《(江西專用)2019中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第一部分 教材同步復(fù)習(xí) 第三章 函數(shù) 第13講 二次函數(shù)的綜合與應(yīng)用權(quán)威預(yù)測》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(江西專用)2019中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第一部分 教材同步復(fù)習(xí) 第三章 函數(shù) 第13講 二次函數(shù)的綜合與應(yīng)用權(quán)威預(yù)測(2頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第一部分 第三章 第13講
如果一條拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),那么以拋物線的頂點(diǎn)和這兩個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”,[a,b,c]稱為“拋物線系數(shù)”.
(1)任意拋物線都有“拋物線三角形”是假(填“真”或“假”)命題;
(2)若一條拋物線系數(shù)為[1,0,-2],則其“拋物線三角形”的面積為2;
(3)若一條拋物線系數(shù)為[-1,2b,0],其“拋物線三角形”是個(gè)直角三角形,求該拋物線的解析式;
(4)在(3)的前提下,該拋物線的頂點(diǎn)為A,與x軸交于O,B兩點(diǎn),在拋物線上是否存在一點(diǎn)P,過P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q,使得△BPQ∽△OB
2、A?如果存在,求出P點(diǎn)坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.
解:(1)∵拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有三種情況:沒交點(diǎn),一個(gè)交點(diǎn),兩個(gè)交點(diǎn),∴任意拋物線都有“拋物線三角形”是假命題.
(2)∵一條拋物線系數(shù)為[1,0,-2],∴a=1,b=0,c=-2,即:拋物線的解析式為y=x2-2,
令x=0,則y=-2,令y=0,解得,x=±,∴“拋物線三角形”的面積為×(+)×2=2.
(3)依題意:y=-x2+2bx,它與x軸交于點(diǎn)(0,0)和(2b,0);
當(dāng)拋物線三角形是直角三角形時(shí),根據(jù)拋物線的對稱性可知它一定是等腰直角三角形,
∴頂點(diǎn)為(b,b2),由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得
3、b2=×|2b|,解得b=0(舍去)或b=±1,∴y=-x2+2x或y=-x2-2x.
(4)①當(dāng)拋物線為y=-x2+2x時(shí),∵△AOB為等腰直角三角形,且△BPQ∽△OBA,∴△BPQ為等腰直角三角形,
設(shè)P(a,-a2+2a),
∴Q(a,0),則|-a2+2a|=|2-a|
當(dāng)-a2+2a=2-a時(shí),解得a=1或a=2(舍去),
∴P(1,1);
當(dāng)-a2+2a=-(2-a)時(shí),解得a=-1或a=2(舍去),∴P(-1,-3).
②當(dāng)拋物線為y=-x2-2x時(shí),
∵△AOB為等腰直角三角形,且△BPQ∽△OBA,
∴△BPQ為等腰直角三角形,設(shè)P(a,-a2-2a),
∴Q(a,0),
則|-a2-2a|=|2+a|,即|a(a+2)|=|a+2|.
∵a+2≠0,∴|a|=1,∴a=±1,∴P(1,-3)或(-1,1).
綜上,存在點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1)或(-1,-3)或(1,-3)或(-1,1).
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