上,則(,)在雙曲線的另一支上. 圖象關(guān)于直線y = x或y= -x對稱,即若(a,b)在雙曲線的一支上,則(,)和(,)在雙曲線的另一支上. 3.k的取值與函數(shù)圖象弧度之間的關(guān)系: |k|越大,圖象的彎曲度越小,曲線越平直.|k|越小,圖象的彎曲度越大. 反比例函數(shù)的性
8、質(zhì): k的取值 圖像所在象限 函數(shù)的增減性 k>0 一、三象限 在每個象限內(nèi),y值隨x的增大而減小 k>0 二、四象限 在每個象限內(nèi),y值隨x的增大而增大 【注意】雙曲線的兩個分支是斷開的,研究反比例函數(shù)的增減性時,要將兩個分支分別討論,不能一概而論 考查題型三 反比例函數(shù)圖形特征與性質(zhì) 1.(2018·安岳縣期中)反比例函數(shù)y=-k2x(k為常數(shù),k≠0)的圖象位于( ) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 【解析】 ∵k≠0,∴k2>0,∴﹣k2<0,∴反比例函數(shù)y=-k2x(k為常數(shù),k≠0)的圖象位于第二、四象限.
9、故選C. 2.(2018·深圳市龍崗區(qū)百合外國語學(xué)校初三期中)已知反比例函數(shù),下列結(jié)論正確的是( ) A.y值隨著x值的增大而減小 B.圖象是雙曲線,是中心對稱圖形 C.當(dāng) x>1時,0< y<1 D.圖象可能與坐標(biāo)軸相交 【詳解】 A、因為反比例函數(shù)的圖象在二、四象限內(nèi),所以在每個象限內(nèi),y隨x的增大而增大,故本選項錯誤; B、反比例函數(shù)的圖象是雙曲線,是中心對稱圖形,故本選項正確; C、當(dāng) x>1時,y<0,故本選項錯誤; D、因為x、y都不等于0,所以圖象不可能與坐標(biāo)軸相交,故本選項錯誤. 故選:B. 3.(2015·浙江中考真題)若反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)
10、過點(2,-1),則該反比例函數(shù)的圖象在( ) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限 【解析】 反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點(2,-1),求出k=-2, 當(dāng)k> 0時反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限, 當(dāng)k<0時反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限, 因為-2〈0,D正確. 故選D 4.(2019·秀嶼區(qū)期末)當(dāng)k>0,x<0時,反比例函數(shù)y=kx的圖象在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【詳解】 根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì),k>0時,圖象在第一三象限, 又因為x<0,所以圖象在第三象限. 故選:C.
11、5.(2019·太原市期末)已知反比例函數(shù)y=-8x,下列結(jié)論中不正確的是( )
A.其圖像分別位于第二、四象限
B.其圖像關(guān)于原點對稱
C.其圖像經(jīng)過點(2,-4)
D.若點都在圖像上,且,則y1 12、,在同一象限時則y1 13、1 C.y3>y2>y1 D.y3>y1>y2
【詳解】
∵2k2+3?0,
∴反比例函數(shù)y=2k2+3x的圖象在一、三象限,在每一象限內(nèi),y隨x的增大而減小,
∴A(﹣6,y1),B(﹣2,y2)在第三象限,C(3,y3)在第一象限,
∴y2<y1<0,y3>0,
∴y3>y1>y2.
故選D.
8.(2019·蕪湖市期中)若反比例函數(shù)y=1-2kx(k為常數(shù))的圖象在第一、三象限,則k的取值范圍是( ?。?
A.k<﹣12 B.k<12 C.k>﹣12 D.k>12
【詳解】
∵反比例函數(shù)y=1-2kx(k為常數(shù))的圖象在第一、三象限,
∴1﹣2k>0,
解得k<1 14、2.
故選:B.
知識點三 k值的意義(難點)
1)設(shè)點P(a,b)是雙曲線上y=kx任意一點,作PA⊥x軸于A點,PB⊥y軸于B點,則矩形PBOA的面積是|k|(三角形PAO和三角形PBO的面積都是k2).
2)由雙曲線的對稱性可知,P關(guān)于原點的對稱點Q也在雙曲線上,作QC⊥PA的延長線于C,則有三角形PQC的面積為2|k|.
