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1、 暑假專題——一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；四邊形
重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；四邊形的內(nèi)角和、外角和定理；多邊形的內(nèi)角和、外角和定理。
難點(diǎn)：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；四邊形內(nèi)角和、外角和定理的應(yīng)用；多邊形內(nèi)、外角和定理的應(yīng)用。
知識(shí)要點(diǎn)：
代數(shù)：
1. 韋達(dá)定理
一元二次方程，如果有實(shí)數(shù)根（即），設(shè)兩實(shí)數(shù)根為x1，x2，則，
引申1：
引申2：由可判斷兩根符號(hào)之間的關(guān)系：
若，則x1，x2同號(hào)
若，則x1，x2異號(hào)，即一正一負(fù)
2、
再由可判斷兩根大小的關(guān)系。
2. 由x1，x2兩根可構(gòu)造的一元二次方程
以x1，x2為根的一個(gè)一元二次方程為。
幾何：
【典型例題】
例1. （1）若x1，x2是方程的兩個(gè)根，求，；
（2）若方程的兩個(gè)根是x1，x2，求。
解：（1）由韋達(dá)定理，得
（2）把原方程化為一般式
由韋達(dá)定理，得
即
例2. （江西2004中考題）
已知關(guān)于x的方程
（1）當(dāng)m取什么值時(shí)，原方程沒有實(shí)數(shù)根？
（2）對(duì)
3、m選取一個(gè)合適的非零整數(shù)，使原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并求這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和。
解：（1）
當(dāng)時(shí)，原方程無(wú)實(shí)數(shù)根
時(shí)，原方程無(wú)實(shí)數(shù)根
（2）當(dāng)時(shí)，即，時(shí)，原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根
設(shè)方程的兩根為x1，x2，則兩根的平方和為：
在范圍內(nèi)取m＝1，則
例3. （2004海淀中考）
已知，關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之差的平方為m，若對(duì)于任意一個(gè)非零的實(shí)數(shù)a，總成立，求實(shí)數(shù)c及m的值。
解：設(shè)原方程的根為，由題意，知
又
由韋達(dá)定理，
要使
4、對(duì)于任意一個(gè)非零的實(shí)數(shù)a，總成立，需中的c＝0
這時(shí)
即c＝0時(shí)，m＝4
例4. （1）如果四邊形的四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為1：2：4：5，求這個(gè)四邊形各內(nèi)角的度數(shù)。
（2）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與某一個(gè)外角的度數(shù)總和為1350°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。
解：（1）根據(jù)題意，設(shè)這個(gè)四邊形的四內(nèi)角分別為x，2x，4x，5x，根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理，則
該四邊形的四個(gè)內(nèi)角分別為30°，60°，120°，150°。
（2）設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，則其內(nèi)角和為，設(shè)這個(gè)外角為x，則，由題意，知
又
5、
這個(gè)多邊形的邊數(shù)為9。
【模擬試題】（答題時(shí)間：25分鐘）
1. 如果方程的一根為1，求k及另一根。
2. 設(shè)方程的兩根分別為x1，x2，求①；②（）
3. 求以3，－1為根的方程。
4. 如果兩數(shù)之和為7，兩數(shù)之積為12，求這兩數(shù)。
5. （1）內(nèi)角和等于外角和的多邊形是幾邊形？
（2）若一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都相等，且內(nèi)角和為2340°，求每一個(gè)外角。
6. 四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分，且AB＝21，AD＝9，BC＝DC＝10，求AC的長(zhǎng)。如圖：
【試題答案】
1. k＝－7，另一根也為－7
2. ①；②
3.
4. 兩數(shù)為3，4
5. （1）4；（2）24°
6. 提示：過C向AB、AD的延長(zhǎng)線作垂線，AC＝17
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