考查題型四 計算反比例函數(shù)有關(guān)圖形面積的方法
1.(2019·四平市期末)如圖,A、B是曲線y=3xx>0上的點,經(jīng)過A、B兩點向x軸、y軸作垂線段,若S陰影=1,則S1+S2的值為( ?。?
A.3 B.4 C.5 D.6
【詳解】
15、解:∵A、B是曲線y=3x上的點,經(jīng)過A、B兩點向x軸、y軸作垂線段,
∴S矩形ACOD=S矩形BEOF=3,
又∵S陰影=1,
∴S1=S2=3-1=2,
∴S1+S2=4.
故選:B.
2.(2018·南京市期中)在反比例函數(shù)y=4x的圖象中,陰影部分的面積不等于4的是( )
A. B.
C. D.
【詳解】
解:A、圖形面積為|k|=4;
B、陰影是梯形,面積為6;
C、D面積均為兩個三角形面積之和,為2×(12|k|)=4.
故選B.
3)直線y=k1x與雙曲線的關(guān)系:
當(dāng)k1?k2<0時,兩圖象沒有交點;當(dāng)k1?k2>0時,兩圖象必有兩個交點,且 16、這兩個交點關(guān)于原點成中心對稱.
考察題型五 一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合
1.(2018·射陽縣期末)關(guān)于x的函數(shù)y=kx+k和y=kx (k≠0)在同一坐標(biāo)系中的圖象大致是 ( )
A. B. C. D.
【詳解】
當(dāng)k>0時,函數(shù)y=kx+k的圖象在第一、二、三象限,反比例函數(shù)y=kx的圖象在第一、三象限,故選項A錯誤,選項D正確,
當(dāng)k<0時,函數(shù)y=kx+k的圖象在第二、三、四象限,反比例函數(shù)y=kx的圖象在第二、四象限,故選項B錯誤,選項C錯誤,
故選D.
2.(2018·自貢市期中)反比例函數(shù)y=kx和一次函數(shù)y=kx-k在同一坐標(biāo)系中的圖象大致是( 17、 )
A. B.
C. D.
【詳解】
(1)當(dāng)k>0時,一次函數(shù)y=kx-k?經(jīng)過一、三、四象限,反比例函數(shù)經(jīng)過一、三象限,如圖所示:
(2)當(dāng)k<0時,一次函數(shù)y=kx-k經(jīng)過一、二、四象限,反比例函數(shù)經(jīng)過二、四象限.如圖所示:
故選C.
3.(2018邵陽市中考模擬)在同一直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=kx(k≠0)與y=kx+k(k≠0)的圖象大致是( ??)
A. B.
C. D.
【詳解】
A、由反比例函數(shù)的圖像可知k>0,這時一次函數(shù)的圖像是與y軸交于正半軸,y隨x增大而增大,故不正確;
B、由反比例函數(shù)的圖像可知k<0,這時一次函數(shù)的圖像是與y軸交 18、于負(fù)半軸,y隨x增大而減小,故不正確;
C、由反比例函數(shù)的圖像可知k>0,這時一次函數(shù)的圖像是與y軸交于正半軸,y隨x增大而增大,故正確;
D、由反比例函數(shù)的圖像可知k<0,這時一次函數(shù)的圖像是與y軸交于負(fù)半軸,y隨x增大而減小,故不正確.
故選:C.
4.(2018·湖北中考模擬)如圖,已知A(﹣4,n),B(2,﹣4)是一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=mx 的圖象的兩個交點.
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)求直線AB與x軸的交點C的坐標(biāo)及△AOB的面積;
(3)求方程kx+b-mx?0的解集(請直接寫出答案).
【詳解】
(1)∵B(2,﹣4 19、)在y=mx上,
∴m=﹣8.
∴反比例函數(shù)的解析式為y=﹣8x.
∵點A(﹣4,n)在y=﹣8x上,
∴n=2.
∴A(﹣4,2).
∵y=kx+b經(jīng)過A(﹣4,2),B(2,﹣4),
∴-4k+b=22k+b=-4,
解之得k=-1b=-2.
∴一次函數(shù)的解析式為y=﹣x﹣2.
(2)∵C是直線AB與x軸的交點,
∴當(dāng)y=0時,x=﹣2.
∴點C(﹣2,0).
∴OC=2.
∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=12×2×2+12×2×4=6.
(3)不等式kx+b-mx<0的解集為:﹣4<x<0或x>2.
知識點四 用反比例函數(shù)解決實際問題
解題步驟:
20、
1.根據(jù)題意找等量關(guān)系。
2.列出方程,并注明自變量的取值范圍。
3.解方程
4.寫方程
考察題型六 數(shù)形結(jié)合
1.(2019·南昌市期中)蓄電池的電壓為定值,使用此電源時,電流I(A)是電阻R(Ω)的反比例函數(shù),其圖象如圖所示.
(1)求這個反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)當(dāng)R=10Ω時,求電流I(A).
【詳解】
解:(1)由電流I(A)是電阻R(Ω)的反比例函數(shù),設(shè)(k≠0),
把(4,9)代入得:k=4×9=36,
∴I=36R.
(2) 當(dāng)R=10Ω時,I=3610=3.6A.
考察題型七 建模思想
1.(2016·廣東中考真題)一司機(jī)駕駛汽車從甲地去乙 21、地,他以平均80千米/小時的速度用了4個小時到達(dá)乙地,當(dāng)他按原路勻速返回時.汽車的速度v千米/小時與時間t小時的函數(shù)關(guān)系是( )
A.v=320t B.v=320t C.v=20t D.v=20t
【詳解】
由題意vt=80×4,
則v=320t.
故選B.
2.(2019 寶安區(qū)中考模擬)如果等腰三角形的面積為10,底邊長為x,底邊上的高為y,則y與x的函數(shù)關(guān)系式為( )
A.y=10x B.y=5x C.y=20x D.y=x20
【詳解】
∵等腰三角形的面積為10,底邊長為x,底邊上的高為y,
∴12xy=10,
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為:y=20x.
22、
故選C.
3.(2019·連云港市期中)強哥駕駛小汽車(出租)勻速地從如皋火車站送客到南京綠口機(jī)場,全程為280km,設(shè)小汽車的行駛時間為t(單位:h),行駛速度為v(單位:km/h),且全程速度限定為不超過120km/h.
(1)求v關(guān)于t的函數(shù)解析式;
(2)強哥上午8點駕駛小汽車從如皋火車站出發(fā).
①乘客需在當(dāng)天10點48分至11點30分(含10點48分和11點30分)間到達(dá)南京綠口機(jī)場,求小汽車行駛速度v的范圍;
②強哥能否在當(dāng)天10點前到達(dá)綠口機(jī)場?說明理由.
【詳解】
解:(1)∵vt=280,且全程速度限定為不超過120千米/小時,
∴v關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式為:v 23、=280t,(t≥73).
(2)①8點至10點48分時間長為145小時,8點至11點30分時間長為3.5小時
將t=3.5代入v=280t得v=80;將t=145代入v=280t得v=100,
∴小汽車行駛速度v的范圍為:80≤v≤100;
②強哥不能在當(dāng)天10點前到達(dá)綠口機(jī)場.理由如下:
8點至10點前時間長為2小時,將t=2代入v=280t得v=140>120千米/小時,超速了.
故強哥不能在當(dāng)天10點前到達(dá)綠口機(jī)場.
考察題型八 反比例函數(shù)與其他函數(shù)相結(jié)合解決實際問題
1.(2019·文登區(qū)期末)為了響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號召,建設(shè)生態(tài)文明,某工廠自2019年1 24、月開始限產(chǎn)并進(jìn)行治污改造,其月利潤y (萬元)與月份x之間的變化如圖所示,治污完成前是反比例函數(shù)圖象的一部分,治污完成后是一次函數(shù)圖象的部分,下列選項錯誤的是( )
A.4月份的利潤為50萬元
B.污改造完成后每月利潤比前一個月增加30萬元
C.治污改造完成前后共有4個月的利潤低于100萬元
D.9月份該廠利潤達(dá)到200萬元
【詳解】
設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=kxx≠0
根據(jù)題意,圖像過點(1,200),則可得出y=200xx≠0
當(dāng)x=4時,y=50,即4月份的利潤為50萬元,A選項正確;
設(shè)一次函數(shù)解析式為
根據(jù)題意,圖像過點(4,50)和(6,110)
則有4 25、k+b=506k+b=110
解得k=30b=-70
∴一次函數(shù)解析式為y=30x-70,其斜率為30,即污改造完成后每月利潤比前一個月增加30萬元,B選項正確;
治污改造完成前后,1-6月份的利潤分別為200萬元、100萬元、2003萬元、50萬元、110萬元,共有3個月的利潤低于100萬元,C選項錯誤;
9月份的利潤為30×9-70=200萬元,D選項正確;
故答案為C.
2.(2015·河北中考模擬)已知反比例函數(shù)y=kx的圖象如圖,則二次函數(shù)y=2kx2-4x+k2的圖象大致為( )
A. B.
C. D.
【詳解】
∵函數(shù)y=的圖象經(jīng)過二、四象限,∴k 26、<0,
由圖知當(dāng)x=﹣1時,y=﹣k>1,∴k<﹣1,
∴拋物線y=2kx2﹣4x+k2開口向下,
對稱為x=﹣=,﹣1<<0,
∴對稱軸在﹣1與0之間,
故選:D.
3.(2018·安丘市期末)為了預(yù)防“流感”,某學(xué)校對教室采用藥熏法進(jìn)行消毒,已知藥物燃燒時,室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克/立方米)與藥物點燃后的時間x(分鐘)成正比例,藥物燃盡后,y與x成反比例(如圖所示).已知藥物點燃后4分鐘燃盡,此時室內(nèi)每立方米空氣中含藥量為8毫克.
(1)求藥物燃燒時,y與x之間函數(shù)的表達(dá)式;
(2)求藥物燃盡后,y與x之間函數(shù)的表達(dá)式;
(3)研究表明,當(dāng)空氣中每立方米的含藥量 27、不低于2毫克時,才能有效殺滅空氣中的病菌,那么此次消毒有效時間有多長?
【詳解】
(1)藥物燃燒時,設(shè)y=kx,
將(4,8)代入,得:8=4k,
解得k=2,
則y=2x;
(2)藥物燃盡后,設(shè)y=mx,
將(4,8)代入,得:8=m4,
解得:m=32,
則y=32x;
(3)在y=2x中,當(dāng)y=2時,2x=2,解得x=1;
在y=32x中,當(dāng)y=2時,32x=2,解得x=16;
則此次消毒有效時間為16﹣1=15分鐘.
考察題型九 反比例函數(shù)與幾何知識相結(jié)合解決問題
1.(2019·貴州中考真題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,菱形ABCD在第一象限內(nèi),邊BC 28、與x軸平行,A,B兩點的縱坐標(biāo)分別為4,2,反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象經(jīng)過A,B兩點,若菱形ABCD的面積為25,則k的值為( ?。?
A.2 B.3 C.4 D.6
【詳解】
過點A作x軸的垂線,交CB的延長線于點E,
∵A,B兩點在反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象,且縱坐標(biāo)分別為4,2,
∴A(k4,4),B(k2,2),
∴AE=2,BE=12k-14k=14k,
∵菱形ABCD的面積為25,
∴BC×AE=25,即BC=5,
∴AB=BC=5,
在Rt△AEB中,BE=AB2-AE2=1
∴14k=1,
∴k=4.
故選:C.
2.(2018 29、·江蘇中考模擬)如圖,O是坐標(biāo)原點,菱形OABC的頂點A的坐標(biāo)為(3,﹣4),頂點C在x軸的正半軸上,函數(shù)y=kx(k<0)的圖象經(jīng)過點B,則k的值為( )
A.﹣12 B.﹣32 C.32 D.﹣36
【詳解】
解:
∵O是坐標(biāo)原點,菱形OABC的頂點A的坐標(biāo)為(3,﹣4),頂點C在x軸的正半軸上,
∴OA=5,AB∥OC,
∴點B的坐標(biāo)為(8,﹣4),
∵函數(shù)y=kx(k<0)的圖象經(jīng)過點B,
∴﹣4=k8,得k=﹣32.
故選B.
3.(2017·德州市期末)如圖,已知雙曲線y=kx(k<0)經(jīng)過直角三角形OAB斜邊OA的中點D,且與直角邊AB相交于點C.若點A的坐標(biāo)為(-6,4),則△AOC的面積為
A.12 B.9 C.6 D.4
【解析】
∵點A(-6,4),D是OA中點
∴D點坐標(biāo)(-3,2)
∵D(-3,2)在雙曲線y=kx(k<0)上,代入可得2=k-3
∴k=-6
∵點C在直角邊AB上,而直線邊AB與x軸垂直
∴點C的橫坐標(biāo)為-6
又∵點C在雙曲線y=-6x
∴點C坐標(biāo)為(-6,1)
∴AC=(-6+6)2+(1-4)2=3
從而SΔAOC=12×AC×OB=12×3×6=9,故選B
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